初二几何辅助线添加方法

初中数学辅助线 1 三角形问题添加辅助线方法 方法 1 有关三角形中线的题目 常将中线加倍 含有中点的题目 常常利用三角形的中位线 通过这种方法 把要证的结论恰当的转移 很容易地解决了问题 方法 2 含有平分线的题目 常以角平分线为对称轴 利用角平分线的性质和题中的条件 构造 出全等三角形 从而利用全等三角形的知识解决问题 方法 3 结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形 或利用关于平分线段的一些定理 方法 4 结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目 常采用截长法或补短法 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分 证其中的一部分等于第一条线段 而另一部分等于第 二条线段 2 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 的两组对边 对角和对角线都具有某些相同性质 所以在添辅助线方法上也有共同之处 目的都是造就线段的平行 垂直 构成三角形的全等 相 似 把平行四边形问题转化成常见的三角形 正方形等问题处理 其常用方法有下列几种 举例 简解如下 1 连对角线或平移对角线 2 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 3 连接对角线交点与一边中点 或过对角线交点作一边的平行线 构造线段平行或中位线 4 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段 构造三角形相似或等积三角形 5 过顶点作对角线的垂线 构成线段平行或三角形全等 3 梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形 它是平行四边形 三角形知识的综合 通过添加适当的辅助线将梯形 问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决 辅助线的添加成为问题解决的桥梁 梯形中常 用到的辅助线有 1 在梯形内部平移一腰 2 梯形外平移一腰 3 梯形内平移两腰 4 延长两腰 5 过梯形上底的两端点向下底作高 6 平移对角线 7 连接梯形一顶点及一腰的中点 8 过一腰的中点作另一腰的平行线 9 作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中 添加的辅助线并不一定是固定不变的 单一的 通过辅助线这 座桥梁 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决 这是解决问题的关键 作辅助线的方法 一 中点 中位线 延线 平行线 如遇条件中有中点 中线 中位线等 那么过中点 延长中线或中位线作辅助线 使延长的某一 段等于中线或中位线 另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线 以达到应用某个定理或 造成全等的目的 二 垂线 分角线 翻转全等连 如遇条件中 有垂线或角的平分线 可以把图形按轴对称的方法 并借助其他条件 而旋转 180 度 得到全等形 这时辅助线的做法就会应运而生 其对称轴往往是垂线或角的平分线 三 边边若相等 旋转做实验 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 有时边角互相配合 然后把图形旋转一定的角度 就可以得到全等形 这时辅助线的做法仍会应运而生 其对称中心 因题而异 有时没有中心 故可分 有心 和 无心 旋转两种 四 造角 平 相似 和 差 积 商见 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 欲证线段或角的和差积商 往往与相似形有关 在 制造两个三角形相似时 一般地 有两种方法 第一 造一个辅助角等于已知角 第二 是把三 角形中的某一线段进行平移 故作歌诀 造角 平 相似 和差积商见 五 面积找底高 多边变三边 如遇求面积 在条件和结论中出现线段的平方 乘积 仍可视为求面积 往往作底或高为辅助 线 而两三角形的等底或等高是思考的关键 如遇多边形 想法割补成三角形 反之 亦成立 另外 我国明清数学家用面积证明勾股定理 其辅助线的做法 即 割补 有二百多种 大多数为 面积找底 高 多边变三边 初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难 难点就在辅助线 辅助线 如何添 把握定理和概念 还要刻苦加钻研 找出规律凭经验 三角形 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角去 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 四边形 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形问题巧转换 变为 和 平移腰 移对角 两腰延长作出高 如果出现腰中点 细心连上中位线 上述方法不奏效 过腰中点全等造 证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片 三角形中作辅助线的常用方法举例 一 倍长中线 1 已知 ABC AD 是 BC 边上的中线 分别以 AB 边 AC 边为直角边 各向形外作等腰直角三角形 如图 5 2 求证 EF 2AD 二 截长补短法作辅助线 在 ABC 中 AD 平分 BAC ACB 2 B 求证 AB AC CD ABCDEF25 图 ADCBE12 三 延长已知边构造三角形 例如 如图 7 1 已知 AC BD AD AC 于 A BC BD 于 B 求证 AD BC 分析 欲证 AD BC 先证分别含有 AD BC 的三角形全等 有几种方案 ADC 与 BCD AOD 与 BOC ABD 与 BAC 但根据现有条件 均无法证全等 差角的相等 因 此可设法作出新的角 且让此角作为两个三角形的公共角 证明 分别延长 DA CB 它们的延长交于 E 点 AD AC BC BD 已知 CAE DBE 90 垂直的定义 在 DBE 与 CAE 中 已 知 已 证公 共 角ACBDE DBE CAE AAS ED EC EB EA 全等三角形对应边相等 ED EA EC EB 即 AD BC 当条件不足时 可通过添加辅助线得出新的条件 为证题创造条件 四 连接四边形的对角线 把四边形的问题转化成为三角形来解决 例如 如图 8 1 AB CD AD BC 求证 AB CD 分析 图为四边形 我们只学了三角形的有关知识 必须把它转化为三角形来解决 证明 连接 AC 或 BD AB CD AD BC 已知 1 2 3 4 两直线平行 内错角相等 在 ABC 与 CDA 中 43已 证公 共 边已 证CA ABC CDA ASA ABCD18 图 234 ABCDE17 图O AB CD 全等三角形对应边相等 五 有和角平分线垂直的线段时 通常把这条线段延长 例如 如图 9 1 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 1 2 CE BD 的延长于 E 求证 BD 2CE 分析 要证 BD 2CE 想到要构造线段 2CE 同时 CE 与 ABC 的平分线垂直 想到要将其延 长 证明 分别延长 BA CE 交于点 F BE CF 已知 BEF BEC 90 垂直的定义 在 BEF 与 BEC 中 21已 证公 共 边已 知BECF BEF BEC ASA CE FE 2 1 CF 全等三角形对应边相等 BAC 90 BE CF 已知 BAC CAF 90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD 与 ACF 中 已 知 已 证已 证ACBFD ABD ACF AAS BD CF 全等三角形对应边相等 BD 2CE 六 连接已知点 构造全等三角形 例如 已知 如图 10 1 AC BD 相交于 O 点 且 AB DC AC BD 求证 A D 分析 要证 A D 可证它们所在的三角形 ABO 和 DCO 全等 而只有 AB DC 和对顶角 两个条件 差一个条件 难以证其全等 只有另寻其它的三角形全等 由 AB DC AC BD 若连接 BC 则 ABC 和 DCB 全等 所以 证得 A D 证明 连接 BC 在 ABC 和 DCB 中 公 共 边已 知已 知CBA ABC DCB SSS 19 图 DCBAEF2 CB10 图 O A D 全等三角形对应边相等 七 取线段中点构造全等三有形 例如 如图 11 1 AB DC A D 求证 ABC DCB 分析 由 AB DC A D 想到如取 AD 的中点 N 连接 NB NC 再由 SAS 公理有 ABN DCN 故 BN CN ABN DCN 下面只需证 NBC NCB 再取 BC 的中点 M 连接 MN 则由 SSS 公理有 NBM NCM 所以 NBC NCB 问题得证 证明 取 AD BC 的中点 N M 连接 NB NM NC 则 AN DN BM CM 在 ABN 和 DCN 中 已 知已 知辅 助 线 的 作 法DCABN ABN DCN SAS ABN DCN NB NC 全等三角形对应边 角相等 在 NBM 与 NCM 中 公 共 边 辅 助 线 的 作 法 已 证 NMCB NMB NCM SSS NBC NCB 全等三角形对应角相等 NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB 二 由角平分线想到的辅助线 口诀 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 角平分线具有两条性质 a 对称性 b 角平分线上的点到角两边的距离相等 对于有角平分线 的辅助线的作法 一般有两种 从角平分线上一点向两边作垂线 利用角平分线 构造对称图形 如作法是在一侧的长边上截取短边 通常情况下 出现了直角或是垂直等条件时 一般考虑作垂线 其它情况下考虑构造对称图形 至于选取哪种方法 要结合题目图形和已知条件 与角有关的辅助线 一 截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试 但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的 希望同学们能掌握 相关的几何规律 在解决几何问题中大胆地去猜想 按一定的规律去尝试 下面就几何中常见的 定理所涉及到的辅助线作以介绍 如图 1 1 AOC BOC 如取 OE OF 并连接 DE DF 则有 OED OFD 从而为我们 证明线 段 角相等创 造了条 件 1 图 DCBAMN 图 1 1 O A B D E F C 图 1 2 A D B C E F 如图 1 2 AB CD BE 平分 BCD CE 平分 BCD 点 E 在 AD 上 求证 BC AB CD 分析 此题中就涉及到角平分线 可以利用角平分线来构造全等三角形 即利用解平分线来构造 轴对称图形 同时此题也是证明线段的和差倍分问题 在证明线段的和差倍分问题中常用到的方 法是延长法或截取法来证明 延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段 但无 论延长还是截取都要证明线段的相等 延长要证明延长后的线段与某条线段相等 截取要证明截 取后剩下的线段与某条线段相等 进而达到所证明的目的 简证 在此题中可在长线段 BC 上截取 BF AB 再证明 CF CD 从而达到证明的目的 这里面 用到了角平分线来构造全等三角形 另外一个全等自已证明 此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明 自已试一试 二 角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题 1 如图 2 1 已知 AB AD BAC FAC CD BC 求证 ADC B 180 分析 可由 C 向 BAD 的两边作垂线 近而证 ADC 与 B 之和为平角 三 作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线 使之与角的两边相交 则截得一个等腰三角形 垂足为 底边上的中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用中位线的性质与等腰三角形的三线 合一的性质 如果题目中有垂直于角平分线的线段 则延长该线段与角的另一边相交 已知 如图 3 1 BAD DAC AB AC CD AD 于 D H 是 BC 中点 求证 DH 2 1 AB AC 分析 延长 CD 交 AB 于点 E 则可得全等三角形 问题可证 四 以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线 从而构造等腰三角形 或通过一边 上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交 从而也构造等腰三角形 如图 4 1 和 图 4 2 所示 图 2 1 A B C DE F 图 示 3 1 A B CD HE 图 4 2图 4 1 C A B CB A F I E D H G 三 由线段和差想到的辅助线 口诀 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角去 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时 一般方法是截长补短法 1 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等于另一条 2 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线段等于长线段 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边 之差小于第三 边 故可想办法放在一个三角形中证明 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证不出来 可连接两点或廷长某边构成三角 形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边的不等关系证明 如 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时 可连接两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上 小角处于这个三角形的内角位置上 再利用外角定理 四 由中点想到的辅助线 口诀 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 在三角形中 如果已知一点是三角形某一边上的中点 那么首先应该联想到三角形的中线 中位 线 加倍延长中线及其相关性质 直角三角形斜边中线性质 等腰三角形底边中线性质 然后通 过探索 找到解决问题的方法 一 中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1 AD 是 ABC 的中线 则 S ABD S ACD S ABC 因为 ABD 与 ACD 是等底同高的 例 1 如图 2 ABC 中 AD 是中线 延长 AD 到 E 使 DE AD DF 是 DCE 的中线 已知 ABC 的面积为 2 求 CDF 的面积 解 因为 AD 是 ABC 的中线 所以 S ACD S ABC 2 1 又因 CD 是 ACE 的中线 故 S CDE S ACD 1 因 DF 是 CDE 的中线 所以 S CDF S CDE 1 CDF 的面积为 二 由中点应想到利用三角形的中位线 例 2 如图 3 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 BA CD 的延长线 分别交 EF 的延长线 G H 求证 BGE CHE 证明 连结 BD 并取 BD 的中点为 M 连结 ME MF ME 是 BCD 的中位线 ME CD MEF CHE MF 是 ABD 的中位线 MF AB MFE BGE AB CD ME MF MEF MFE 从而 BGE CHE 三 由中线应想到延长中线 例 3 图 4 已知 ABC 中 AB 5 AC 3 连 BC 上的中线 AD 2 求 BC 的长 解 延长 AD 到 E 使 DE AD 则 AE 2AD 2 2 4 在 ACD 和 EBD 中 AD ED ADC EDB CD BD ACD EBD AC BE 从而 BE AC 3 在 ABE 中 因 AE2 BE2 42 32 25 AB2 故 E 90 BD 故 BC 2BD 2 例 4 如图 5 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 AD 又是 BC 边 上的中 线 求证 ABC 是等腰三角形 证明 延长 AD 到 E 使 DE AD 仿例 3 可证 BED CAD 故 EB AC E 2 又 1 2 1 E AB EB 从而 AB AC 即 ABC 是等腰三角形 四 直角三角形斜边中线的性质 例 5 如图 6 已知梯形 ABCD 中 AB DC AC BC AD BD 求证 AC BD 证明 取 AB 的中点 E 连结 DE CE 则 DE CE 分别为 Rt ABD Rt ABC斜边 AB 上的中线 故 DE CE AB 因此 CDE DCE AB DC CDE 1 DCE 2 1 2 在 ADE 和 BCE 中 DE CE 1 2 AE BE ADE BCE AD BC 从而梯形 ABCD 是等腰梯形 因此 AC BD 五 角平分线且垂直一线段 应想到等腰三角形的中线 六 中线延长 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法 1 可以从结论出发 看要证明相等的两条线段 或角 分别在哪两个可能全等的三角形中 2 可以从已知条件出发 看已知条件可以确定哪两个三角形相等 3 从条件和结论综合考虑 看它们能一同确定哪两个三角形全等 4 若上述方法均不行 可考虑添加辅助线 构造全等三角形 三角形中常见辅助线的作法 延长中线构造全等三角形 利用翻折 构造全等三角形 引平行线构造全等三角形 作连线构造等腰三角形 常见辅助线的作法有以下几种 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等变换中的 对折 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式 是全等变换中的 旋转 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维模式是三角形全等变 换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来 利用三角形面积的知识解答 梯形的辅助线 口诀 梯形问题巧转换 变为 和 平移腰 移对角 两腰延长作出高 如果出现腰中点 细心连上 中位线 上述方法不奏效 过腰中点全等造 通常情况下 通过做辅助线 把梯形转化为三角形 平行四边形 是解梯形问题的基本思路 至 于选取哪种方法 要结合题目图形和已知条件 常见的几种辅助线的作法如下 一 平移 1 平移一腰 例 1 如图所示 在直角梯形 ABCD 中 A 90 AB DC AD 15 AB 16 BC 17 求 作法 图形 平移腰 转化为三 角形 平行四边形 ABCDE 平移对角线 转化 为三角形 平行四 边形 ABCDE 延长两腰 转化为 三角形 ABD 作高 转化为直角 三角形和矩形 CEF 中位线与腰中点连 线 ABCDEFABCAB CDE CD 的长 解 过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E 又 AB CD 所以四边形 BCDE 是平行四边形 所以 DE BC 17 CD BE 在 Rt DAE 中 由勾股定理 得 AE2 DE 2 AD 2 即 AE2 17 2 15 2 64 所以 AE 8 所以 BE AB AE 16 8 8 即 CD 8 例 2 如图 梯形 ABCD 的上底 AB 3 下底 CD 8 腰 AD 4 求另一腰 BC 的取值范围 解 过点 B 作 BM AD 交 CD 于点 M 在 BCM 中 BM AD 4 CM CD DM CD AB 8 3 5 所以 BC 的取值范围是 5 4 BC 5 4 即 1 BCCD 求证 BD AC 证 作 AE BC 于 E 作 DF BC 于 F 则易知 AE DF 在 Rt ABE 和 Rt DCF 中 因为 AB CD AE DF 所以由勾股定理得 BE CF 即 BF CE 在 Rt BDF 和 Rt CAE 中 由勾股定理得 BD AC 五 作中位线 1 已知梯形一腰中点 作梯形的中位线 例 13 如图 在梯形 ABCD 中 AB DC O 是 BC 的中点 AOD 90 求证 AB CD AD 证 取 AD 的中点 E 连接 OE 则易知 OE 是梯形 ABCD 的中位线 从而 A B C D D E D F D OE 2 1 AB CD 在 AOD 中 AOD 90 AE DE 所以 ADOE 由 得 AB CD AD 2 已知梯形两条对角线的中点 连接梯形一顶点与一条对角线中点 并延长与底边相交 使问题 转化为三角形中位线 例 14 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 BD AC 的中点 求证 1 EF AD 2 21ADBCEF 证 连接 DF 并延长交 BC 于点 G 易证 AFD CFG 则 AD CG DF GF 由于 DE BE 所以 EF 是 BDG 的中位线 从而 EF BG 且 BEF21 因为 AD BG ADCG 所以 EF AD EF 3 在梯形中出现一腰上的中点时 过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的 例 15 在梯形 ABCD 中 AD BC BAD 90 0 E 是 DC 上的中点 连接 AE 和 BE 求 AEB 2 CBE 解 分别延长 AE 与 BC 并交于 F 点 BAD 90 0 且 AD BC FBA 180 0 BAD 90 0 又 AD BC DAE F 两直线平行内错角相等 AED FEC 对顶角相等 DE EC E 点是 CD 的中点 ADE FCE AAS AE FE 在 ABF 中 FBA 90 0 且 AE FE BE FE 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在 FEB 中 EBF FEB AEB EBF FEB 2 CBE 例 16 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB BC E 是 CD 中点 试问 线段 AE 和 BE 之间有怎样的大小关系 解 AE BE 理由如下 延长 AE 与 BC 延长线交于点 F DE CE AED CEF DAE F ADE FCE AE EF AB BC BE AE A B D C E F