复合函数的概念及复合函数的单调性

1 复合函数的概念及复合函数的单调性 1 复合函数的概念 如果 是 的函数 又是 的函数 即 那么 关于 的函数 叫做y x fy xgyx xgfy 函数 和 的复合函数 其中 是中间变量 自变量为 函数值 f g 例如 函数 是由 复合而成立 xy231 31 yx2 函数 是由 复合而成立 是中间变量 4lg lg 243 2 复合函数单调性 一般地 定理 设函数 在区间 上有意义 函数 在区间 上有意义 且当 时 xg M fy NMx N 有以下四种情况 1 若 在 上是增函数 在 上是增函数 则 在 上也是增函数 fy gfy 2 若 在 上是增函数 在 上是减函数 则 在 上也是减函数 xg Nx 3 若 在 上是减函数 在 上是增函数 则 在 上也是减函数 M fy gfyM 4 若 在 上是减函数 在 上是减函数 则 在 上也是增函数 xg x 即 同增异减 注意 内层函数 的值域是外层函数 的定义域的子集 xg fy 例 1 讨论下列函数的单调性 注意 要求定义域 1 2 xy2 3 43lg 2xy 解 2 练习 1 1 求下列函数的单调区间 1 2 25 xy 32 log1 xy 3 4 12 xy 21 3 xy 例 2 已知 且 xfy 3lg lgxy 1 求 的表达式及定义域 2 讨论 的单调性 xfy 练习 2 1 已知 求 的单调区间 28 xxf 2 xfg g 2 讨论函数 的单调性 34 log2 xya 3 练习题 1 若函数 的图象过点 则 的图象必过点 xfy 1 0 4 xfy A B C D 4 4 1 2 函数 在区间 上 2logxy A 是奇函数 且在 上是增函数 B 是偶函数 且在 上是增函数 0 0 C 是奇函数 且在 上是减函数 D 是偶函数 且在 上是减函数 3 函数 的最大值与最小值分别是 261xy 4 A 25 16 B 5 0 C 5 4 D 4 0 4 函数 值域为 1 23 xy A B C D 1 3 31 5 函数 的单调递增区间是 6log231xxf A B C D 2 2 2 6 函数 在区间 上是增函数 则实数 的取值范围是 1 2 xaxf 5 a A 6 B C D 6 6 6 7 已知 在 上是 的减函数 则 的取值范围是 2 logaxy 1 0 x A B C D 1 0 2 2