二次函数与直线、一元二次方程的关系

1 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 二次函数与直线 一元二次方程的关系 一 二次函数与直线的关系 1 抛物线 与 轴的交点是 2yaxbc y 0 c 2 抛物线 与 轴的交点 因为 轴上的点的纵坐标都为 0 2xx 所以令 代入得 解这个一元二次方程得 所0y 20axbc 24bac 以抛物线与 轴的交点坐标是 和 x 24 0ac 24 0bac 3 一次函数 的图象与二次函数 的图象 0ykxb 2yxc 的交点的个数 由方程组 的解的数目确定 2axc 方程组有两组不同的解 两函数图象有两个交点 方程组只有一组解 两函数图象只有一个交点 方程组无解 两函数图象没有交点 例 1 已知 抛物线的解析式为 221yxmx 1 求证 此抛物线与 轴必有两个不同的交点 2 若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上 求 的值 34yx ym 2 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 变式 1 1 在直角坐标平面中 为坐标原点 二次函数 的图象与 轴交于点O 214yxk y 与 轴的负半轴交于点 且 AxB6ABS 1 求点 与点 的坐标 2 求此二次函数的解析式 3 如果点 在 轴上 且 是等腰三角形 求点 的坐标 PxABP P 二 二次函数与一元二次方程的关系 方程 的两个实数根为 与 轴的交点为 如下表 20axbc 12x xAB 3 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 判别式的情况 0 0 0 抛物线 与 轴2yaxbc x 的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 二次方程 的实根20axbc 有两个不相等的实根 1212 xABx 有两个相等的实 根 12x 无实根 例 2 2011 潍坊 已知一元二次方程 的两个实数根 满足 20axbca 12x 和 那么二次函数 的图象有可能是 124x 123x 20yaxbc 变式 2 1 2011 呼和浩特 已知一元二次方程 的一根为 在二次函数23x 3 的图象上有三点 则 的大小关系是 23yxb 123451 6yy 123y 4 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 例 3 如图所示 抛物线 与 轴交于 两 213yxmx AB 点 则 则 1OBA 变式 3 1 设函数 的图象如图所示 它与 轴交 2145yxk x 于 两点 且线段 与 的长的比为 则 AB OAB k 例 4 已知抛物线 求 2143ykxk 1 为何值时 抛物线与 轴相交于两点 k 2 为何值时 抛物线与 轴的两个交点分别在原点的两侧 x 5 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 变式 4 1 已知抛物线 25yxm 1 求证 不论 为何实数 抛物线与 轴都有两个不同的交点 x 2 当 为何值时 抛物线与 轴的交点分别都在原点左侧 m 3 当 为何值时 抛物线与 轴的交点分别在 两侧 x 1 0 例 5 已知二次函数 的图象经过点 对称轴是直线 在 轴上截得的2yaxbc 2 3 2x 线段长为 求这个二次函数的解析式 210 6 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 变式 5 1 已知二次函数 的顶点为 且抛物线在 轴上截得的线段长为 4 求2yaxbc 1 4 x 抛物线的解析式 变式 5 2 如图 二次函数的图象经过点 且顶点70 39D 的横坐标为 4 该图象在 轴上截得的线段 的长为 6 CxAB 1 求二次函数的解析式 2 在该抛物线的对称轴上找一点 使 最小 求出PD 点 的坐标 P 7 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 例 6 关于 的一元二次方程 x 21210mxx 1 当 为何值时 方程有两个不相等的实数根 m 2 点 是抛物线 上的点 求抛物线的解析式 1A 2121yxx 3 在 2 的条件下 若点 与点 关于抛物线的对称轴对称 是否存在与抛物线只交于点 的BA B 直线 若存在 请求出直线的解析式 若不存在 请说明理由 思考 1 函数 的图象与 轴有且只有一个交点 求 的值和交点坐标 231yax xa 2 已知抛物线 为常数 且 2234yxk 0k 1 证明 此抛物线与 轴总有两个交点 8 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 2 设抛物线与 轴交于 两点 若这两点到原点的距离分别为 且xMN OMN 求 的值 13ONM k 二次函数与直线 一元二次方程的关系习题练习 1 在二次函数 中 若 与 异号 则其图象与 轴的交点个数为 2yaxbc acx 2 不论 为何实数 抛物线 m2yxm 在 轴上方 与 轴只有一个交点 与 轴有两个交点 在 轴下方 Ax B Cx Dx 3 若抛物线 与 轴有两个交点 则 的取值范围是 21ykx xk 4 已知函数 的图象和 轴有交点 则 的取值范围是 27ykx xk 9 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 5 如果一个二次函数的图象经过点 与 轴交于 两点 点 的横坐标分别为 6 10AxBC 且 求这个二次函数的解析式 12x 12126 5x 6 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 试判断直线x 2210mx 能否经过点 并说明理由 2347ym 4A 7 如图所示 已知抛物线 与 轴交于 两 2 0Pyaxbc xAB 点 点 在 轴的正半轴上 与 轴交于 点 矩形 的一条边 在AxCDEFGE 线段 上 顶点 分别在线段 上 抛物线 上的部分点的横坐BFG BA P 标对 应的纵坐标如下 x 3 21 2 y 545 0 10 10 到了初三还不努力 拿什么与中考拼搏 1 求 三点的坐标 ABC 2 若点 的坐标为 矩形 的面积为 求 与 的函数关系式 并指出 的取值D 0mDEFGSmm 范围 3 当矩形 的面积 最大时 连接 并延长至点 使 若点 不在抛EFGSMFkD M 物线 上 求 的取值范围 Pk 4 若点 的坐标为 求矩形 的面积 D 1 0DEFG