《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

第 1 页 共 13 页 一元二次方程总复习 考 点 1 一元二次方程的概念 一 元 二 次 方 程 只 含 有 一 个 未 知 数 未 知 数 的 最 高 次 数 是 2 且 系 数 不 为 0 这 样 的 方 程叫一元二次方 程 一 般 形 式 ax2 bx c 0 a 0 注 意 判 断 某 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方程时 应首先将方程化为一般形式 考 点 2 一元二次方程的解法 1 直 接 开 平 方 法 对 形 如 x a 2 b b 0 的 方 程 两 边 直 接 开 平 方 而 转 化 为 两 个 一 元 一 次 方程的方法 x a b x1 a b x2 a b 2 配 方 法 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0 k 0 的 一 般 步 骤 是 化 为 一 般 形 式 移 项 将 常 数 项 移 到 方 程 的 右 边 化 二 次 项 系 数 为 1 即 方 程 两 边 同 除 以 二 次 项系数 配方 即方程两边都加上一次项系数的一半的平方 化原方程为 x a 2 b 的 形 式 如 果 b 0 就 可 以 用 两 边 开 平 方 来 求 出 方 程 的 解 如 果 b 0 则 原 方 程 无 解 3 公 式 法 公 式 法 是 用 求 根 公 式 求 出 一 元 二 次 方 程 的 解 的 方 法 它 是 通 过 配 方 推 导 出 来 的 一 元二次方程的求根公式是 x b b 2 4ac b2 4ac 0 步骤 把方程转化为一般形 2a 式 确定 a b c 的值 求出 b2 4ac 的值 当 b2 4ac 0 时代入求根公式 4 因式分解法 用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法 理论根据 若 ab 0 则 a 0 或 b 0 步 骤 是 将 方 程 右 边 化 为 0 将方程左边分解为两个一 次 因 式 的 乘 积 令 每 个 因 式 等 于 0 得 到 两 个 一 元 一 次 方 程 解 这 两 个 一 元 一 次 方 程 它们的解就是原一元二次方程的解 因式分解的方法 提公因式 公式法 十字相乘法 第 2 页 共 13 页 5 一元二次方程的注意事项 在 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 中 要 注 意 强 调 a 0 因 当 a 0 时 不 含 有 二 次 项 即 不 是 一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应注意 先化方程为一般形式再确定 a b c 的值 若 b2 4ac 0 则方程无解 利用因式分解法解方程时 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式 如 2 x 4 2 3 x 4 中 不能随便约去 x 4 注意 解一元二次方程时一般不使用配方法 除特别要求外 但又必须熟练掌握 解一 元二次方程的一般顺序是 开平方法 因式分解法 公式法 6 一元二次方程解的情况 b 2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 方程有两个相等的实数根 b 2 4ac 0 方程没有实数根 解 题 小 诀 窍 当 题 目 中 含 有 两 不 等 实 数 根 两 相 等 实 数 根 没 有 实 数 根 时 往 往 首 先考虑用 b2 4ac 解题 主要用于求方程中未知系数的 值或取值范围 考 点 3 根与系数的关系 韦达定理 对于方程 ax2 bx c 0 a 0 来 说 x x b x x c 1 2 a 1 2 a 利用韦达定理可以求一些代数式的值 式子变形 如 x2 x2 x x 2 2x x 1 2 1 2 1 2 解 题 小 诀 窍 当 一 元 二 次 方 程 的 题 目 中 给 出 一 个 根 让 你 求 另 外 一 个 根 或 未 知 系 数 时 可 以 用 韦达定理 二 经 典考题剖析 第 3 页 共 13 页 1 2 考题 1 1 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 1A ax bx c 0 B k x 5k 6 0 C 3x 2x x 0 D k 3 x 2x 1 0 考题 1 2 解方程 x 2x 3 0 考题 1 3 已知方程 5x2 kx 10 0 一个根是 5 求它的另一个根及 k 的值 三 针对性训练 1 下列方程中 关于 x 的一元二次方程是 A 3 x 1 2 2 x 1 B 1 1 2 0 x2 y C ax2 bx c 0 D x2 2x x2 1 2 若 2x 3 与 2x 4 互为相反数 则 x 的 值 为 3 用配方法解下列方程时 配方有错误的是 A x2 2x 99 0 化为 x 1 2 100 B x2 8x 9 0 化为 x 4 2 25 C 2t2 7t 4 0 化 为 t 7 2 81 4 16 D 3y2 4y 2 0 化 为 y 2 2 10 3 9 4 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 m 1 x2 x m2 2m 3 0 的 一 个 根 为 x 0 则 m 的 值 为 A m 3 或 m 1 B m 3 或 m 1 C m 1 D m 3 5 2009 济南 若 x1 x2 是方程 x 5x 6 0 的两个根 则 x1 x2 的值是 A 1 B 5 C 5 D 6 6 2009 眉山 若 x1 x2 是方程 x 3x 1 0 的两个根 则 1 1 的值为 1 A 3 B 3 C 3 1 D 3 x1 x2 7 2009 潍坊 若 x1 x2 是方程 x 6x k 1 0 的 两 个 根 且 x2 x2 24 则 k 值 为 A 8 B 7 C 6 D 5 第 4 页 共 13 页 8 2009 成都 若方程 kx 2 2x 1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 则 k 的 取 值 范 围 是 A k 1 B k 1 且 k 0 C k 1 D k 1 且 k 0 9 已知一元二次方程 x 2 2x 8 0 的一根是 2 则另一个根是 10 若 关 于 x 的方程 x 2 2k 1 x 2 k 2 0 有实数根 则 k 的取值范围是 11 解方程 1 2 2x 3 2 32 2 3y y 1 2 y 1 3 3 4x 9 2x 3 0 4 x 6x 8 0 12 2009 鄂州 关于 x 的方程 kx 2 k 2 x k 0 有两个不相等的实数根 4 1 求 k 的取值范围 2 是 否 存 在 实 数 k 使 方 程 的 两 个 实 数 根 的 倒 数 和 等 于 0 若 存 在 求 出 k 的 值 不 存 在 说 明理由 考点 一元二次方程的应用 一 考点讲解 1 构建一元二次方程数学模型 常见的模型如下 与几何图形有关的应用 如几何图形面积模型 勾股定理等 有 关 增 长 率 的 应 用 此 类 问 题 是 在 某 个 数 据 的 基 础 上 连 续 增 长 降 低 两 次 得 到 新 数 据 常 见 的 等 量 关 系 是 a 1 x 2 b 其 中 a 表 示 增 长 降 低 前 的 数 据 x 表 示 增 长 率 降 第 5 页 共 13 页 低率 b 表示后来的数据 注意 所得解中 增长率不为负 降低率不超过 1 经 济 利 润 问 题 总 利 润 单 件 销 售 额 单 件 成 本 销 售 数 量 或 者 总 利 润 总 销 售 额 总成本 动点问题 此类问题是一般几何问题的延伸 根据条件设出未知数后 要想办法把图中 变化的线段用未知数表示出来 再根据题目中的等量关系列出方程 2 注重解法的选择与验根 在具体问题中要注意恰当的选择解法 以保证解题过程简洁流 畅 特别要对方程的解注意检验 根据实际做出正确取舍 以保证结论的准确性 二 经典考题剖析 考 题 1 2009 深 圳 南 山 区 课 外 植 物 小 组 准 备 利 用 学 校 仓 库 旁 的 一 块 空 地 开 辟 一 个面积为 130 平 方 米 的 花 圃 如 图 1 2 1 打 算 一 面 利 用 长 为 15 米 的 仓 库 墙 面 三面利用长为 33 米的旧围栏 求花圃的长和宽 解 设与墙相 接的两边长都为 x 米 则另一边长为 33 2x 米 依题意得 x 33 2x 130 2x2 33x 130 0 x 10 x 13 1 2 2 又 当 x1 10 时 33 2x 13 13 当 x2 时 33 2x 20 152 13 x 不合题意 舍去 x 10 2 答 花圃的长为 13 米 宽为 10 米 考 题 2 2009 襄 樊 为 了 改 善 居 民 住 房 条 件 我 市 计 划 用 未 来 两 年 的 时 间 将 城 镇 居 民 的 住 房 面 积 由 现 在 的 人 均 约 为 10 平 方 米 提 高 到 12 1 平 方 米 若 每 年 的 增 长 率 相 同 则年增长率为 第 6 页 共 13 页 A 9 B 10 C 11 D 12 解 设年增长率为 x 根据题意得 10 1 x 2 12 1 解 得 x1 0 1 x2 2 1 因为增长率不 为负 所以 x 0 1 故选 D 考 题 3 2009 海 口 某 水 果 批 发 商 场 经 销 一 种 高 档 水 果 如 果 每 千 克 盈 利 10 元 每 天可售出 500 千 克 经 市 场 调 查 发 现 在 进 货 价 不 变 的 情 况 下 若 每 千 克 涨 价 1 元 日 销售量将减少 20 千克 现该商场要保证每天盈利 6000 元 同时又要使顾客得到实惠 那么每千克应涨价多少元 解 设每千克水果应涨价 x 元 依题意 得 500 2 0 x 10 x 6000 整理 得 x 2 15x 50 0 解 这个方程 x 1 5 x 2 10 要 使顾客得到实惠 应取 x 5 答 每千克应涨价 5 元 点 拨 此 类 经 济 问 题 在 设 未 知 数 时 一 般 设 涨 价 或 降 价 为 未 知 数 应 根 据 要 使 顾 客 得 到实惠 来取舍根的情况 考 题 4 如 图 在 ABC 中 B 90 AB 5 BC 7 点 P 从 A 点 开 始 沿 AB 边 向 点 B 点 以 1cm s 的 速 度 移 动 点 Q 从 B 点 开 始 沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动 1 如果点 P Q 分别从 A B 两点同时出发 经过几秒钟 PBQ 的面积等于 4 第 7 页 共 13 页 2 如果点 P Q 分别从 A B 两点同时出发 经过几秒钟 PQ 的长度等于 5 解 1 设经过 x 秒钟 PBQ 的面积等于 4 则由题意得 AP x BP 5 x BQ 2x 1 1 由 BP BQ 4 得 2 2 5 x 2x 4 解得 x 1 1 x 2 4 当 x 4 时 BQ 2x 8 7 BC 不符合题意 故 x 1 2 2 由 BP 2 BQ 2 2 5 得 5 x 2 2x 2 5 解 得 x1 0 不合题意 x2 2 所 以 2 秒 后 PQ 的长度等于 5 三 针对性训练 1 小 明 的 妈 妈 上 周 三 在 自 选 商 场 花 10 元 钱 买 了 几 瓶 酸 奶 周 六 再 去 买 时 正 好 遇 上 商 场 搞 酬 宾 活 动 同 样 的 酸 奶 每 瓶 比 周 三 便 宜 0 5 元 结 果 小 明 的 妈 妈 只 比 上 次 多 花 2 元钱 却比上次多买了 2 瓶酸奶 问她上周三买了几瓶 2 合 肥 百 货 大 搂 服 装 柜 在 销 售 中 发 现 宝 乐 牌 童 装 平 均 每 天 可 售 出 20 件 每 件 盈 利 40 元 为 了 迎 接 十 一 国 庆 节 商 场 决 定 采 取 适 当 的 降 价 措 施 扩 大 销 售 量 增 加 盈利 尽快减少库存 经市场调查发现 如果每件童装降价 4 元 那么平均每天就可多 售 出 8 件 要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元 那么每件童装应降价多少 3 在 宽 为 20 米 长 为 32 米 的 矩 形 地 面 上 修 筑 同 样 宽 的 两 条 互 相 垂 直 的 道 路 余 下 部 分 作为耕地 要使耕地面积为 540 米 2 道路的宽应为多少 20m 32m 第 8 页 共 13 页 4 小 红 的 妈 妈 前 年 存 了 5000 元一年期的定期储蓄 到期后自动转存 今年到期扣除利息税 利息税为利息的 20 共取得 5145 元 求这种储蓄的年利率 精确到 0 1 5 如 图 12 3 ABC 中 B 90 点 P 从 A 点开始沿 AB 向 点 B 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边 向 C 点 以 2cm s 的速度移动 1 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 经几秒钟 使 ABQ 的面积等于 8cm 2 如果 P Q 分 别 从 A B 同 时 出 发 并 且 P 到 B 后 又 继 续 在 BC 边 上 前 进 Q 以 C 后 又 继续在 AC 边上前进 经几秒钟 使 PCQ 的面积等于 12 6 cm 1解 依题意 得 2 6 x 2x 8 解这个方程得 x1 2 x2 4 即经过 2s 点 P 到距离 B 点 4cm 处 点 Q 到距离 B 点 4cm 处 经过 4s 点 P 到距离 B 点 2cm 处 点 Q 到距离 B 点 8cm 处 故本小题有两解 2 设 经 过 x 秒 点 P 移动到 BC 上 且 有 CP 14 x cm 点 Q 移动到 CA 上 且 命 名 CQ 2x 8 cm 过 Q 作 QD CB 于 D CQD CAB QD AB 6 2x 8 2x 8 即 QD AC 1 10 6 2x 8 依题意 得 2 14 x 10 12 6 解这个方程得 x1 7 x2 11 经 过 7s 点 P 在 BC 距 离 C 点 7cm 处 点 Q 在 CA 上 距 离 C 点 6cm 处 使 S PCQ 12 6cm2 经 过 11s 点 P 在 BC 距 离 C 点 3cm 处 点 Q 在 CA 上 距 离 C 点 14cm 处 14 0 点 Q 已超出 CA 范围 此解不存在 故本题只有一解 中考真题 第 9 页 共 13 页 1 2 2 1 钟 老 师 出 示 了 小 黑 板 上 的 题 目 如 图 1 2 2 后 小 敏 回 答 方 程 有 一 根 为 1 小 聪 回答 方程有一根为 2 则你认为 A 只有小敏回答正确 B 只有小聪回答正确 C 两人回答都正确 D 两人回答都不正确 2 解一元二次方程 x 2 x 12 0 结果正确的是 A x 1 4 x 2 3 B x 1 4 x 2 3 C x 1 4 x 2 3 D x 1 4 x 2 3 3 方 程 x x 3 x 3 解是 A x 1 1 B x 1 0 x 2 3 C x 1 1 x 2 3 D x 1 1 x 2 3 4 若 t 是 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx c 0 a 0 的 根 则 判 别 式 b 2 4ac 和 完 全 平 方 式 M 2at b 2 的关系是 A M B M C M D 大 小 关 系 不 能 确 定 5 方 程 x2 x 1 0 的根是 A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 6 已知一元二次方程 x 2 2x 7 0 的两个根为 x x 则 x 1 x 2 的值为 A 2 B 2 C 7 D 7 7 已 知 x 1 x 2 是方程 x 1 3x 1 0 的两个实数根 则 x1 1 的值是 x2 1 A 3 B 3 C 3 D 1 8 用 换 元 法 解 方 程 x 2 x 2 x 2 x 6 时 如 果 设 x 2 x y 那 么 原 方 程 可 变 形 为 第 10 页 共 13 页 1 2 2 A y 2 y 6 0 B y 2 y 6 0 C y 2 y 6 0 D y 2 y 6 0 9 方 程 x 2 5x 0 的根是 A 0 B 0 5 C 5 5 D 5 10 若 关 于 x 的方程 x 2 2x k 0 有实数根 则 A k 1 B k 1 C k 1 D k 1 11 如果一元二次方程 x 2 4x 2 0 的两个根是 x x 那么 x 1 x 2 等于 A 4 B 4 C 2 D 2 12 用换元法解方程 x 2 x x 2 x 6 时 设 x 2 x y 那么原方程可化为 A y 2 y 6 0 B y 2 y 6 0 C y 2 y 6 0 D y 2 y 6 0 13 设 x 1 x 2 是方程 2x 3x 2 0 的两个根 则 x 1 x 2 的值是 2 2 A 3 B 3 C D 3 3 14 方 程 x 3 x 0 的解是 A 0 1 B 1 1 C 0 1 D 0 1 1 x 2 5x 4 0 时 若 设 x y 则 原 方 程 15 用换元法解方程 x 1 x 1 x 1 16 两 个 数 的 和 为 6 差 注意不是积 为 8 以这两个数为根的一元二次方程是 17 方 程 x 2 x 0 的 解 是 18 等 腰 ABC 中 BC 8 AB BC 的 长 是 方 程 x 2 10 x m 0 的 两 根 则 m 的 值 是 19 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 2x 1 0 的 两 个 根 同 号 则 a 的 取 值 范 围 是 20 解 方 程 2x2 9x 5 x 3 21 解方程 x 3 2x 2 3x 0 第 11 页 共 13 页 1 2 2 y x 1 22 解方程组 x2 y2 5 23 解方程 2 x 1 2 5 x l 2 0 24 解方程 x 2 2x 2 0 25 解方程 x 2 5x 3 0 26 已 知 关 于 x 的一元二次方程 x2 k 1 x 6 0 的一个根是 2 求方程的另一根和 k 的值 27 已 知 关 于 x 的一元 二次方程 k 4 x2 3x k 2 3k 4 0 的一个根为 0 求 k 的值 中考预测题 一 基础经典题 44 分 一 选择题 每题 4 分 共 28 分 备考 1 如果在 1 是方程 x 2 mx 1 0 的一个根 那么 m 的值为 A 2 B 3 C 1 D 2 备考 2 方程 2x x 3 5 x 3 的解是 A x 3 B x 5 C x 3 x 5 2 1 2 2 x2 mx n 0 D x 3 备考 3 若 n 是方程 的 根 n 0 则 m n 等于 A 7 B 6 C 1 D 1 备 考 4 关 于 x 的 方 程 x2 mx n 0 的 两 根 中 只 有 一 个 等 于 0 则 下 列 条 件 中 正 确 的 是 A m 0 n 0 B m 0 n 0 C m 0 n 0 D m 0 n 0 备考 5 以 5 2 6 和 5 2 6 为根的一元二次方程是 A x2 10 x 1 0 B x 2 10 x 1 0 C x 2 10 x 1 0 D x 2 10 x 1 0 备考 6 已知 x1 x2 是方程 x x 3 0 的两根 那么 x 2 x 2 值是 第 12 页 共 13 页 1 2 49 A 1 B 5 C 7 D 4 备 考 7 方 程 1 x2 m 3 x m2 0 4 有 两 个 不 相 等 的 实 根 那 么 m 的 最 大 整 数 是 A 2 B 1 C 0 D l 二 填空题 每题 4 分 共 16 分 备考 8 已知方程 x 2 3x 1 0 的两个根为 x x 那么 1 x 1 1 x 2 的值等于 备 考 9 已 知 方 程 x 2 px l 0 的 一 个 实 数 根 的 倒 数 恰 是 它本身 则 P 的值是 备 考 10 如 图 在 ABCD 中 AE BC 于 E AE EB EC a 且 a 是方程 x 2 2x 3 0 的 根 则 ABCD 的周长是 备 考 11 关 于 x 的 方 程 k 1 x2 3 k 2 x k 2 42 0 的 一 次 项 系 数 是 3 则 k 备考 12 关于 x 的方程 a 1 x a2 2a 1 x 5 0 是一元二次方程 则 a 三 实际应用题 9 分 本 题 为 增 长 率 问 题 一 般 形 式 为 a 1 x b a 为 起 始 时 间 的 有 关 数 量 b 为终止时 间的有关数量 备考 13 2003 年 2 月 27 日 广 州 日 报 报 道 2002 年底广州自然保护区覆盖率 即自 然保护区面积占全市面积的百分比 为 4 65 尚 未 达 到 国 家 A 级 标 准 因 此 市 政 府 决 定 加 快 绿 化 建 设 力 争 到 2005 年 底 自 然 保 护 区 覆 盖 率 达 到 8 以 上 若 要 达 到 最 低目标 8 则 广 州 市 自 然 保 护 区 面 积 的 年 平 均 增 长 率 应 是 多 少 结 果 保 留 三 位 有 效 数 字 14 据 媒 体 报 道 我 国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万 人 次 2011 年公民出境旅 第 13 页 共 13 页 游总人数约 7200 万 人 次 若 2010 年 2011 年 公 民 出 境 旅 游 总 人 数 逐 年 递 增 请 解 答 下列问题 1 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率 2 如 果 2012 年 仍 保 持 相 同 的 年 平 均 增 长 率 请 你 预 测 2012 年 我 国 公 民 出 境 旅 游 总 人 数约多少万人次 15 商场某种商品平均每天可销售 30 件 每 件 盈 利 50 元 为 了 尽 快 减 少 库 存 商 场 决 定 采 取 适 当 的 降 价 措 施 经 调 查 发 现 每 件 商 品 每 降 价 1 元 商 场 平 均 每 天 可 多 售 出 2 件 设 每件商品降价 x 元 据此规律 请回答 1 商 场 日 销 售 量 增 加 件 每 件 商 品 盈 利 元 用 含 x 的 代 数 式 表 示 2 在 上 述 条 件 不 变 销 售 正 常 情 况 下 每 件 商 品 降 价 多 少 元 时 商 场 日 盈 利 可 达 到 2100 元