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数学试卷 一、 选择题:(每小题5分共60分) 1、若命题 若p 则q 为真时,下列命题中一定正确的是 B(命题的相互关系) A. 若 -P,则 -q B. 若 -q,则 -pC. 若 p,则-q D. 若 -q,则 p 2、 若空间中有四个点,则“这四个点中有三个点在同一直线上” 是“这四个点在同一个平面上”的 A (充要条件的判定)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3、 设两个命题:关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立,函数f(x)=(52a)x是减函数,若此二命题有且只有一个为真命题,则实数a的范围是 A (简单的逻辑关联词)A. (-,-2) B .(-,2) C.(-2,2) D.(2,2.5)赞同4、方程x2+ xy=x表示的曲线是 C (曲线与方程)A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线5、已知椭圆 的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在Y轴上,那么 A (椭圆的几何性质) A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍6、 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值为 D (立体几何中的向量方法)A. B. C. D.7、一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s=t2,则t=2时,此木块在水平方向的瞬时速度为 C (变化率与导数) A.2 B.1 C. D.8、 函数F(x)=x3-aX2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是 A (导数的性质)A. a1 B. a=1 C. a D.0a19、在数列a中,a=1-+-+-,则a= D(数学归纳法)A.a+ B.a+- C. a+ D、a+-10、若在区间【1/2,2】上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在【1/2,2】上的最大值是?D (函数的最大值的求法)A. B. C.8 D.411 、由曲线y=x-x,直线x=-1及x轴围成的图形的面积为 C(定积分的简单应用)A. B、1 C. D.12、已知函数F(x)的导函数为f(x)=4x-4x, 且图像过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为?B (函数极值的应用)A、-1 B、0 C.1 D、1二、填空题(每小题4分共16分) 13、若椭圆+=1的离心率为,则m=或1814、已知函数F(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是a215、做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最省,则圆柱的底面半径为316、否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设是自然数都是奇数或至少有两个偶数三、 解答题:,共6小题,70分17、函数f(x)=x3-(a+3)x2+4ax-4 (aR)的单调区间(求函数的单调区间)解:x)=x3-(a+3)x2+4ax-4所以,f(x)=3x2-2(a+3)x+4a=(3x-2a)(x-2)则,当f(x)=0时有:x1=2a/3,x2=2当2a/3=2,即a=3时,f(x)=3(x-2)20,则f(x)在R上单调递增;当a3时,2a/32则在x2a/3,或者x2时,f(x)0,f(x)单调递增;在2x2a/3时,f(x)0,f(x)单调递减;当a3时,2a/32则在x2,或者x2a/3时,f(x)0,f(x)单调递增;在2a/3x2时,f(x)0,f(x)单调递减.18、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?(生活中的优化问题)解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5)m,高为3.2-2x由3.2-2x0和x0,得0x1.6,设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0x1.6)整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6xy=-6x2+4.4x+1.6-6分令 y=0,有x=1从而,在定义域(0,1.6)内只有在x=1 处使y取最大值,这时,高为1.2m答:容器的高为1.2m时容积最大,故填1.2m20、设数列a满足s+ a=2n+1(1)写出a1,a2,a3,并推测a的表达式;(2)用数学归纳法证明结论(数学归纳法证明)解:(1) 由s+ a=2n+1,得a1=32, a2= , a3=故推测a=2-(2)证明:n=1时,a1=,结论成立;假设当n=k时结论成立,及a=2-当n=k+1时a1+a2+a3+.+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1所以a1+a2+ak=2k+1-ak所以2ak+1=ak+2,所以2ak+1=4-所以当n=k+1时结论成立由知结论成立21、已知直线y=kx-1与双曲线x-y=1的左支交于A、B两点,若另一条直线l经过点P(-2,0)及线段AB的中点Q(1)求k的取值范围,(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围解:(1)将y=kx-1代入x-y=1,化简得(1-k2)x2+2kx-2=0由题设条件得 4k2+8(1-k2)0 -0所以-k0x1+x2=2k/(k-1)0解之得:-2k0)的图像在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-11).试用a表示出b,c;(2).若f(x)lnx在【1,+)上恒成立,求a的取值范围;(3).证明:1+1/2+1/3+.+1/nln(n+1)+n/2(n+1).(n=1)1)f(x)=a-b/(x*x) 由y=x-1 知 : f(1)=1=a-b 则:b=a-1 当x=1时 y=0 即 f(1)=0=a+b+c 则:c=-a-b=12) g(x) = f(x) - lnx= ax + (a-1)/x + 1 - 2a - lnx g(x) = a - (a-1)/x - 1/x = (ax - x -a + 1)/x= (x -1)ax - (1 -a) = 0x = 1或x = (1-a)/aa 0, h(x) =(ax - x -a + 1)为开口向上的抛物线, 与x轴交于A(1, 0), B(1-a)/a, 0), 且在A,B外侧, g(x) 0若f(x)大于等于Lnx在1,+无穷大)上恒成立, 只需g(1) 0且g(x)在1, +)上是增函数即可.要做到这一点,须B在A左侧或重合: (1-a)/a 1, a 1/2(3)证明:由(1)可知a1/2 时,f(x)lnx在1,+上恒成立,则当a=1/2时,f(x)=1/2(x-1/x)x(x1)且当x1时,1/2(x-1/x)x令x=,有1/2(-)=1/2(1+)-(1-)即(k+1)-k1/2(+),k=1,2,3,n.将上述n个不等式依次相加得(n+1)ln(n+1)+n/2(n+1)
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