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数学试卷 一、 选择题：（每小题5分共60分） 1、若命题 若p 则q 为真时,下列命题中一定正确的是 B（命题的相互关系） A. 若 -P，则 -q B. 若 -q，则 -pC. 若 p，则-q D. 若 -q，则 p 2、 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个点在同一直线上” 是“这四个点在同一个平面上”的 A (充要条件的判定)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3、 设两个命题：关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立，函数f(x)=(52a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是 A （简单的逻辑关联词）A. (-,-2) B .(-,2) C.(-2，2) D.(2,2.5)赞同4、方程x2+ xy=x表示的曲线是 C （曲线与方程）A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线5、已知椭圆 的焦点为F1和F2,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在Y轴上，那么 A （椭圆的几何性质） A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍6、 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为 D （立体几何中的向量方法）A. B. C. D.7、一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s=t2,则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为 C （变化率与导数） A.2 B.1 C. D.8、 函数F(x)=x3-aX2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是 A （导数的性质）A. a1 B. a=1 C. a D.0a19、在数列a中，a=1-+-+-，则a= D（数学归纳法）A.a+ B.a+- C. a+ D、a+-10、若在区间【1/2，2】上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1/x在同一点取得相同的最小值，则f(x)在【1/2，2】上的最大值是？D （函数的最大值的求法）A. B. C.8 D.411 、由曲线y=x-x,直线x=-1及x轴围成的图形的面积为 C（定积分的简单应用）A. B、1 C. D.12、已知函数F(x)的导函数为f(x)=4x-4x, 且图像过点（0，-5），当函数f（x）取得极大值-5时，x的值应为？B （函数极值的应用）A、-1 B、0 C.1 D、1二、填空题（每小题4分共16分） 13、若椭圆+=1的离心率为，则m=或1814、已知函数F(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是a215、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为316、否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时，正确的反设是自然数都是奇数或至少有两个偶数三、 解答题：,共6小题，70分17、函数f(x)=x3-(a+3)x2+4ax-4 （aR）的单调区间（求函数的单调区间）解：x)=x3-(a+3)x2+4ax-4所以，f(x)=3x2-2(a+3)x+4a=(3x-2a)(x-2)则，当f(x)=0时有：x1=2a/3，x2=2当2a/3=2，即a=3时，f(x)=3(x-2)20，则f(x)在R上单调递增；当a3时，2a/32则在x2a/3，或者x2时，f(x)0，f(x)单调递增；在2x2a/3时，f(x)0，f(x)单调递减；当a3时，2a/32则在x2，或者x2a/3时，f(x)0，f(x)单调递增；在2a/3x2时，f(x)0，f(x)单调递减.18、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？（生活中的优化问题）解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5）m，高为3.2-2x由3.2-2x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2-2x） （0x1.6）整理，得y=-2x3+2.2x2+1.6xy=-6x2+4.4x+1.6-6分令 y=0，有x=1从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1 处使y取最大值，这时，高为1.2m答：容器的高为1.2m时容积最大，故填1.2m20、设数列a满足s+ a=2n+1(1)写出a1,a2,a3,并推测a的表达式；（2）用数学归纳法证明结论（数学归纳法证明）解：(1) 由s+ a=2n+1，得a1=32, a2= , a3=故推测a=2-（2）证明：n=1时，a1=，结论成立；假设当n=k时结论成立,及a=2-当n=k+1时a1+a2+a3+.+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1所以a1+a2+ak=2k+1-ak所以2ak+1=ak+2,所以2ak+1=4-所以当n=k+1时结论成立由知结论成立21、已知直线y=kx-1与双曲线x-y=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P（-2，0）及线段AB的中点Q（1）求k的取值范围，（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围解：（1）将y=kx-1代入x-y=1，化简得（1-k2）x2+2kx-2=0由题设条件得 4k2+8(1-k2)0 -0所以-k0x1+x2=2k/(k-1)0解之得：-2k0)的图像在点（1，f（1）处的切线方程为y=x-11).试用a表示出b,c;(2).若f(x)lnx在【1，+)上恒成立，求a的取值范围；(3).证明：1+1/2+1/3+.+1/nln(n+1)+n/2(n+1).(n=1)1）f(x)=a-b/(x*x) 由y=x-1 知 ： f(1)=1=a-b 则：b=a-1 当x=1时 y=0 即 f(1)=0=a+b+c 则：c=-a-b=12) g(x) = f(x) - lnx= ax + (a-1)/x + 1 - 2a - lnx g(x) = a - (a-1)/x - 1/x = (ax - x -a + 1)/x= (x -1)ax - (1 -a) = 0x = 1或x = (1-a)/aa 0, h(x) =(ax - x -a + 1)为开口向上的抛物线, 与x轴交于A(1, 0), B(1-a)/a, 0), 且在A,B外侧, g(x) 0若f(x)大于等于Lnx在1，+无穷大)上恒成立, 只需g(1) 0且g(x)在1, +)上是增函数即可.要做到这一点，须B在A左侧或重合: (1-a)/a 1, a 1/2(3)证明：由（1）可知a1/2 时，f（x）lnx在1，+上恒成立，则当a=1/2时，f(x)=1/2(x-1/x)x（x1）且当x1时，1/2(x-1/x)x令x=，有1/2(-)=1/2(1+)-（1-）即（k+1）-k1/2(+),k=1,2,3,n.将上述n个不等式依次相加得（n+1）ln(n+1)+n/2(n+1)
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