2018年北京市春季普通高中会考数学试卷

2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=1，2，3，B=1，2，那么AB等于（）A3B1，2C1，3D1，2，32（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A3BCD33（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）Ax20BCDlgx04（3分）已知向量，且，那么x的值是（）A2B3C4D65（3分）给出下列四个函数；y=|x|； y=lgx； y=x3+1，其中奇函数的序号是（）ABCD6（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向上平移个单位D向下平移个单位7（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A3B6C10D158（3分）设数列an的前项和为Sn，如果a1=1，an+1=2an（nN*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）AS1BS2CS3DS49（3分）等于（）A1B2C5D610（3分）如果为锐角，那么sin2的值等于（）ABCD11（3分）已知a0，b0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A4B8C16D3212（3分）cos12cos18sin12sin18的值等于（）ABCD13（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄1220岁2030岁3040岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取2030岁的人数为（）A12B28C69D9114（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A4B5C6D2+415（3分）已知向量满足，那么向量的夹角为（）A30B60C120D15016（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）ABCD17（3分）函数的零点个数为（）A0B1C2D318（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x1）2+（y2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离19（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）ABCD20（3分）在ABC中，那么sinA等于（）ABCD21（3分）九章算术的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和齐的距离是3000里良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A1235B1800C2600D300022（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出下列四个推断：A1C1AD1A1C1BD平面A1C1B平面ACD1平面A1C1B平面BB1D1D其中正确的推断有（）A1个B2个C3个D4个23（3分）如图，在ABC中，BAC=90，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A3B5C6D924（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中错误的是（）A2016年第三季度和第四季度环比都有提高B2017年第一季度和第二季度环比都有提高C2016年第三季度和第四季度同比都有提高D2017年第一季度和第二季度同比都有提高25（3分）已知函数f（x）=|x22xa|+a在区间1，3上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A（，0B（，1C0，+）D二、解答题（共5小题，满分25分）26（5分）已知函数f（x）=12sin2x（1）= ；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值27（5分）如图，在三棱锥PABC中，PBBC，ACBC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB平面EFG；（2）求证：BCEG28（5分）已知数列an是等比数列，且，公比q=2（1）数列an的通项公式为an= ；（2）数列bn满足bn=log2an（nN*），求数列bn的前n项和Sn的最小值29（5分）已知圆M：2x2+2y26x+1=0（1）圆M的圆心坐标为 ；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D与圆M在第一象限的部分交于两点B，C若O为坐标原点，且OAB与OCD的面积相等，求直线l的斜率30（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆这些现象中都有相似的曲线形态事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=aex+bex（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828）（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b= ；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值2018年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知集合A=1，2，3，B=1，2，那么AB等于（）A3B1，2C1，3D1，2，3【解答】解：集合A=1，2，3，B=1，2，AB=1，2故选：B2（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A3BCD3【解答】解：直线l的斜率k=，故选：C3（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）Ax20BCDlgx0【解答】解：Ax20，因此不正确；B.0，因此不正确；C0，+110，恒成立，正确；D.0x1时，lgx0，因此不正确故选：C4（3分）已知向量，且，那么x的值是（）A2B3C4D6【解答】解：向量，且，则6x34=0，解得x=2故选：A5（3分）给出下列四个函数；y=|x|； y=lgx； y=x3+1，其中奇函数的序号是（）ABCD【解答】解：满足f（x）=f（x），为奇函数；y=|x|满足f（x）=f（x），为偶函数； y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数； y=x3+1不满足f（x）=f（x），不为奇函数故选A6（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向上平移个单位D向下平移个单位【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B7（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A3B6C10D15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i4，退出循环，输出S的值为6故选：B8（3分）设数列an的前项和为Sn，如果a1=1，an+1=2an（nN*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）AS1BS2CS3DS4【解答】解：an的前n项和为Sn，如果a1=1，an+1=2an（nN*），则数列an为首项为1，公比为2的等比数列，则S1=a1=1；S2=12=1；S3=12+4=3；S4=12+48=5则其中最小值为S4故选：D9（3分）等于（）A1B2C5D6【解答】解：原式=2故选：B10（3分）如果为锐角，那么sin2的值等于（）ABCD【解答】解：为锐角，cos=，sin2=2sincos=2=故选：A11（3分）已知a0，b0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A4B8C16D32【解答】解：a0，b0，且a+2b=8，则ab=a2b（）2=16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号则ab的最大值为8故选：B12（3分）cos12cos18sin12sin18的值等于（）ABCD【解答】解：cos12cos18sin12sin18=cos（12+18）=cos30=，故选：D13（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄1220岁2030岁3040岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取2030岁的人数为（）A12B28C69D91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取2030岁的人数为20045.5%=91人，故选：D14（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A4B5C6D2+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，这个几何体的表面积：S=2r2+2r2=2+4=6故选：C15（3分）已知向量满足，那么向量的夹角为（）A30B60C120D150【解答】解：根据题意，设向量的夹角为，又由，则cos=，又由0180，则=60；故选：B16（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）ABCD【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=故选：D17（3分）函数的零点个数为（）A0B1C2D3【解答】解：根据题意，对于函数，其对应的方程为x2=0，令t=，有t0，则有t2t2=0，解可得t=2或t=1（舍），若t=2，则x=4，即方程x2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B18（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x1）2+（y2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x1）2+（y2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|=，且+，两圆的位置关系是相交故选：B19（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）ABCD【解答】解：经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y2=0，经过（2，0），（0，2）点的直线方程为=1，即xy2=0，经过（1，0），（0，2）点的直线方程为x+=1，即2xy+2=0，则阴影部分在x+y2=0的下方，即对应不等式为x+y20阴影部分在2xy+2=0，的下方，即对应不等式为2xy+20阴影部分在xy2=0的上方，即对应不等式为xy20，即对应不等式组为，故选：A20（3分）在ABC中，那么sinA等于（）ABCD【解答】解：在ABC中，则：，解得：故选：B21（3分）九章算术的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和齐的距离是3000里良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A1235B1800C2600D3000【解答】解：长安和齐的距离是3000里良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4193+）+4=1235故选：A22（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出下列四个推断：A1C1AD1A1C1BD平面A1C1B平面ACD1平面A1C1B平面BB1D1D其中正确的推断有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，在中，A1C1与AD1成60角，故错误；在中，A1C1AC，ACBD，A1C1BD，故正确；在中，A1C1AC，AD1BC1，A1C1BC1=C1，ACAD1=A，A1C1、BC1平面A1C1B，AC、AD1平面ACD1，平面A1C1B平面ACD1，故正确；在中，A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1=B1，平面A1C1B平面BB1D1D，故正确故选：C23（3分）如图，在ABC中，BAC=90，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A3B5C6D9【解答】解：=，BAC=90，AB=3，CD=2DB=（+）=（+）=（+）=（+）=2+=9+0=6，故选：C24（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中错误的是（）A2016年第三季度和第四季度环比都有提高B2017年第一季度和第二季度环比都有提高C2016年第三季度和第四季度同比都有提高D2017年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确故选：C25（3分）已知函数f（x）=|x22xa|+a在区间1，3上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A（，0B（，1C0，+）D【解答】解：f（x）=|x22xa|+a=|（x1）21a|，x1，3，x22x1，3，当a3时，x22xa0，f（x）=|x22xa|+a=x2+2x+a+a=x2+2x+2a=（x1）2+12a，当x=1时，取的最大值，即12a=3，解得a=1，与题意不符；当a1时，x22xa0，f（x）=|x22xa|+a=x22xa+a=x22x=（x1）21，当x=1或3时，取的最大值，（31）21=3，综上所述a的取值范围为（，1故选：B二、解答题（共5小题，满分25分）26（5分）已知函数f（x）=12sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：函数f（x）=12sin2x=cos2x，（1）=cos（2）=；故答案为：；（2）x，2x，cos2x0，1，当x=时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为027（5分）如图，在三棱锥PABC中，PBBC，ACBC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB平面EFG；（2）求证：BCEG【解答】证明：（1）点F，G分别为BC，PC，的中点，GFPB，PB平面EFG，FG平面EFG，PB平面EFG（2）在三棱锥PABC中，PBBC，ACBC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，EFAC，GFPB，EFBC，GFBC，EFFG=F，BC平面EFG，EG平面EFG，BCEG28（5分）已知数列an是等比数列，且，公比q=2（1）数列an的通项公式为an=2n4；（2）数列bn满足bn=log2an（nN*），求数列bn的前n项和Sn的最小值【解答】解：（1）数列an是等比数列，且，公比q=2，可得an=2n1=2n4；故答案为：2n4；（2）bn=log2an=log22n4=n4，Sn=n（3+n4）=（n27n）=（n）2，可得n=3或4时，Sn取得最小值，且为629（5分）已知圆M：2x2+2y26x+1=0（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D与圆M在第一象限的部分交于两点B，C若O为坐标原点，且OAB与OCD的面积相等，求直线l的斜率【解答】解：（1）圆M：2x2+2y26x+1=0转化为：则圆M的圆心坐标为：（）（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D则：设直线的方程为：y=kx+2与圆M在第一象限的部分交于两点B，C且OAB与OCD的面积相等，则：AB=CD即：AM=DM设点A（x，0）则：，整理得：x23x4=0，解得：x=4或1（负值舍去）则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=故直线的斜率为故答案为：（，0）；直线的斜率为30（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆这些现象中都有相似的曲线形态事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=aex+bex（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828）（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=1；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex+bex，f（x）是偶函数，f（x）=f（x），即ex+bex=ex+bex，则b=1（2）当a=1时，b=1时，f（x）=exex，为增函数（3）当ab0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a0，b0，此时f（x）=aex+bex2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b2=2，即a+b的最小值为2故答案为：1第23页（共23页）