全等三角形经典题型——辅助线问题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 含答案 总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 构造二个角之间的相等 三角形辅助线做法 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 1 等腰三角形 三线合一 法 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三 线合一 的性质解题 2 倍长中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 3 角平分线在三种添辅助线 4 垂直平分线联结线段两端 5 用 截长法 或 补短法 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长 6 图形补全法 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7 角度数为 30 60 度的作垂线法 遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度 可以从角一边上一点向角的另一边作垂线 目的是构成 30 60 90 的特殊直角三角形 然后 计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角 从而为证明全 等三角形创造边 角之间的相等条件 8 计算数值法 遇到等腰直角三角形 正方形时 或 30 60 90 的特殊直角三角形 或 40 60 80 的特殊直角三角形 常计算边的长度与角的度数 这样可以得到在数值上相等 的二条边或二个角 从而为证明全等三角形创造边 角之间的相等条件 D CB A 常见辅助线的作法有以下几种 最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的相等 二 个角之间的相等 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式 是全等变换中的 对折 法构造全等三角形 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 旋转 法构造全等三角形 3 遇到角平分线在三种添辅助线的方法 1 可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线 利用的思维模式是三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角 平分线的性质定理或逆定理 2 可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与 角的两边相交 形成一对全等三角形 3 可以在该角的两边上 距离角的顶点相 等长度的位置上截取二点 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线 构造一对 全等三角形 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变 换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或 是将某条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说 明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端 点作连线 出一对全等三角形 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段 连接起来 利用三角形面积的知识解答 一 倍长中线 线段 造全等 例 1 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 解 延长 AD 至 E 使 AE 2AD 连 BE 由三角形性质知 E D F CB A AB BE 2AD AB BE 故 AD 的取值范围是 1 AD 4 例 2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的 大小 解 倍长中线 等腰三角形 三线合一 法 延长 FD 至 G 使 FG 2EF 连 BG EG 显然 BG FC 在 EFG 中 注意到 DE DF 由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在 BEG 中 由三角形性质知 EG BG BE 故 EF BE FC 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE ED CB A 解 延长 AE 至 G 使 AG 2AE 连 BG DG 显然 DG AC GDC ACD 由于 DC AC 故 ADC DAC 在 ADB 与 ADG 中 BD AC DG AD AD ADB ADC ACD ADC GDC ADG 故 ADB ADG 故有 BAD DAG 即 AD 平分 BAE 应用 1 以 的两边AB AC为腰分别向外作等腰Rt 和ABD 等腰Rt ACE 连接DE M N分别是BC DE的中点 探究 AM与DE 的位置关90 BADCE 系及数量关系 1 如图 当 为直角三角形时 AM与DE的位置关系是 B 线段AM与DE 的数量关系是 2 将图 中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 0 90 后 如图 所示 D 1 问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由 解 1 AMED2 ED 证明 延长 AM 到 G 使 连 BG 则 ABGC 是平行四边形 BC 180BC 又 ADE G 再证 B AMDE2 EDABG 延长 MN 交 DE 于 H 90 DA EM 2 结论仍然成立 证明 如图 延长 CA 至 F 使 FA 交 DE 于点 P 并连接 BFAC BAD E DF 90 在 和 中 DABEF SAS EF N 90AEPD B 又 AFC MB 且 21 DEA 二 截长补短 1 如图 中 AB 2AC AD 平分 且 AD BD 求证 CD ACBC BAC 解 截长法 在 AB 上取中点 F 连 FD ADB 是等腰三角形 F 是底 AB 中点 由三线合一知 E DF AB 故 AFD 90 ADF ADC SAS ACD AFD 90 即 CD A 2 如图 AD BC EA EB 分别平分 DAB CBA CD 过点 E 求证 AB AD BC 解 截长法 在 AB 上取点 F 使 AF AD 连 FE ADE AFE SAS E D CB A ADE AFE ADE BCE 180 AFE BFE 180 故 ECB EFB FBE CBE AAS 故有 BF BC 从而 AB AD BC D CB A P Q C B A 3 如图 已知在 ABC 内 P Q 分06BAC 04 别在 BC CA 上 并且 AP BQ 分别是 的角平分线 求证 BQ AQ AB BP 解 补短法 计算数值法 延长 AB 至 D 使 BD BP 连 DP 在等腰 BPD 中 可得 BDP 40 从而 BDP 40 ACP ADP ACP ASA 故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ AQ AB BP 4 如图 在四边形 ABCD 中 BC BA AD CD BD 平分 BC 求证 018 CA 解 补短法 延长 BA 至 F 使 BF BC 连 FD BDF BDC SAS 故 DFB DCB FD DC 又 AD CD 故在等腰 BFD 中 P 21 D CB A DFB DAF 故有 BAD BCD 180 5 如图在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任意一点 求证 AB AC PB PC 解 补短法 延长 AC 至 F 使 AF AB 连 PD ABP AFP SAS 故 BP PF 由三角形性质知 PB PC PF PC BF BA AF BA AC 从而 PB BE CE BC BF BC BA AC BC PA 例 2 如图 在 ABC 的边上取两点 D E 且 BD CE 求证 AB AC AD AE 证明 取 BC 中点 M 连 AM 并延长至 N 使 MN AM 连 BN DN BD CE DM EM DMN EMA SAS DN AE 同理 BN CA 延长 ND 交 AB 于 P 则 BN BP PN DP PA AD 相加得 BN BP DP PA PN AD OE D CB A 各减去 DP 得 BN AB DN AD AB AC AD AE 四 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD DC AE AC 证明 角平分线在三种添辅助线 计算数值法 B 60 度 则 BAC BCA 120 度 AD CE 均为角平分线 则 OAC OCA 60 度 AOE COD AOC 120 度 在 AC 上截取线段 AF AE 连接 OF 又 AO AO OAE OAF 则 OAE OAF SAS OE OF AE AF AOF AOE 60 度 则 COF AOC AOF 60 度 COD 又 CO CO OCD OCF 故 OCD OCF SAS OD OF CD CF OE OD DC AE CF AF AC 2 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab 解 垂直平分线联结线段两端 连接 BD DC DG 垂直平分 BC 故 BD DC 由于 AD 平分 BAC DE AB 于 E DF AC 于 F 故有 ED DF 故 RT DBE RT DFC HL 故有 BE CF AB AC 2AE AE a b 2 BE a b 2 应用 1 如 图 O P 是 M O N 的 E D G FCB A 平 分 线 请 你 利 用 该 图 形 画 一 对 以 O P 所 在 直 线 为 对 称 轴 的 全 等 三 角 形 请 你 参 考 这 个 作 全 等 三 角 形 的 方 法 解 答 下 列 问 题 1 如图 在 ABC 中 ACB 是直角 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之 间的数量关系 2 如图 在 ABC 中 如果 ACB 不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 解 1 FE 与 FD 之间的数量关系为 FDE 2 答 1 中的结论 仍然成立 F 证法一 如图 1 在 AC 上截取 连结 FG AG AF 为公共边 2 AGFE E AD CE 分别是 的平分线 60BBAC 32 60FGCDAFE 60 及 FC 为公共边43 CFDG E 证法二 如图 2 过点 F 分别作 于点 G 于点 H AB BCF AD CE 分别是 的平分线 60BC 可得 F 是 的内心 3 1 GEGH 又 BD F 可证 HEG D 五 旋转 F E D CB A 例1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 证明 将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度 至三角形 ABG 则 GE GB BE DF BE EF 又 AE AE AF AG 所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF GAE BAE GAB BAE DAF 又 EAF BAE DAF 90 所以 EAF 45 度 例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点 DM DN DM DN 分别交 BC CA 于点 E F RtABC 1 当 绕点 D 转动时 求证 DE DF MN 2 若 AB 2 求四边形 DECF 的面积 解 计算数值法 1 连接 DC D 为等腰 斜边 AB 的中点 故有 CD AB CD DARtABC CD 平分 BCA 90 ECD DCA 45 由于 DM DN 有 EDN 90 由于 CD AB 有 CDA 90 从而 CDE FDA 故有 CDE ADF ASA 故有 DE DF 2 S ABC 2 S 四 DECF S ACD 1 例 3 如 图 ABC 是 边 长 为 3 的 等 边 三 角 形 BDC 是 等 腰 三 角 形 且 012BDC 以 D 为 顶 点 做 一 个 06 角 使 其 两 边 分 别 交 A B 于 点 M 交 A C 于 点 N 连 接 M N 则 A 的 周 长 为 解 图形补全法 截长法 或 补短法 计算数值法 AC 的延长线与 BD 的延长线交 于点 F 在线段 CF 上取点 E 使 CE BM ABC 为等边三角形 BCD 为等腰三角形 且 BDC 120 MBD MBC DBC 60 30 90 DCE 180 ACD 180 ABD 90 又 BM CE BD CD CDE BDM CDE BDM DE DM NDE NDC CDE NDC BDM BDC MDN 120 60 60 在 DMN 和 DEN 中 DM DE MDN EDN 60 DN DN DMN DEN MN NE 在 DMA 和 DEF 中 DM DE MDA 60 MDB 60 CDE EDF CDE BDM DAM DFE 30 DMN DEN AAS MA FE 的周长为 AN MN AM AN NE EF AF 6AMN 应用 1 已 知 四 边 形 ABCD 中 ABC 120 6MBN 绕 点 旋 转 它 的 两 边 分 别 交 ADC 或 它 们 的 延 长 线 于 EF 当 绕 点旋转到 时 如图 1 易证 MBN AECF AECF 当 绕 点旋转到 时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成 立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 又有怎样的数量关系 请写出 你的猜想 不需证明 解 1 ADB CBA CFE SAS CFE E 120AB 60MBN 为等边三角形3CF E EA21 FBA 2 图 2 成立 图 3 不成立 N 证明图 2 延长 DC 至点 K 使 连接 BKAEC 则 BCAE 60F 120 ABEC K 60F EB K FC 即 EA 图 3 不成立 AE CF EF 的关系是 EFCA 2 西城 09 年一模 已知 PA PB 4 以 AB为一边作正方形 ABCD 使 P D 两点落在2 直线 AB的两侧 1 如图 当 APB 45 时 求 AB及 PD的长 2 当 APB 变化 且其它条件不变时 求 PD的最大值 及相应 APB 的大小 分析 1 作辅助线 过点 A 作 于点 E 在PB 中 已知 AP 的值 根据三角函数可将PAERt PE AE PE 的值求出 由 PB 的值 可求 BE 的值 在 中 ARt 根据勾股定理可将 AB 的值求出 求 PD 的值有两种解法 解 法一 可将 绕点 A 顺时针旋转 得到 可得 求 PD 长即为D 90BP ABPD 求 的长 在 中 可将 的值求出 在 中 根据勾股定理可将BP PRt t 的值求出 解法二 过点 P 作 AB 的平行线 与 DA 的延长线交于 F 交 PB 于 G 在 中 可求出 AG EG 的长 进而可知 PG 的值 在 中 可求出 PF 在AEGRt Rt 中 根据勾股定理可将 PD 的值求出 F 2 将 绕点 A 顺时针旋转 得到 PD 的最大值即为 的最大值 PD 90ABP BP 故当 P B 三点共线时 取得最大值 根据 可求 的最大值 此 BP 时 135180A 解 1 如图 作 于点 EPBA 中 PERt 452 12 A 4PB 3 E 在 中 ARt 90B 12 B 解法一 如图 因为四边形 ABCD 为正方形 可将将 绕点 A 顺时针旋转PD 得到 可得 90AP ABPD A 90 45 90 2 52422 PBPD 解法二 如图 过点 P 作 AB 的平行线 与 DA 的延长线交于 F 设 DA 的延长线交 PB 于 G 在 中 可得 AERt 310coscos ABEEGG32 P 在 中 可得 FGRt 510coscos PFP 510F 在 中 可得PDt 523105105222 FAF 2 如图所示 将 绕点 A 顺时针旋转 得到 PD 的最大值 即为PD 9ABP 的最大值BP 中 且 P D 两点落在直线 ABBP PB 2 A4B 的两侧 当 P B 三点共线时 取得最大值 如图 此时 即 的最大值为 66 PB 此时 135180A 3 在等边 的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为 外一点 且BC ABC BD DC 探究 当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时 60MDN 120 BM NC MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系 A 图 1 图 2 图 3 I 如图 1 当点 M N 边 AB AC 上 且 DM DN 时 BM NC MN 之间的数量 关系是 此时 LQ II 如图 2 点 M N 边 AB AC 上 且当 DM DN 时 猜想 I 问的两个结论 还成立吗 写出你的猜想并加以证明 III 如图 3 当 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 AN 则 Q 用 L 表示 xx 分析 1 如果 因为 那么D DNM DCB 也就有 直角三角形 MBD NCD 30CBD 9036CB 中 因为 根据 HL 定理 两三角形全等 那么 DCB NMNCBM 三角形 NCD 中 在三角形 DNM 中 60N 30DCN2 因此三角形 DMN 是个等边三角形 因此M 三角形 AMN 的周长B 2 AQ 三角形 ABC 的周长 因此 ACNA2 BL3 3 2 LQ 2 如果 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换 延长 AC 至DM E 使 连接 DE 1 中我们已经得出 那么三角形BC 90NCDM MBD 和 ECD 中 有了一组直角 因此两三角形全等 那么EB 三角形 MDN 和 EDN 中 DC 6DCN 有 有一条公共边 因此两三角形全等 60E NEM 至此我们把 BM 转换成了 CE 把 MN 转换成了 NE 因为 因此E Q 与 L 的关系的求法同 1 得出的结果是一样的 NBM 3 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换 思路同 2 过 D 作 三角形 BDM 和 CDH 中 由 1 中已经得出的 DCH 90BCH 我们做的角 因此两三角形全等 ASA 那么 CH DB M 三角形 MDN 和 NDH 中 已知的条件有 一条公共边 ND 要想证 M 得两三角形全等就需要知道 因为 因此NM C 因为 那么 120BM 60 6012 因此 这样就构成了两三角形全等的条件 三角形 MDN 和 DNH 60NDH 就全等了 那么 三角形 AMN 的周长BAC ANQ 因为 因此三角形 AMN 的周长BMC2 x L31 Lx32 解 1 如图 1 BM NC MN 之间的数量关系 此时 MNCB 32 LQ 2 猜想 结论仍然成立 证明 如图 2 延长 AC 至 E 使 连接 DEMC 且CDB 120B 3 又 是等边三角形A 90NCDMB 在 与 中 E DCB SAS EM CDEB 60NDN 在 与 中 E DNM SAS E BC 故 的周长AMN MNAQ ABCNAB2 而等边 的周长B BL3 23 AL 3 如图 3 当 M N 分别在 AB CA 的延长线上时 若 则xAN 用 x L 表示 xQ2 点评 本题考查了三角形全等的判定及性质 题目中线段的转换都是根据全等三角形 来实现的 当题中没有明显的全等三角形时 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知 和所求条件相关的全等三角形 D 全等三角形经典题型 4 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图 1 所示的四块 即图中标有 1 2 3 4 的四块 你认为将其中的哪一些块带去玻璃店 就能配一块与原来一样大小的三角形 应该带 A 第 1 块 B 第 2 块 C 第 3 块 D 第 4 块 第 4 题图 23 8 分 已知 在 中 点 是 边上的中点 点ABC 90 BCADA 在 边上 点 在 边上 且 试探究 两条线段之间的关系 EACFFEFE 并说明理由 第 23 题图 24 8 分 用两个全等的等边三角形 和 拼成四边形 把一个含ABC DABC 角的三角尺与这个四边形叠合 使三角尺的 角的顶点与点 重合 两边分别与 60 60 重合 将三角尺绕点 按逆时针方向旋转 ACB 1 当三角尺的两边分别于四边形的两边 相较于点 时 如图 通过CDB FE a 观察或测量 的长度 你能得出什么结论 并说明理由 CFBE 2 当三角尺的两边分别与四边形的两边 的延长线相较于点 时 如图 b 你在 1 中得到的结论还成立吗 并说明理由 25 10 分 1 如图 1 正方形 中 为边 上一点 连接 过点 作ABCDEAE 交 的延长线于 猜想 与 的数量关系为 说明AEF CBFF 理由 2 如图 2 在 1 的条件下 连接 过点 作 交 的延长线于 CM BM 观察并猜想 与 的数量关系 不必说明理由 M 解决问题 王师傅有一块如图所示的板材余料 其中 王 90 BAAD 师傅想切下一刀后把它拼成正方形 请你帮王师傅在图 3 中画出剪拼得示意图 王师傅现在有两块同样大小的该余料 能否在每块上各切一刀 然后拼成一个大的正方 形呢 若能 请你画出剪拼的示意图 若不能 简要证明理由 20 本题满分 6 分 如图 线段 经过线段 的中点 且 求证 ABCDEADC BDC 20EDC A B 25 本题满分 10 分 如图 和 均为等腰直角三角形 ACB DE 点 在同一条直线上 为 中边上的高 连接 90DCEAB CMDE 1 求 的度数 2 猜想线段 之间的数量关系 并说明理由 BAM 25EDM CA B 26 本题满分 10 分 在等腰直角三角形 中 直线 过ABCACB 90MN 点 且 以点 为一锐角顶点作 且点 在直线AMNBCDERT D 上 不与点 重合 1 如图 与 交于点 小明发现 过点 作 的垂线交 于点 可DEAPF 以证明出 你也能证明出吗 请你写出证明过程 B 2 在图 中 与 延长线交于点 是否成立 如果成立 请给予证CDP 明 如果不成立 请说明理由 3 在图 中 与 延长线交于点 请直接写出你的结DEA是 否 相 等与B 论 无需证明 26 3 2 1 P PP E EE DDD CCC BBB AAA NNN MMM 4 具备下列条件的两个三角形 不能判断全等的是 A 两边及其夹角分别相等的两个三角形 B 两角及其夹边分别相等的两个三角形 C 三边分别相等的两个三角形 D 两边且其中一条对应边的对角对应相等的两个三角形 19 6 分 如图 点 E F在 BC上 FE DCAB 求证 A 19 FE ADCB 23 8 分 如图 在 ABC 中 2 40CB 点 D在线段 BC上运 动 点 D不与 重合 连接 D 作 AE 交线段 A于 E 1 当 20时 E 2 当 等于多少时 请写出证明过程 3 A 能成为等腰三角形吗 若能 请直接写出此时 B的度数 若不能 请说 明理由 24 ECABD 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 并加以证明 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC E 为 CD 的中点 连结 AE BE BE AE 延长 AE 交 BC 的延长线于点 F 求证 1 FC AD 2 AB BC AD