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习题一（A）1. 写出下列事件的样本空间：把一枚硬币连续抛掷两次；掷两颗骰子；连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数；某城市一天内的用电量解 ，其中表示正面，表示反面 2.为三个事件，试将下列事件用表示出来：仅发生；均发生；均不发生；发生而至少有一个不发生；不发生而至少有一个发生；不全发生；最多有个发生；至少有个发生；最多有一个发生；恰有个发生解 ；或； ；或；或； ； ；3掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件偶数点，奇数点，点数小于，小于的偶数点，讨论上述各事件间的关系解 ，与为对立事件，即；与互不相容；事件表示某个生产单位第车间完成生产任务，表示至少有两个车间完成生产任务，表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及的含义，并且用表示出来解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务表示三个车间均完成生产任务抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率解设事件表示两枚硬币中至少出现一个正面若用表示正面，表示反面，其出现是等可能的则样本空间含有四个等可能样本点：，由于事件含有其中个样本点故抛掷一枚硬币，连续次，求既有正面又有反面出现的概率解设事件表示三次中既有正面又有反面出现，则表示三次均为正面或三次均为反面出现，其所包含的样本点数为而抛掷三次硬币共有种不同的等可能结果，故样本空间的样本点总数为，因此掷两颗骰子，求下列事件的概率：点数之和为；点数之和不超过；两个点数中一个恰是另一个的两倍解点数之和为，点数之和不超过，两个点数中一个恰是另一个的两倍所以；把钥匙中有把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率解设事件表示门锁能被打开则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁袋内装有个白球，个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率及两个球中有黑球的概率解记事件表示取到的两个球颜色不同则有利于事件的样本点数为而组成试验的样本点总数为，由古典概型概率公式有设事件表示取到的两个球中有黑球，则有利于事件的样本点数为10. 从一副张的扑克牌中任取张，求下列事件的概率：全是黑桃；同花； 没有两张同一花色； 同色解 张牌中任取张，共有种等可能的取法用事件表示任取张全是黑桃，由于张黑桃只能从张黑桃中取出共有种取法，所以用事件表示取出的张牌同花，由于共有种花色，而张同花只能从同一花色的张牌中取出，所以共有种取法，于是用事件表示取出的张牌没有两张同一花色，张牌只能从各种花色(张牌)中各取张，共有种取法，于是用事件表示取出的张牌同色，共有种颜色，而每种颜色只能从同一颜色的张牌中任取张，共有种取法，于是11. 口袋内装有个伍分、个贰分、个壹分的硬币共枚，从中任取枚，求总值超过壹角的概率解 设事件表示取出的枚硬币总值超过壹角则样本点总数为，事件所包含的样本点数为12. 袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：三次都是红球即全红，全白，全黑，无红，无白，无黑，三次颜色全相同，颜色全不相同，颜色不全相同解 样本点总数为；事件、事件、事件所包含的样本点数为；事件、事件、事件所包含的样本点数为；事件所包含的样本点数为事件、事件、事件样本点数之和；事件所包含的样本点数为；事件所包含的样本点数为总样本点数减去事件所包含的样本点数所以有；13.一间宿舍内住有位同学，求他们中有个人的生日在同一个月份的概率解 设事件表示有个人的生日在同一个月份样本点总数为，事件所包含的样本点数，14. 从，七个数字中任取个排成一列，求下列事件的概率：（按不重复和可重复取分别计算）可构成四位数；可构成四位偶数；可被整除的四位数；不在千位、在十位的四位数；数字各不相同的四位数解 设,分别为事件，不重复选取时总的样本点数为包含的样本点数为(先在六个非零数字中任取个排在千位，再在六个数字中任取三个排在百位、十位和个位)所以包含的样本点数为(将偶数分为两类：一类作个位的有个，另一类是、或作个位的有个)所以包含的样本点数为(将能被整除的数分为两类：一类是以作个位的有个，另一类是作个位的有个)所以包含的样本点数为(在十位，千位不能取和，共个取法，剩下的百位和个位共有个取法)所以同重复选取时总的样本点数为包含的样本点数为(先在六个非零数字中任取个排在千位，其余三位可在个数字中重复选取)所以包含的样本点数为(将偶数分成两类：一类是以作个位的，在六个非零数字中选取一个排在千位，百位和十位的数字在七个数字中重复选取)所以包含的样本点数为(将能被整除的数分为两类，一类是以作个位，一类是以作个位，都是共有个)所以包含的样本点数为(在十位，千位不能取和，共个取法，剩下的百位和个位共有个取法). 所以包含的样本点数为所以15. 有两本外语书，本数学书，本政治书，放到书架上排成一排，求下列事件的概率：两本外语书恰排在两侧（一侧一本）；本数学书排在一起；某指定一本书恰好排在中间；本政治书一侧两本解 设,分别为事件，总样本点数为包含的样本点数为(两本外语书在两侧有种排法，其余本书在中间有种排法)所以包含的样本点数为(把本数学书看成一本，与其余本书共有种排法本数学书共有种排法)所以包含的样本点数为(指定书排在中间，其余本书在个位置上共有种排法)所以包含的样本点数为(本政治书中先取本排在一侧有种排法，剩余人两本排在另一侧有种排法，其余本书在中间共有种排法)所以16. 封信随机地投到个信筒中，求下列事件的概率：第一个信筒恰有两封信；第一个信筒至少有两封信；第一个信筒最多有两封信解 设,分别为事件，.总样本点数为.包含的样本点数为(封信中取两封信投入第一个信筒，共有种投法，剩下封信投入两个信筒中有种投法)所以包含的样本点数为(总样本点数减去第一个信筒中没有信有种投法，再减去第一个信筒中有一封信有种投法)所以包含的样本点数为(第一个信筒中没有信有种投法，第一个信筒中有一封信有种投法，第一个信筒中有两封信有种投法)所以17. 将个人等可能地分配到十个房间去住，求下列事件的概率：某指定个房间各住人；人被分配到个不同的房间；人被分配到同一个房间；某个指定房间恰住人解 设,分别为事件，总样本点数为包含的样本点数为所以包含的样本点数为(先选出个房间共种选法，这个房间各住一人有种住法)所以包含的样本点数为所以包含的样本点数为(先选出两人住指定房间有种住法，其余人分配到剩下的个房间，有种分配方法)所以18. 在区间中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率.解 这个概率可用几何方法确定在区间中随机地取两个数分别记为和，则的可能取值形成如下单位正方形，其面积为而事件两数之和小于可表示为，其区域为图1.1中的阴影部分图1.1所以由几何方法得19. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的如果甲船停泊时间是小时，乙船停泊时间是小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头的概率解 这个概率可用几何方法确定记和分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则的可能取值形成边长为的正方形，其面积为而事件不需要等候码头空出有两种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足；另一种情况是乙船先到，则甲船在两小时之后到达，即满足所以事件可表示为所以事件的区域形成了图1.2中的阴影部分，其面积为，所以由几何方法得 图1.220. 事件与互不相容，计算解 由于与互不相容，有，21. 已知，求，解 由于与互不相容，且，因此有 22. 个产品中有个合格品与个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率解 记事件为取到废品总样本点数为，事件包含的样本点数为所以23. 一个教室中有名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以天计算）解 设事件表示名学生的生日都不在元旦，则有利于的样本点数目为，而样本空间中样本点数总数为，所求概率为24. 有副规格不同的手套，现从中任取只，求至少能配成一副的概率解设事件表示取出的四只手套至少有两只配成一副，则表示四只手套中任何两只均不能配成一副，25. 设事件至少有一个发生的概率为，发生而不发生的概率为，求解 由已知条件知，则26. 某单位有的职工订阅报纸，的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：该职工至少订阅一种报纸或期刊；该职工不订阅杂志，但是订阅报纸解 设事件表示任找一名职工订阅报纸，表示订阅杂志，依题意，则27. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀，若，求，解，28. 为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统与，各系统单独使用时，其有效的概率系统为，系统为，在失灵条件下，有效的概率为，求发生意外时，至少有一个系统有效的概率；在失灵的条件下，有效的概率解 用事件表示报警系统有效，用事件表示报警系统有效，依题意，29. 袋中装有个球，其中个红球，个白球，个人依次摸球（不返样）证明人摸到红球的概率相等证明用事件表示第一个人摸到红球，事件表示第二个人摸到红球，事件表示第三个人摸到红球，而，所以30. 设为二事件，当互不相容时，求当独立时，求解当互不相容时，所以当独立时，31. 某种电子元件的寿命在小时以上的概率为，求个这种元件使用小时后，最多只坏了一个的概率解 设事件表示使用小时后第个元件没有坏，显然相互独立，事件表示三个元件中最多只坏了一个，则上式右边是四个两两互不相容的事件的和，且32. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率解设事件表示任取一个零件为合格品，依题意表示三道工序都合格33. 某单位电话总机的占线率为，其中某车间分机的占线率为，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第次才能打通的概率（为任何正整数）解 设事件表示第次能打通，则，34. 在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？解设需配置门这样的炮，用表示第门炮击中飞机，则击中飞机的概率为由可得所有至少需要配置门这样的炮35. 一间宿舍中有位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率解设表示第人拿到自己眼镜，设事件表示每个人都没有拿到自己的眼镜显然则表示至少有一个拿到自己眼镜且，36. 甲、乙、丙三人在同一时间内独立地破一份密码，如果这三人能译出的概率依次为，求该密码能译出的概率解用事件分别表示甲、乙、丙三人能译出密码，事件表示该密码能被译出，则37. 甲乙两射手，每次射击命中目标的概率分别为和，射击是独立进行的，求各射击次，恰有人命中目标的概率；各射击次，至少有人命中目标的概率；各射击次，恰有次命中目标的概率解 用事件分别表示一次射击中甲、乙击中目标，则，用事件分别表示,用事件表示甲第次击中目标，用事件表示乙第次击中目标，则，所以38. 设三事件独立，试证与独立证明 所以与独立39. 四重伯努利试验中，事件至少发生一次的概率为，求下列事件的概率： 一次试验中发生的概率； 次试验恰好发生次的概率解 设一次试验中发生的概率为，则依题意可得 ， ， 用事件表示次试验中事件恰好发生次，40. 有门炮，每门炮命中目标的概率均为，各射一炮，求下列事件的概率目标被命中弹；目标至少被命中弹；目标至多被命中弹；解设,分别为事件，；41. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为及，问谁先投中的概率较大，为什么？解设事件分别表示甲在第次投中与乙在第次投中，显然相互独立设事件表示甲先投中计算得知，因此甲先投中的概率较大42. 某高校新生中，北京考生占，京外其他各地考生占，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占，而京外学生以英语为第一外语的占，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率解设事件表示任选一名学生为北京考生，表示任选一名学生以英语为第一外语依题意，由全概率公式有43. 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内发病率依次为，求地的甲种疾病的发病率解 设事件分别表示从地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见两两互不下容，其和为设事件表示任选一名居民其患有甲种疾病，依题意：，44. 一个机床有三分之一的时间加工零件，其余时间加工零件，加工零件时，停机的概率为，加工零件时的停机的概率为，求这个机床停机的概率解设事件表示机床加工零件，则表示机床加工零件，设事件表示机床停工45. 市场供应的灯泡中有是甲厂生产的，是乙厂生产的，若甲、乙两厂生产的灯泡次品率分别为和，求顾客不加选择的买一个灯泡为正品的概率；已知顾客买的一个灯泡为正品，它是甲厂生产的概率解设事件表示顾客买一个灯泡是甲厂生产的，则表示顾客买一个灯泡是乙厂生产的，设事件表示顾客买一个灯泡是正品46. 甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，求下列事件的概率：从甲袋任取球放入乙袋，再从乙袋中任取球，该球为红球；从甲袋任取球放入乙袋，再从乙袋中任取球，该球为红球；从甲袋中任取球放入乙袋，再从乙袋中任取球放回甲袋，最后从甲袋中任取一球，该球为红球解 设事件表示第一次取出红球，事件表示第一次取出白球，事件表示第二次取出红球设事件表示第一次取出的两球都是红球，表示第二次取出的两球都是白球，表示第一次取出的两球一红一白，事件表示第二次取出红球设事件表示第一次取出的是红球，表示第一次取出的是白球，事件表示第二次取出的是红球，表示第二次取出的是白球，事件表示第三次取出的是红球47. 有编号为、的个口袋，其中号袋内装有两个号球，个号球和个号球，号袋内装有两个号球和个号球，号袋内装有个号球和两个号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大？为什么？解设事件表示第一次取到号球，表示第二次取到号球，依题意，构成一个完全事件组，应用全概率公式可依次计算出，因此第二次取到号球的概率最大48. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为，各机床所加工的零件合格率，依次为，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率解设事件分别表示受检零件为甲机床加工，乙机床加工，丙机床加工表示废品，应用贝叶斯公式有，49. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车种交通工具，其概率分别为，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为，与，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率解设事件分别表示外出人乘坐飞机，乘坐火车，乘坐轮船，乘坐汽车，表示外出人如期到达50. 设发报台分别以和的概率发出和信号由于干扰作用，发信号时，收报台以的概率收到，以的概率收到；发信号时，收报台收到不清的概率分别为，和，求下列事件的概率收报台收到信号；收报台收到信号；收报台收到信号，确系发的；收报台收到信号，确系发的解 设事件分别表示发出和发出，事件分别表示收到，收到，收到不清依题意，；，；，51. 某企业采取三项深化改革措施，预计各项改革措施成功的可能性分别为，和，设三项措施中有一项、两项、三项成功可取得明显经济效益的概率分别为，和，若各项措施成功与否相互独立，求企业可取得明显经济效益的概率；企业已取得经济效益，是由于有两项措施成功而引起的概率（假定三项均不成功不会取得明显经济效益）解 设企业采取甲、乙、丙三项改革措施，用事件分别表示甲、乙、丙三项改革措施成功，则 ， ， 用事件表示“企业可取得明显经济效益”，用事件分别表示有一项、二项、三项措施成功，则 ， ， ，52. 一条生产线正常生产的时间为，不正常生产的时间为正常运转时，产品为合格品，为不合格品；不正常运转时，产品合格品只占，从产品中任取件检查，求下列事件的概率：取出的产品为合格品；取出的是合格品，它是正常运转时生产的；取出的是合格品，它是不正常运转时生产的解用事件分别表示生产线正常生产与不正常生产，用事件分别表示取出一件产品为合格品与不合格品依题意，；，；，.；53. 某种零件可以用两种工艺方法加工制造，第一种方法需三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是，和；第二种方法需两道工序，每道工序出现废品的概率均为设在合格品中得到优等品的概率分别为和比较哪种方法得到优等品的概率较大？解 用事件表示用第一种方法生产出合格品，用事件表示用第二种方法生产出合格品用事件分别表示用第一、第二种方法生产出优等品依题意，所以第一种方法得到优等品的概率较大54. 设一条昆虫生产个卵的概率为，其中又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率等于如果卵的孵化是互相独立的问此虫的下一代有条的概率是多少？解设事件一个虫产下几个卵，该虫下一代有条虫，依题意，其中应用全概率公式有由于，所以有，（B）1. 对于任意二事件和，与不等价的是： 解 ，而2. 设为两个随机事件，且，则必有：解 由题设条件可得，所以，即，于是，故有3. 当事件与同时发生时，事件必发生，则必有：解 当事件与同时发生时，事件发生，所有，非正确答案虽然，但可能有，所以，非正确答案显然，可能成立，所有，非正确答案4. 设，则 解 ，即，所以，于是得 5. 设三个事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是：与独立与独立与独立与独立解 相互独立两两独立且由题设条件已经知道了两两独立，因此相互独立对于，因为与已经相互独立，所以与独立，故应选6. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：掷第一次出现正面，掷第二次出现正面，正、反面各出现一次， 正面出现两次则事件（）相互独立相互独立两两独立两两独立解 ，所以，非正确答案， ， ，所以正确7. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第次射击恰好第次命中目标的概率为（） 解 前次射击恰好次命中目标的概率为，第次命中目标的概率为，再由独立性可得第次射击恰好第次命中目标的概率为8. 把个与个随机地排列，求没有两个连在一起的概率解 考虑个的放法：个位置上占有个位置，所有共有种放法而没有两个连在一起，相当于在个之间及两头（共个位置）去放，这共有种放法所以没有两个连在一起的概率为9. 从数字中可重复地任取次，求次所取数字的乘积能被整除的概率解记事件为至少取到一次，事件为至少取到一次偶数，则所求概率为因为，所以 10. 考虑一元二次方程，其中分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率和有重根的概率解均可取值，而且取每一个值的概率均为一枚骰子接连掷两次，其基本事件总数为，且这个基本事件是等可能的，所以，这是一个古典概型问题当时方程有实根；时方程有重根关键的问题是求出满足和的基本事件数用表格列出分析结果：使的基本事件数使的基本事件数由此可得，使方程有实根的基本事件数为，所以使方程有重根的基本事件数为个，所有11. 已知事件满足，记，试求解 因为，由此得，所以12. 证明：解不妨设，则另一方面，还有 13. 设件产品中有件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率解记事件为第次取出不合格，；为有一件是不合格品；为另一件也是不合格品因为意味着：第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品而意味着：两件都是不合格品即；因为，所以根据题意得14. 已知，求解由乘法公式知，所以15. 若，试证证明由，得所以得，即所以，即，由此得，即16. 四个学生证混放在一起，现将其随意发给这四名学生，求事件没有一个学生拿到自己的学生证的概率解设没有一个学生拿到自己的学生证，直接计算很困难，所以，先计算的概率设第个学生拿到的是自己的学生证，则， （互不相等）， 又，所以，由加法公式则得，于是得17. 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率解记事件分别为甲、乙、丙获得冠军，事件分别为第局中甲、乙、丙获胜，则因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以由此又可得18. 设，试证事件与独立的充要条件是证明先证必要性：因为与独立，所以与独立，由此得再证充分性：由可得，即，由此得，所以与独立19. 设有来自三个地区的各名、名、名考生的报名表，其中女生的报名表分别为份、份、份随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份求先抽取的一份是女生表的概率； 已知后抽到的一份是男生表，求先抽取的一份是女生表的概率解设报名表是取自第个地区的考生，则构成完备事件组，且设第次抽到的是女生表，则，由全概率公式即可得由条件概率公式得，由全概率公式得，同理可得，从而可得，于是得39
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