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“巧”求面积山东省章丘市宁家埠镇中学 宋万民 刘学峰图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它不仅仅只是注重培养学生的计算能力，而且可以将各章节知识融于其中，对于培养学生分析问题、解决问题的能力也起着很大的作用。现举几例，与大家共同探讨：一、巧用概率例1（06 福州）如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它是有五个过同一点但半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子。小鹏在规定地点随意的向图案内投掷小球，每次球都能落在图案内，经过多次试验发现落在一、三、五环(阴影)内的概率分别为0.04、0.2、0.36。如果最大圆的半径为1米，那么黑色石子区域的总面积为 米2。（精确到0.01米2）分析：因为小球落在各部分的概率等于该部分的面积于整个图形面积之比。所以，阴影部分的面积等于整个图形面积阴影部分的概率之和。解：3.1412（0.04+0.2+0.36）=1.8841.88总结：本例虽然难度不大，但它巧妙的将概率、统计知识、近似数知识融于圆的面积计算中，培养了同学们的横向联系问题能力，发展了思维的广度。二、巧用规律例2（06 山东）如图，已知ABC的面积是1，如图(1)中，若，则A1B1C1的面积是；如图(2)中，若，则A2B2C2的面积是；如图(3)中，若，则A3B3C3的面积是；若按此规律，若则A8B8C8的面积是 。分析：由于S1=；S2=；S3=;易知分母是4=22=(1+1)2，9=32=(2+1)2，16=42=(3+1)2，(n+1)2；而分子是1=1+10，3=1+21，7=1+32，n（n-1）+1。即Sn=。所以S8=。本题亦可用列表查规律的方法（如右表），重点在于分子的得出。总结：本例借用面积计算考察了同学们探索、发现、归纳、概括规律的能力，培养了同学们的纵向剖析问题的能力，发展了思维的深度。练习1（06 辽宁）如图，用三个边长为a 的等边三角形拼成如图（1）所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形，（图中1、2、3、4部分），然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法，再截成四个全等的等腰梯形，如此重复下去，求第n次截得的一个等腰梯形的周长和面积？答案：周长：,，.面积：，。三、巧用对称例3（06 江苏）如图已知BEC是等边三角形，AEB=DEC=90,AE=DE,AC、BD的交点为O,求证：AECDEB,若ABC=DCB=90，AB=2cm，求图中阴影部分的面积。解：（1）证明：AEB=DEC=90，AEB+BEC=DEC+BEC，即：AEC=DEB。BEC是等边三角形，CE=BE。又AE=DE，AECDEB。（2）解：连结EO并延长EO交BC于点F，连结AD。由（1）知AC=BD。ABC=DCB=90，ABC+DCB=180，ABDC，AB=。四边形ABCD是平行四边形且是矩形。OA=OB=OC=OD。又BE=CE，OE所在直线垂直平分线段BC，BF=CF，EFB=90。OF=。BEC是等边三角形，EBC=60。在RtAEB中，AEB=90，ABE=ABCEBC=9060=30，BE=ABcos30=。在RtBFE中，BFE=90，EBF=60，BF=BEcos60=, EF=BEsin60=。OE=EF-OF=。AE=ED，OE=OE，AO=DO，AOEDDE，。=（cm2）。总结：本例不仅综合运用了三角形、四边形的有关知识，而且利用了对称的性质把不规则图形转化为规则图形，从而使问题在思路上得到了简化。练习1（06 济南）现在有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形四个顶点2cm处,沿45角画线,将正方形纸片分成5部分,则中间阴影部分的面积为 cm2,若在上述正方形中再任选一张重复上述过程,并计算阴影部分的面积,你能发现什么规律? 。(答案：8；是一定值，都等于8。)四、巧用旋转例4（06 辽宁）如图，扇形AOB的圆心角是90，四边形OCDE是边长为1的正方形。点C、E、D分别是在OA、OB和弧AB上，过A作AFED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为 。分析：由图形很容易看出阴影BDE沿直线OD对折可与图形ADC重合，从而求整个阴影部分的面积之和就转化为求矩形ACDF的面积。解：将阴影BDE沿直线OD对折可与图形ADC重合，从而整个阴影部分的面积之和就等于矩形ACDF的面积。因为正方形OCDE的边长为1，所以OD=OA=，AC=OAOC=，所以矩形ACDF的面积等于，即图中阴影部分的面积等于。例5（06 浙江宁波）如图梯形ABCD中，ADBC,ABBC,AD=3,BC=5,将腰DC绕D点逆时针方向旋转90至DE，连结AE，则ADE的面积为（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4分析：要求ADE的面积，须知其底与高，怎样得到底与高的数值呢？请看解答：解：过点D作OFBC于点F，过点E作EGAD的延长线于点G，当DFC绕点D逆时针旋转90时，则能与DGE重合。即：FC=GE。又FC=BC-BF=BC-AD=5-3=2，GE=FC=2，。总结：上述两例都巧妙的利用旋转来转化和求解，使复杂问题简单化，可谓解法巧妙而新颖。O练习1(06 内蒙古) 如图将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15后得三角形,若AC=1,则图中阴影部分的面积为 。解：设AB与交于点O，由题意易知AC=1,OAC=30,C=90,所以设OC=x，则OA=2x，由“勾股定理”可得 x=,。五、巧用函数例6（06 四川绵阳）梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图像上，OABC,上底边OA在直线y=x 上，下底边BC交x轴于点E（2，0），则四边形AOEC的面积为（ ）。 解：OABC，且OA的解析式为y=x,过点E（2，0）的直线BC的解析式为y=x-2，又点C的纵坐标为1，1=x-2，即：点C的横坐标为3。从而易知反比例函数的解析式为，点A的坐标为A（）。所以直线AC的解析式为，它与x轴的交点F的坐标为（）。如图过点A作AGx轴于点G，过点C作CHx轴于点H，则=。总结：本例综合运用了反比例函数、一次函数的相关知识，并且与三角形的面积计算有机的结合在一起，所以说本例是一道综合性很强的题目。练习1：（06 武汉）如图，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么AOB的面积为（ ）。xyOAB 解：如图过点A作AEx轴于点E，因为点A既在直线y=x上，又在双曲线y=上，所以点A的坐标为（，），即AE=，OA=OB=2，SAOB=。故选B。六、巧用圆的性质例7：（07 章丘市第二届教师素质大赛试题）如图，点A是半径为1的O上的一点，以A为圆心，以OA的长为半径，在O上连续截取AB=BC=CD，再分别以A、D为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，再以A为圆心，以OE的长为半径画弧交O于点F，连接AC、AF、CF，则ACF的面积为（ ）。 解：由题意易知，AD=2，AC=，则OE=AF=，连结OA、OC、OF，则三角形ACF被分割成AOC、COF、FOA三部分，因为，SFOA=，所以SACF=SAOC+ SCOF+ SFOA=。例8：（06 沈阳）如图，已知在O中，直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM 、OP以及O上，并且POM=45，则正方形ABCD的面积为 。分析：本题综合考察了相交弦定理的推论和正方形的性质以及等腰三角形的性质求解问题的能力。解：由四边形ABCD是正方形可知DCCO，ABOM，又因POM=45，则DC=CO，根据相交弦定理的推论可得AB2=MBBN，即：AB2=（5-2AB）（5+2AB），解此式可得AB2=5。练习1如图，O的半径为3，OA6，AB切O于B,弦BCOA,连结AC, 图中阴影部分的面积为 。解：连结OB、OC，则OBAB，又OB=3，OA=6，OAB=30，AB=，而BCOA，ABC=150，OBC=AOB=60，又OB=OC，OBC是正三角形，BOC=，扇形OBC的面积为，因为OBC与ABC是同底等高的两个三角形，所以它们的面积相等，从而阴影部分的面积就等于扇形的面积，都等于。练习2：(06 山东)要在一个矩形纸片上，画出半径分别为4cm和1cm的两个外切圆，则该矩形的面积的最小值为 cm2。（答案：72）七、巧用三视图例9（06 安徽）如图是某工件的三视图，求此工件的全面积解：由三视图可知，该工件为圆锥，并且该圆锥的底面直径和高分别为20cm 和30cm ,根据圆锥的全面积计算公式可得： =八、巧用勾股例10（07 朱元生中考模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F，分别在BC、CD上，如果AEEF，且AE=4，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于（ ）。 分析：本例用到了“勾股定理”和“相似三角形”的相关知识。解：由题意易知ABEECF，所以，AEF是直角三角形，且 AE=4，AF=5，EF=3。若设AB=x,则EC=，FC=。在RtECF中，由勾股定理得：EC2+FC2=EF2，即，解之得x2=。故选A。CAB练习1：(06 福州) 如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则AC边上的高是 。分析：要求AC边上的高，需先求AC的长和ABC的面积。求AC的长可用“勾股定理”，而求ABC的面积可用“分割法”。解：如图易知AC=SABC=S四边形ADEFSADCSBCESABF=设AC边上的高为h，由于SABC，即，所以邮政编码：250211联系电话：（0531）83420018Email：klxmy126.com
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