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智合教育暑期蓝天行动目录目录- 1 -(一) 找规律- 2 -数列中的规律- 2 -图形中的规律- 3 -(二) 数字谜- 7 - 横式字谜- 7 - 竖式字谜- 9 -(三) 定义新运算- 13 -(四) 鸡兔同笼- 16 -(五) 行程问题- 18 -追击及遇问题- 18 -火车过桥- 22 -(六) 植树问题- 25 -(七) 有趣的数阵图- 28 -(八) 有趣的数阵图练习- 32 -(九) 枚举法- 35 -(十) 逻辑推理- 40 -(十一) 抽屉原理- 42 -(十二) 倒推法的妙用- 45 -(十三) 火柴棍游戏- 50 -摆图形游戏- 50 - 移动火柴,变换图形游戏- 51 -去掉火柴,变换图形游戏- 52 -(十四) 巧求面积习题- 53 -(十五) 方程式解应用题- 55 -(十六) 移多补少平均数- 56 -(十七) 一笔画- 58 -(1) 找规律观察是解决问题的根据。通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:1根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数;2根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数;3要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律;4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。数列中的规律一、例题与方法指导例1:先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。1,4,7,10,( ),16,19思路导航:在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律,括号里应填的数为:10+3=13或163=13像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。例2:先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。 1,2,4,7,( ),16,22思路导航:在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3。由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:7+4=11。经验证,所填的数是正确的。应填的数为:7+4=11或16-5=11例3:先找出规律,然后在括号里填上适当的数。23,4,20,6,17,8,( ),( ),11,12思路导航:在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数依此规律,8后面的一个数为:17-3=14,11前面的数为:8+2=102、 巩固训练1.先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。(1)2,6,10,14,( ),22,26(2)3,6,9,12,( ),18,21(3)33,28,23,( ),13,( ),3(4)55,49,43,( ),31,( ),19(5)3,6,12,( ),48,( ),192(6)2,6,18,( ),162,( )(7)128,64,32,( ),8,( ),2(8)19,3,17,3,15,3,( ),( ),11,32.先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。(1)10,11,13,16,20,( ),31(2)1,4,9,16,25,( ),49,64(3)3,2,5,2,7,2,( ),( ),11,2(4)53,44,36,29,( ),18,( ),11,9,8(5)81,64,49,36,( ),16,( ),4,1,0(6)28,1,26,1,24,1,( ),( ),20,1(7)30,2,26,2,22,2,( ),( ),14,2(8)1,6,4,8,7,10,( ),( ),13,143、 拓展提升先找出规律,然后在括号里填上适当的数。(1)1,6,5,10,9,14,13,( ),( )(2)13,2,15,4,17,6,( ),( )(3)3,29,4,28,6,26,9,23,( ),( ),18,14(4)21,2,19,5,17,8,( ),( )(5)32,20,29,18,26,16,( ),( ),20,12(6)2,9,6,10,18,11,54,( ),( ),13,486(7)1,5,2,8,4,11,8,14,( ),( )(8)320,1,160,3,80,9,40,27,( ),( )图形中的规律我们通常会碰到一些图形,它们在某一方面,比如颜色,形状,大小,结构,位置或繁难等有些共同的特征或变化规律,你能通过观察找规律,并根据规律推断出结果吗?一、例题与方法指导例1.下面哪个图形和其他几个不一样,你能找出来吗?思路导航:题中几个图形的共同特征是:先连接各边中点,组成一个复合图形。所不同的是,B图形是一个三角形,而其他几个图形都是四边形,这样,只有B与其他几个不一样。例2.找出下组图形中不同的项。思路导航:题中只有D图形不是由A翻转过来的,其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的。故不同的选项应该为D例3.在下面图形中找出一个与众不同的.(1) (2) (3) (4) (5)思路导航:很容易看出题目图中(1)逆时针旋转就是(4),但是这样一来,(2)、(3)、(5)都与它们不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.图(2)顺时针旋转,且大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图(1)与(3)的变化规律也是这样:顺时针旋转,大小两部分颜色互换.因此(1)与(3)配对,(2)与(5)配对.解:与众不同的是题目图中的(4).例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.思路导航:我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.(1)花盆:花盆的形状每一行都是由同样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状便是应填的图案中的花盆形状;花盆的颜色在同一行中都是由黑、白、灰(画有斜线)三色组成,图中第三行已有白、灰二色,所以应填的花盆为黑色(如下图(1);(2)花茎:如同上面一样的分析.花茎的形状为鱼钩状,方向向右(如下图(2);(3)花叶:花叶数量为两朵,方向是向左、右平展(如下图(3);(4)花朵:形状为圆形(如下图(4). (1) (2) (3) (4) 解:依照所给图形的变化规律,空格中应填的图形如图(4).2、 巩固训练1.按顺序观察图52中图形的变化,想一想,按图形的变化规律,在带“?”的空格处应画什么样的图形?分析 观察中,注意到图51中每行三角形的个数依次减少,而正方形的个数依次增多,且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2;图52中黑点的个数从左到右逐次增多,且每一格(第一格除外)比前面的一格多两个点.事实上,本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上,是一种较为基本的、简单的变化模式。解:在图52的“?”处应是2.请观察右图中已有的几个图形,并按规律填出空白处的图形。分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;其次,在所给出的图形中,我们发现各行、各列均没有重复的图形,而且所给出的图形中,只有圆、三角形和正方形三种图形.由此,我们知道这个图的特点是: 仅由圆、三角形、正方形组成; 各行各列中,都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。因此,根据不重不漏的原则,在第二行的空格中应填一个三角形,而第三行的空格中应填一个正方形。解略。3.按顺序观察下图中图形的变化规律,并在“?”处填上合适的图形.分析 显然,图(a)、图(b)中都是圆,而图(c)中却不是圆;同时,图(a)、(c)中都有3个图形,而(b)中只有两个.由此可知:图(a)到(b)的变化规律对应于图(c)到(d)的变化规律.再注意到图(a)到图(b)中图形在繁简、多少、位置几方面的变化,就容易得到图(d)中的图形了。解:在上图的“?”处应填如下图形.4.下图中的图形是按一定规律排列的,请仔细观察,并在“?”处填上适当的图形.分析 本题中,首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成,而且,大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成, 图中的任意两个图形均不相同.因此,我们不妨试着把大、小图形分开来考虑,再一次观察后我们可以发现:对于大图形来说,每行每列的图形决不重复。因此,每行每列都只有一个大正方形,一个大三角形和一个大圆,对于小图形也是如此,这样,“?”处的图形就不难得出。解:图中,(b)、(f)、(h)处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.小结:对于较复杂的图形来说,有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律,从而把复杂问题简单化。(2) 数字谜小朋友们都玩过字谜吧,就是一种文字游戏,例如“空中码头”(打一城市名)。谜底你还记得吗?记不得也没关系,想想“空中”指什么?“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢?码头又称渡口,联系这个地名开头是“天”字,容易想到“天津”这个地名,而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了:天津。算式谜又被称为“虫食算”,意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认,需要运用四则运算各部分之间的关系,通过推理判定被吃掉的数字,把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜,其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸,用文字或字母来代替未知的数字,在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字,相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面,文字也可以组成许许多多的数学游戏,就让我们一起来看看吧。横式字谜1、 例题与方法指导例1 ,8,97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字,可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少?思路导航:150*3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上适当的数字,使得等式成立:(1)6456=0,(2)7837=1,(3)332=17,(4)858=6。分析:(1) 6104/56=109 (2)7548/37=204(3) 3393/29=117(4)8468/58=146例3 在算式40796=9998的各个方框内填入适当的数字后,就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析:40796/102=399.98。例4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中,“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9,那么“我数学”代表的三位数是多少? 分析:学=1,我=8,数=6 ,81619*81619=6661661161例5 ()=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数,使左边的数比右边的数小,并且等式成立。思路导航:这样,我们可以先用字母代替数字,原等式写成:a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(abc、”等。表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如ab=3a-3b,新运算使用的符号是,而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。值得注意的是:定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、 例题与方法指导例1.设 ab都表示数,规定ab表示a的4倍减去b的3倍,即ab=4a-3b,试计算56,65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9说明 例1定义的没有交换律,计算中不得将前后的数交换。例2.对于两个数a、b,规定ab表示3a+2b,试计算(56)7,5(67)。思路导航:先做括号内的运算。解 (56)7=(53+62)7=277=273+72=95 5(67)=5(63+72)=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3.已知23=234,42=45,一般地,对自然数a、b,ab 表示a(a+1)(a+b-1).计算(63)-(52)。思路导航:原式=67-56 =336-30规定:a=a+(a+1)+(a+2)+(a+b-1),其中a,b表示自然数。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路导航:(1)原式=1+2+3+100=(1+100)1002=5050(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+(X+9)=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 巩固训练1.若对所有b,ab =ax,x是一个与b无关的常数;ab=(a+b)2,且(13)3=1(33)。求(14)2的值。分析 注意本题有两种运算,由(13)3=1(33),可求出x.解 因为(13)3=1(33),所以(1x)即(x+3)2=xx+3=2xx=3因为(14)2 =(14)2 =(4+2)2 =32. 如果规定:=234,=345,=456,=8910,求+-+-+-的值。解题思路依题意可以看出:定义的新运算为连续三个数的乘积,而且,里的数就是三个连续数中的中间的哪个数,即是2,3,4三个连续的乘积,是3,4,5三个连续睡的乘积,从而不难求出+-+-+-的值。解:原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=10143、 能力提升答案(4) 鸡兔同笼鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中,已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数,求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题,在现实生活和生产中应用广泛,有着十分重要的使用价值。鸡兔问题,也叫简换问题。解答时,一般采用假设法,即假定全部的只数都是鸡或者是兔,算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差,然后推算出鸡和兔的只数。计算时的主要数量关系是:1.如果假定全部是兔,则鸡的只数=(每只兔的足数总头数总足数)(每一只鸡与兔足数的差)简单理解就是:鸡的只数=(4 总头数总足数)2兔的只数=总头数鸡的只数2.如果假定全部是鸡,则兔的只数=(总足数每只鸡的足数总头数) (每一只鸡与兔足数的差)简单写就是兔的只数=(总足数2 总头数) 2鸡的只数=总头数兔的只数1、 例题与方法指导例1. 鸡兔同笼,共有100个头,320只脚,问鸡和兔各是多少只?思路导航:鸡有2只脚,兔有4只脚,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,当成一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,当成一只脚,那么兔子和鸡一样,都是2只脚。鸡和兔的总脚数就是1002=200(只),但比实际320只脚要少320200=120(只),为什么会少了120只脚呢?是因为每只兔子只算一只前脚,一只后脚,而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚,一共少算了120只脚,所以兔子应该有1202=60(只)。解法一: 解法二:2100=200(只)4100=400(只)320200=120(只) 400320=80(只)1202=60(只) 802=40(只)10060=40(只) 10040=60(只)答:鸡有40只,兔有60只。例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张,已知它们的总面值是940元,这两种纸币各多少张?思路导航:(1)假设200张纸币完全是2元,共值: 2200=400(元)(2)比实际少: 940400=540(元)(3)2元换成5元,每张增加: 52=3(元)(4)5元纸币有: 5403=180(张)(5)2元纸币有: 200180=20(张)答:有180张5元、20张2元纸币。例3. 鸡兔同笼,鸡比兔多25只,脚数共176只,鸡、兔各多少只?思路导航:假设去掉多的25只鸡,则一共去掉225=50(只)脚,那么17650=126(只)脚是鸡和兔一样多的脚的总数量,而一对鸡兔共有24=6(只)脚,可以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和兔,然后再加上去掉的25只鸡。225=50(只)17650=126(只)24=6(只)1266=21(对)鸡、兔各21只21+25=46(只) 鸡的只数答:鸡有46只,兔有21只。2、 巩固训练1.鸡兔同笼,共有头90只,脚252只。鸡兔各多少只?2.鸡兔同笼,共有头80只,鸡的脚数比兔的脚数多40只,鸡兔各多少只?3.30枚硬币由2分和5分组成,共值9角9分,两种硬币各多少枚?3、 拓展提升1. 鸡兔共100只,鸡的脚数比兔少40只,鸡兔各多少只?2. 46人去划船,一共乘坐10条船,其中大船坐7人,小船坐4人,大、小船各多少条?3. 某车棚共停放三轮车和自行车共39辆,两种车轮总和96个,三轮车和自行车各多少辆?(5) 行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题,不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中,都拥有非常重要的地位。行程问题中包括:火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程,等等。每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”:这三个量是:路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系:1. 简单行程: 路程 = 速度 时间2. 相遇问题: 路程和 = 速度和 时间3. 追击问题: 路程差 = 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。追击及遇问题1、 例题与方法指导例1.有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米。在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问:这个花圃的周长是多少米?思路导航:这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速度,以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇:在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为(40+36)3=228(米)第一个追击:这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的,是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228 (38-36)=114(分钟)第二个相遇:在114分钟里,甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为(40+38)114=8892(米)我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰。例2.东西两地间有一条公路长217.5千米,甲车以每小时25千米的速度从东到西地,1.5小时后,乙车从西地出发,再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米?思路导航: 从图中可以看出,要求乙车每小时行多少千米,关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解:(1)甲车一共行多少小时?1.5+3=4.5(小时)(2)甲车一共行多少千米路程?254.5=112.5(千米)(3)乙车一共行多少千米路程?217.5-112.5=105(千米)(4)乙车每小时行多少千米? (105-15)3=30(千米)答:乙车每小时行30千米。例3.兄妹二人同时从家里出发到学校去,家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米,妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇,妹妹走了几分钟?相遇处离学校有多少米?思路导航: 从图中可以看出,哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米,两人同时出发,相向而行,哥哥每分钟行200米,妹妹每分钟行80米,经过几分钟相遇?”的问题,解答就容易了。解:(1)从家到学校的距离的2倍:14002=2800(米)(2)从出发到相遇所需的时间:2800(200+80)=10(分)(3)相遇处到学校的距离:1400-8010=600(米) 答:从出发到相遇,妹妹走了10分钟,相遇处离学校有600米。2、 巩固训练1.两城市相距328千米,甲、乙两人骑自行车同时从两城出发,相向而行。甲每小时行28千米,乙每小时行22千米,乙在中途修车耽误1小时,然后继续行驶,与甲相遇,求出发到相遇经过多少时间? 分析:如果乙在中途不停车,那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和:328+221=350(千米),两车的速度和:28+22=50(千米/小时),然后根据相遇问题“路程和速度和=相遇时间”得 35050=7(小时) 解:(328+221)(28+22)=35050=7(小时)解法2:(328-221)(28+22)=30050=6(小时)6+1=7(小时) 答:从出发到相遇经过了7小时。2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,已知快车每小时行40千米,经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇,慢车每小时行多少千米?分析: 从图中可知:快车3小时行的路程403=120千米,比全程的一半多12千米,全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米,所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米,由此可以求出慢车的速度。解:甲乙两地路程的一半:403-12=108(千米)慢车3小时行的路程:108-12=96(千米)慢车的速度:963=32(千米)答:慢车每小时行32千米。3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行,在离甲城85千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,又在离甲城35千米处相遇,两城相距多少千米?分析: 从图上可以看出,小华和小明两人第一次相遇时,行了一个全程,小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时,共行了3个全程,这时小华共行了3个85千米,如果再加上35千米,相当于小华行了2个全程,甲乙两地全长也就可以求出来了。解:(1)甲乙出发到第二次相遇时,小华共行了多少千米? 853=255(千米)(2)甲乙两城相距多少千米?( 255+35)2=2902=145(千米)答:两城相距145千米。3、 拓展提升1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到达乙站后立即返回,货车到达甲站后也立即返回,两车再次相遇时,客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米?分析 如图,从出发到第二次相遇时,客车和货车共行3个全程,在这段时间里客车一共比货车多行216千米,客车每小时比货车快54-48=6千米,这样可以求出行3个全程的时间为2166=36小时,由此可求出行一个全程时间:363=12小时,因而可以求出甲乙两站的距离。 解:从出发到第二次是两车行驶的时间:216(54-48)=36(小时) 从出发到第一次相遇所用的时间:363=12(小时)甲乙两站的距离:(54+48)12=1224(千米) 答:求甲乙两站相距1224千米。2.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米,有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。 分析:解答的关键是求出卡车的速度,从图上明显看出,甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系,求出丙车速度。 解:(1)卡车的速度:( 606-487)(7-6)=241=24(千米)(2) AB两地之间的距离:(60+24)6=504(千米)(3) 丙车与卡车的速度和:5048=64(千米)(4) 丙车的速度:64-24=40(千米/小时)答:丙车的速度每小时40千米。3. 两列火车从某站相背而行,甲车每小时行58千米,先开出2小时后,车以每小时62千米才开出,乙车开出5小时后,两列火车相距多少千米?火车过桥 过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长,这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系: 过桥问题的一般数量关系是:因为:过桥的路程 = 桥长 + 车长 所以有:通过桥的时间 =(桥长 + 车长)车速车速 = (桥长 + 车长)过桥时间公式的变形: 桥长 = 车速过桥时间 车长车长 = 车速过桥时间 桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的,也要通过上面的数量关系来解决。1、 例题与方法指导例1.一列客车经过南京长江大桥,大桥长6700米,这列客车长100米,火车每分钟行400米,这列客车经过长江大桥需要多少分钟?思路导航: 从火车头上桥,到火车尾离桥,这之间是火车通过这座大桥的过程,也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。 (1)过桥路程:6700 + 100 = 6800(米) (2)过桥时间:6800400 = 17(分) 答:这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。 例2.一列火车长160米,全车通过440米的桥需要30秒钟,这列火车每秒行多少米?思路导航: 要想求火车过桥的速度,就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。 (1)过桥的路程:160 + 440 = 600(米) (2)火车的速度:60030 = 20(米) 答:这列火车每秒行20米。例3.某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟,接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟,求这列火车的长度?思路导航: 火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒,为什么多用8秒呢?原因是第一个隧道比第二个隧道长360216 = 144(米),这144米正好和8秒相对应,这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长,减去已知的隧道长,就是火车长。 (1)第一个隧道比第二个长多少米? 360216 = 144(米) (2)火车通过第一个隧道比第二个多用几秒? 2416 = 8(秒) (3)火车每秒行多少米? 1448 = 18(米) (4)火车24秒行多少米? 1824 = 432(米) (5)火车长多少米? 432360 = 72(米)答:这列火车长72米。2、 巩固训练 1.某列火车通过342米的隧道用了23秒,接着通过234米的隧道用了17秒,这列火车与另一列长88米,速度为每秒22米的列车错车而过,问需要几秒钟?思路导航:通过前两个已知条件,我们可以求出火车的车速和火车的车身长。 (342234)(2317)= 18(米)车速 1823342 = 72(米) 车身长 两车错车是从车头相遇开始,直到两车尾离开才是错车结束,两车错车的总路程是两个车身之和,两车是做相向运动,所以,根据“路程速度和 = 相遇时间”,可以求出两车错车需要的时间。 (72 + 88)(18 + 22)= 4(秒) 答:两车错车而过,需要4秒钟。2. 一列火车全长265米,每秒行驶25米,全车要通过一座985米长的大桥,问需要多少秒钟? (265 + 985)25 = 50(秒) 答:需要50秒钟。3. 一列长50米的火车,穿过200米长的山洞用了25秒钟,这列火车每秒行多少米? (200 + 50)25 = 10(米) 答:这列火车每秒行10米。3、 拓展提升1.一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥,从车头上桥到车尾离桥用了1分钟,求这座桥长多少米? 1分 = 60秒 3060240 = 1560(米)答:这座桥长1560米。2.一列货车全长240米,每秒行驶15米,全车连续通过一条隧道和一座桥,共用40秒钟,桥长150米,问这条隧道长多少米? 1540240150 = 210(米)答:这条隧道长210米。3.一列火车开过一座长1200米的大桥,需要75秒钟,火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟,求火车长多少米? 1200(7515)= 20(米) 2015 = 300(米)答:火车长300米。4.在上下行轨道上,两列火车相对开来,一列火车长182米,每秒行18米,另一列火车每秒行17米,两列火车错车而过用了10秒钟,求另一列火车长多少米? (18 + 17)10182 = 168(米)答:另一列火车长168米。(6) 植树问题只要我们稍加留意,都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察,这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系,我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题,一般又可分为封闭型的和不封闭型的(开放型的)。封闭型的和不封闭型的植树问题,区别在于间隔数(段数)与棵数的关系:1、不封闭型的(多为直线上),一般情况为两端植树,如下图所示,其路长、间距、棵数的关系是:但如果只在一端植树,如右图所示,这时路长、间距、棵数的关系就是:如果两端都不植树,那么棵数比一端植树还要再少一棵,其路长、间距、棵数的关系就是:2、封闭型的情况(多为圆周形),如下图所示,那么:植树问题的三要素:总路线长、间距(棵距)长、棵数只要知道这三个要素中任意两个要素,就可以求出第三个植树问题的分类:直线型的植树问题封闭型植树问题特殊类型的植树问题1、 例题与方法指导例1 有一条公路长1000米,在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳,可种植垂柳多少棵?思路导航:每隔5米栽一棵垂柳,即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米,分成5米一段,那么里包含有10005=200段。由于公路的两端都要求种树,所以要种植的棵数比分成的段数多1,所以,可种植垂柳200+1=201棵。例2 某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?思路导航:在圆周上植树时,由于可栽的株数等于分成的段数,所以,可栽柳树=13509=150株;由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃,而间隔数(段数)为150,所以栽夹枝桃的株数=2150=300株;每隔9米种柳树一株,在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃,这就变成两端都不植树的情形,即2株等距离栽在9米的直线上,不含两端,所以,每两株之间的距离=9(2+1)=3(米)。例3 一条街上,一旁每隔8米有一个广告牌,从头到尾有16个广告牌,现在要进行调整,变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外,中间还有几个牌不需要移动?思路导航:16个广告牌,每相邻的两个广告牌的间隔为8米,则共有16-1=15 个间隔,这条街的总长度为815120(米);现在要调整为每12米一个广告牌,那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数,同时也是12的倍数;83=122=24,也就是说,每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动;120245,即段数为5个,但要扣除两端的2个,所以,中间不需要移动的有5-1=4个。事实上,所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称,并不单指植树问题。例如,与之类似的还有爬楼(梯)问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以,植树问题又称上楼梯问题。2、 巩固训练1 某人要到一座高层楼的第8层办事,不巧停电,电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒,请问以同样的速度走到八层,还需要多少秒?思路导航:要求还需要多少秒才能到达,必须先求出上一层楼梯需要几秒,并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层,事实所爬的层数只是4-1=3层,所以上一层楼梯需要的时间是48(4-1)=16(秒);又,从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯,所以还需要的时间是164=64秒。2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式,他们每5人一行,前后每行间隔为2米,主席台长42米,他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?思路导航:125人参加运动会入场式,每5人一行,共排了1255=25行,那么这里25行就相当于直线上的25棵树,所以,这列队的长度为两端植树的路的长度,全长是2(25-1)=48米;这列队伍通过主席台,所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和,即:48+42=90米,所以,他们通过主席台的时间是9045=2分钟。3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形,它的长度是多少?十个这样的铁环连在一起有多长?思路导航:根据上图所示,要求出它的总长度是多少,关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米,注意到重叠部分,后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的,也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-26毫米=40毫米-12毫米=28毫米; 根据我们前面所讲的植树问题,五个铁环连在一起,“环扣”数为5-14(个),所以,五个大小相同的铁环连在一起时,总长度为40+428152(毫米)。同理,十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1) 28=292(毫米)。4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段,每锯断一次要用5分钟,共需多少分钟?思路导航:要求需要的时间,我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里面包含有243=8个3米,8段有8-1=7个间隔,即木工只需锯7次,那么,每次5分钟,一共需要用时57=35分钟。3、 能力提升1 一个街心花园如下图所示,它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?思路导航:由题意可知,大三角形的边长是小三角形边长的2倍,因为每个小三角形的边上均匀栽9株, 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成,所以,大三角形的每条边上栽的棵数为:92-1=17棵;又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以,大三角形三条边上共栽花:(17-1)3=48棵;再看图中间的阴影小三角形,每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题,所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵,中间共栽花:73=21棵,所以,整个花坛共栽花:48+21=69棵。2 时钟4点敲4下,用12秒敲完。那么6点钟敲6下,几秒钟敲完?思路导航:4点钟敲4下,共12秒,而4下中间有3个间隔,说明每一个间隔的秒数为12(41)=4秒;12点敲12下,中间有11个间隔,所以一共需要4(121)=44秒敲完。3 铁路旁每隔50米有一根电线杆,某旅客为了计算火车速度,测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少?思路导航:从第1根电线杆起到第37根电线杆,共有37-1=36个间隔;每隔50米有一根电线杆,也就是说间隔为50米;那么,行使的总路程为:50(371)=1800米;2
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