高中新课程实验教科书数学选修2-2[人教版A].doc

高中新课程实验教科书数学选修2-2人教版A1.1.2 导数的概念 一、教学目标1知识目标：通过对高台跳水问题的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数概念，知道瞬时变化率就是导数，了解导数的内涵；2能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力；3情感目标：通过对导数概念的学习，使学生感受到数学知识的产生是水到渠成的，数学的发展与人类文明的发展相互促进。教学重点、难点形成导数概念，了解导数的内涵即是本节的重点也是难点。教学方法教师用问题启发、引导学生，通过由特殊到一般得到导数的概念；学生通过积极探究、讨论，逐步理解导数的定义和内涵。教学用具：教师用多媒体投影，学生可用计算器。二、教学过程:（1）引入 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？（2）新课 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分表格1表格2时，在这段时间内时，在这段时间内当0.01时，13.051；当0.01时，13.149；当0.001时，13.095 1；当0.001时，13.104 9；当0.000 1时，13.099 51；当0.000 1时，13.100 49；当0.000 01时，13.099 951；当0.000 01时，13.100 049；当0.000 001时，13.099 995 1；当0.000 001时，13.100 004 9；。问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；4 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；5 -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用 表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”。思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3函数在处的瞬时变化率如何表示？导数的定义（板书）函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或。 附注：导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；定义的变化形式：=； =；=；，当时，所以 求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。三典例分析例1（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2, 再求再求解：法一（略）； 法二：（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以；同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。由导数的定义，我们知道，高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。四课堂练习1质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为2求曲线y=f(x)=x3在时的导数3例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义五、小结1导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；2导数就是瞬时变化率；3导数的计算公式：=。4. 求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”六、布置作业教科书习题1.1A组1，2，3，4，5。