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函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。2利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2） 确定f(x)与f(x)的关系；（3） 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。3简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数 均可写成一个奇函数 与一个 偶函数 和的形式，则 。4 奇偶函数图象的对称性(1)若是偶函数，则的图象关于直线对称；(2)若是奇函数，则的图象关于点中心对称；5一些重要类型的奇偶函数：（1） 函数 是偶函数，函数 是奇函数；（2）函数 且是奇函数；（3）函数 且是奇函数；（4）函数 且是奇函数。二、函数的单调性1定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（3）函数单调性的两个等价形式： 在给定区间上单调递增（递减）；在给定区间上单调递增（递减）。2如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。3设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数，简称“同增异减”。4判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（1） 任取x1，x2D，且x1x2；（2）作差f(x1)f(x2)；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；（5） 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。5简单性质（1）奇函数在其对称区间上的单调性相同；（2）偶函数在其对称区间上的单调性相反；（3）在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。三、函数的最值1定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值； （3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；函数的单调性A组1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)2函数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数g(x) f(logax)(0a1)的单调减区间是_3函数y 的值域是_4已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围是_5如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)6已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)0)在(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围是_4定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)5已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_10试讨论函数y2(logx)22logx1的单调性11已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)2.12已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1上是减函数，(2)在1，)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系为_2定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)等于_3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0的解集是_5已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2009)f(2010)的值为_6已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x2)，若当2x3时，f(x)x，则f(2009.5)_.7定义在R上的函数f(x)在(，a上是增函数，函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|x2a|时，则f(2ax1)与f(x2)的大小关系为_8已知函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)若f(a)2，则实数a_.9已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.10已知f(x)是R上的奇函数，且当x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式11已知函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果xR，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值12已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2010上的所有x的个数例题1、函数的单调递增区间是_例题2、（1）函数是（ ）A、是偶函数但不是奇函数 B、是奇函数但不是偶函数C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数（2）. 设，则对任意实数，是的A、充分必要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 （3）已知实数x、y满足，则_ （4）已知（R），且 则a的值有 （ ） A、个 B、个 C、个 D、无数个例题3、（2004复旦）若存在M，使任意（D为函数的定义域），都有，则称函数有界.问函数在上是否有界？例题4、设，其中且若在区间上恒成立，求的取值范围课后精练1 已知为偶函数，为奇函数，其中为复数，则的值是_. 2 函数的最大值与最小值之差等于。解：，从而当时取最大值，当时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于3函数解析：（1）f(x)在1，+)上是增函数，令f(x1)f(x2)log9(x1+8-)log9(x2+8-)得x1+8-x2+8- 即（x1-x2）(1+)0x1-x20, -1,a-x1x2，x2x11 欲使a-x1x2恒成立，即（-x1x2）max=-1只要a-1（-1应检验）（2）欲使x1时，x+8-0恒成立f(x)=log9(x+8-)在上是增函数则只要当x=1时,x+8-0即可 1+8-a0 a0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。8. 设 . 记，. 证明：.【证明】（）如果，则，。 （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 （3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），我们有。 9f(x)在1,+)上单调递增，且对任意x,y1,+)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，证明：存在常数k，使f(x)=kx在x1,+)上成立解析：设，则，以此类推，用数学归纳法不难证明对于，有。设，且，不妨设则，对任意且x为无理数时，则必存在两个无限接近的有理数，使，由在上单调递增知，即，由于，可以从x左右两侧无限接近，故。综上，存在常数，使得，在上成立。课后精练1.设函数，其中（1）求的取值范围，使得函数在上是单调递减函数；（2）此单调性能否扩展到整个定义域上？（3）求解不等式解：（1）设，则设，则显然.,只需要,就能使在上是单调递减函数；（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；（3）构造函数，由（1）知当时，是单调递增函数。，所求解集为.2. 若函数在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求a,b.解 显然，二次函数在区间a,b上的最值与区间的取法有关，因此需要分情况进行讨论.（1）若，则在区间a,b上单调递减，故，于是有解之得，即.（2）若，则在区间a,0上单调递增，在0,b上单调递减，因此在处取最大值，在或处取最小值，故.由于，故在处取最小值，即，解得，于是.（3）若，则在区间a, b 上单调递增，故，于是有由于方程的两根异号，故满足的区间不存在.综上所述，所求区间为1，3或.3设函数的定义域为R，当时，且对任意实数，有成立，数列满足且（1）求的值；（2）若不等式对一切均成立，求的最大值.参考答案第二节 函数的单调性A组1(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)解析：对任意的x1，x2(0，)，当x1f(x2)，f(x)在(0，)上为减函数答案：2函数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_解析：0a1，ylogax为减函数，logax0，时，g(x)为减函数由0logaxx1.答案：，1(或(，1)3函数y 的值域是_解析：令x4sin2，0，ysincos2sin()，1y2.答案：1,24已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围_解析：当a0，且ex0时，只需满足e00即可，则1a0时，f(x)ex，则满足f(x)ex0在x0,1上恒成立只需满足a(e2x)min成立即可，故a1，综上1a1.答案：1a15(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)解析：sinx1，f(x)sinx的下确界为1，即f(x)sinx是有下确界的函数；f(x)lgx的值域为(，)，f(x)lgx没有下确界；f(x)ex的值域为(0，)，f(x)ex的下确界为0，即f(x)ex是有下确界的函数；f(x)的下确界为1.f(x)是有下确界的函数答案：6已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围.解：(1)xR，f(x)bg(x)xR，x2bxb0b4.(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24，当0即m时，则必需m0.当0即m时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x1x2)，若1，则x10.m2.若0，则x20，1m0.4a4.答案：40)在(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围_解析：f(x)x(a0)在(，)上为增函数，0a.答案：(0，4(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)解析：由已知0，得f(x)在x0，)上单调递减，由偶函数性质得f(2)f(2)，即f(3)f(2)f(1)答案：5(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是_解析：由题意知，f(x)为减函数，所以解得0a.6(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)f(x)(x1)，则函数g(x)的最大值为_解析：g(x)当0x0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_解析：令2x2x，当x(0，)时，(0,1)，而此时f(x)0恒成立，0a0，即x0或x，得0x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f()0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.由于函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数，由f(|x|)9，x9或x9或x912已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1上是减函数，(2)在1，)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由解：f(x)在(0,1上是减函数，1，)上是增函数，x1时，f(x)最小，log31.即ab2.设0x1x21，则f(x1)f(x2)即恒成立由此得0恒成立又x1x20，x1x20，x1x2b0恒成立，b1.设1x3x4，则f(x3)f(x4)恒成立0恒成立x3x40，x3x40，x3x4b恒成立b1.由b1且b1可知b1，a1.存在a、b，使f(x)同时满足三个条件第三节 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系为_解析：由f(x)为偶函数，知b0，f(x)loga|x|，又f(x)在(，0)上单调递增，所以0a1,1a1f(b2)答案：f(a1)f(b2)2(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)等于_解析：f(x)为奇函数，且xR，所以f(0)0，由周期为2可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由f(x2)f(x)，令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以f(1)f(4)f(7)0.答案：03(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_解析：因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)得f(11)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f(0)0，所以f(1)0，即f(25)f(80)f(11)答案：f(25)f(80)f(11)4(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是_解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(|x|)，由f(|2x1|)f()，再根据f(x)的单调性得|2x1|，解得x0)，由f(1)f(4)0，得a(12)25a(42)250，a2，f(x)2(x2)25(1x4)(3)yf(x)(1x1)是奇函数，f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函数，可设f(x)kx(0x1)，而f(1)2(12)253，k3，当0x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.当4x6时，有1x51，f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，10，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0，则在(0，)上f(x)是增函数，在(，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(1)0，f(1)0.从而可知x(，1)时，f(x)0；x(1,0)时，f(x)0；x(0,1)时，f(x)0.不等式的解集为(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)5(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2009)f(2010)的值为_解析：f(x)是偶函数，f(2009)f(2009)f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)周期为2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案：16(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x2)，若当2x3时，f(x)x，则f(2009.5)_.解析：由f(x2)，可得f(x4)f(x)，f(2009.5)f(50241.5)f(1.5)f(2.5)f(x)是偶函数，f(2009.5)f(2.5).答案：7(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(，a上是增函数，函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|x2a|时，则f(2ax1)与f(x2)的大小关系为_解析：yf(xa)为偶函数，yf(xa)的图象关于y轴对称，yf(x)的图象关于xa对称又f(x)在(，a上是增函数，f(x)在a，)上是减函数当x1a，且|x1a|x2a|时，有ax1x2a，即a2ax1f(x2)答案：f(2ax1)f(x2)8已知函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)若f(a)2，则实数a_.解析：当x0时，f(x)x(x1)0，由f(x)为奇函数知x0时，f(x)0，a0时，x0)f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)11已知函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果xR，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解：(1)证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)法一：设x，yR，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)xR，f(x)0，f(xy)f(x)0，f(xy)x，f(x)在(0，)上是减函数又f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.法二：设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0.即f(x)在R上单调递减f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.12已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2010上的所有x的个数解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)，又f(x2)f(2x)f(x)2f(x)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数故f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12010，则n502，又nZ，1n502(nZ)，在0,2010上共有502个x使f(x).例题1、函数的单调递增区间是_解析：依题意有，令。例题2、（1）函数是（ ）A、是偶函数但不是奇函数 B、是奇函数但不是偶函数C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数解析：定义判断可得A（2）. 设，则对任意实数，是的A、充分必要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【解】【答】A 。显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。 （3）已知实数x、y满足，则_ 解析：奇函数的定义可得15（4）已知（R），且 则a的值有 （ ） A、个 B、个 C、个 D、无数个解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有. 故选（D）例题3、（2004复旦）若存在M，使任意（D为函数的定义域），都有，则称函数有界.问函数在上是否有界？解析：取. 当时，所以不是有界函数例题4、设，其中且若在区间上恒成立，求的取值范围解 由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增. （1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或结合得 （2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得易知，所以不符合 综上可知：的取值范围为 例题5、（2013广东）设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.解析() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. () ,令,得, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 课后精练3 已知为偶函数，为奇函数，其中为复数，则的值是_. 4 函数的最大值与最小值之差等于。解：，从而当时取最大值，当时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于3函数解析：（1）f(x)在1，+)上是增函数，令f(x1)f(x2)log9(x1+8-)log9(x2+8-)得x1+8-x2+8- 即（x1-x2）(1+)0x1-x20, -1,a-x1x2，x2x11 欲使a-x1x2恒成立，即（-x1x2）max=-1只要a-1（-1应检验）（2）欲使x1时，x+8-0恒成立f(x)=log9(x+8-)在上是增函数则只要当x=1时,x+8-0即可 1+8-a0 a0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。8. 设 . 记，. 证明：.【证明】（）如果，则，。 （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为
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