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函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。注意:(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。2利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;(2) 确定f(x)与f(x)的关系;(3) 作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是奇函数。3简单性质:(1)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇(3)任意一个定义域关于原点对称的函数 均可写成一个奇函数 与一个 偶函数 和的形式,则 。4 奇偶函数图象的对称性(1)若是偶函数,则的图象关于直线对称;(2)若是奇函数,则的图象关于点中心对称;5一些重要类型的奇偶函数:(1) 函数 是偶函数,函数 是奇函数;(2)函数 且是奇函数;(3)函数 且是奇函数;(4)函数 且是奇函数。二、函数的单调性1定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意:(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2)(3)函数单调性的两个等价形式: 在给定区间上单调递增(递减);在给定区间上单调递增(递减)。2如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。3设复合函数y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间,B是映射g : xu=g(x) 的象集:若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= fg(x)在A上是增函数;若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= fg(x)在A上是减函数,简称“同增异减”。4判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:(1) 任取x1,x2D,且x1x2;(2)作差f(x1)f(x2);(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。5简单性质(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同;(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反;(3)在公共定义域内:增函数f(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x)-减函数g(x)是增函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。三、函数的最值1定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最小值。注意:(1)函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0I,使得f(x0) = M;(2)函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)。2利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;(2)利用图象求函数的最大(小)值; (3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);函数的单调性A组1下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,),当x1f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)2函数f(x)(xR)的图象如右图所示,则函数g(x) f(logax)(0a1)的单调减区间是_3函数y 的值域是_4已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是_5如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)M(M为常数),称M为f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是_f(x)sinx;f(x)lgx;f(x)ex;f(x)6已知函数f(x)x2,g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)0)在(,)上是单调增函数,则实数a的取值范围是_4定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,)(x1x2),有0,则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)5已知函数f(x)满足对任意x1x2,都有0,a1)在区间(0,)内恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为_10试讨论函数y2(logx)22logx1的单调性11已知定义在区间(0,)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2),且当x1时,f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)2.12已知:f(x)log3,x(0,),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件:(1)在(0,1上是减函数,(2)在1,)上是增函数,(3)f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;若不存在,说明理由 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(,0)上单调递增,则f(a1)与f(b2)的大小关系为_2定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)f(4)f(7)等于_3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_4已知偶函数f(x)在区间0,)上单调增加,则满足f(2x1)0,若f(1)0,那么关于x的不等式xf(x)0的解集是_5已知函数f(x)是(,)上的偶函数,若对于x0,都有f(x2)f(x),且当x0,2)时,f(x)log2(x1),则f(2009)f(2010)的值为_6已知函数f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足f(x2),若当2x3时,f(x)x,则f(2009.5)_.7定义在R上的函数f(x)在(,a上是增函数,函数yf(xa)是偶函数,当x1a,且|x1a|x2a|时,则f(2ax1)与f(x2)的大小关系为_8已知函数f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)x(x1)若f(a)2,则实数a_.9已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_.10已知f(x)是R上的奇函数,且当x(,0)时,f(x)xlg(2x),求f(x)的解析式11已知函数f(x),当x,yR时,恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果xR,f(x)0,并且f(1),试求f(x)在区间2,6上的最值12已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x2)f(x)(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0x1时,f(x)x,求使f(x)在0,2010上的所有x的个数例题1、函数的单调递增区间是_例题2、(1)函数是( )A、是偶函数但不是奇函数 B、是奇函数但不是偶函数C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数(2). 设,则对任意实数,是的A、充分必要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 (3)已知实数x、y满足,则_ (4)已知(R),且 则a的值有 ( ) A、个 B、个 C、个 D、无数个例题3、(2004复旦)若存在M,使任意(D为函数的定义域),都有,则称函数有界.问函数在上是否有界?例题4、设,其中且若在区间上恒成立,求的取值范围课后精练1 已知为偶函数,为奇函数,其中为复数,则的值是_. 2 函数的最大值与最小值之差等于。解:,从而当时取最大值,当时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于3函数解析:(1)f(x)在1,+)上是增函数,令f(x1)f(x2)log9(x1+8-)log9(x2+8-)得x1+8-x2+8- 即(x1-x2)(1+)0x1-x20, -1,a-x1x2,x2x11 欲使a-x1x2恒成立,即(-x1x2)max=-1只要a-1(-1应检验)(2)欲使x1时,x+8-0恒成立f(x)=log9(x+8-)在上是增函数则只要当x=1时,x+8-0即可 1+8-a0 a0,tanxx,所以;当时,因为cosx0,tanx0,所以;又因为g(x)在(0,)上连续,所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x),即,又因为,所以当x(0,),y(0,1)时,f(x,y)0.其次,当x=0时,f(x,y)=0;当x=时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当y=1时,f(x,y)=sinx0.综上,当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时,f(x,y)取最小值0。8. 设 . 记,. 证明:.【证明】()如果,则,。 ()如果,由题意 ,,. 则 当 时,(). 事实上,当时,, 设时成立(为某整数),则对, . 当 时,().事实上,当时,, 设时成立(为某整数),则对,有.注意到 当时,总有,即 . 从而有.由归纳法,推出 。 (3)当时,记,则对于任意,且。对于任意,, 则。 所以,。当时,即。因此。综合()()(),我们有。 9f(x)在1,+)上单调递增,且对任意x,y1,+),都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,证明:存在常数k,使f(x)=kx在x1,+)上成立解析:设,则,以此类推,用数学归纳法不难证明对于,有。设,且,不妨设则,对任意且x为无理数时,则必存在两个无限接近的有理数,使,由在上单调递增知,即,由于,可以从x左右两侧无限接近,故。综上,存在常数,使得,在上成立。课后精练1.设函数,其中(1)求的取值范围,使得函数在上是单调递减函数;(2)此单调性能否扩展到整个定义域上?(3)求解不等式解:(1)设,则设,则显然.,只需要,就能使在上是单调递减函数;(2)此单调性不能扩展到整个定义域上,这可由单调性定义说明之;(3)构造函数,由(1)知当时,是单调递增函数。,所求解集为.2. 若函数在区间a,b上的最小值为2a,最大值为2b,求a,b.解 显然,二次函数在区间a,b上的最值与区间的取法有关,因此需要分情况进行讨论.(1)若,则在区间a,b上单调递减,故,于是有解之得,即.(2)若,则在区间a,0上单调递增,在0,b上单调递减,因此在处取最大值,在或处取最小值,故.由于,故在处取最小值,即,解得,于是.(3)若,则在区间a, b 上单调递增,故,于是有由于方程的两根异号,故满足的区间不存在.综上所述,所求区间为1,3或.3设函数的定义域为R,当时,且对任意实数,有成立,数列满足且(1)求的值;(2)若不等式对一切均成立,求的最大值.参考答案第二节 函数的单调性A组1(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,),当x1f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)解析:对任意的x1,x2(0,),当x1f(x2),f(x)在(0,)上为减函数答案:2函数f(x)(xR)的图象如右图所示,则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_解析:0a1,ylogax为减函数,logax0,时,g(x)为减函数由0logaxx1.答案:,1(或(,1)3函数y 的值域是_解析:令x4sin2,0,ysincos2sin(),1y2.答案:1,24已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围_解析:当a0,且ex0时,只需满足e00即可,则1a0时,f(x)ex,则满足f(x)ex0在x0,1上恒成立只需满足a(e2x)min成立即可,故a1,综上1a1.答案:1a15(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)M(M为常数),称M为f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是_f(x)sinx;f(x)lgx;f(x)ex;f(x)解析:sinx1,f(x)sinx的下确界为1,即f(x)sinx是有下确界的函数;f(x)lgx的值域为(,),f(x)lgx没有下确界;f(x)ex的值域为(0,),f(x)ex的下确界为0,即f(x)ex是有下确界的函数;f(x)的下确界为1.f(x)是有下确界的函数答案:6已知函数f(x)x2,g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)bg(x),求实数b的取值范围;(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2,且|F(x)|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.解:(1)xR,f(x)bg(x)xR,x2bxb0b4.(2)F(x)x2mx1m2,m24(1m2)5m24,当0即m时,则必需m0.当0即m时,设方程F(x)0的根为x1,x2(x1x2),若1,则x10.m2.若0,则x20,1m0.4a4.答案:40)在(,)上是单调增函数,则实数a的取值范围_解析:f(x)x(a0)在(,)上为增函数,0a.答案:(0,4(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,)(x1x2),有0,则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)解析:由已知0,得f(x)在x0,)上单调递减,由偶函数性质得f(2)f(2),即f(3)f(2)f(1)答案:5(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)满足对任意x1x2,都有0成立,则a的取值范围是_解析:由题意知,f(x)为减函数,所以解得0a.6(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0),定义函数g(x)f(x)(x1),则函数g(x)的最大值为_解析:g(x)当0x0,a1)在区间(0,)内恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为_解析:令2x2x,当x(0,)时,(0,1),而此时f(x)0恒成立,0a0,即x0或x,得0x1时,f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)0,代入得f(1)f(x1)f(x1)0,故f(1)0.(2)任取x1,x2(0,),且x1x2,则1,由于当x1时,f(x)0,所以f()0,即f(x1)f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,)上是单调递减函数(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3),而f(3)1,所以f(9)2.由于函数f(x)在区间(0,)上是单调递减函数,由f(|x|)9,x9或x9或x912已知:f(x)log3,x(0,),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件:(1)在(0,1上是减函数,(2)在1,)上是增函数,(3)f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;若不存在,说明理由解:f(x)在(0,1上是减函数,1,)上是增函数,x1时,f(x)最小,log31.即ab2.设0x1x21,则f(x1)f(x2)即恒成立由此得0恒成立又x1x20,x1x20,x1x2b0恒成立,b1.设1x3x4,则f(x3)f(x4)恒成立0恒成立x3x40,x3x40,x3x4b恒成立b1.由b1且b1可知b1,a1.存在a、b,使f(x)同时满足三个条件第三节 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(,0)上单调递增,则f(a1)与f(b2)的大小关系为_解析:由f(x)为偶函数,知b0,f(x)loga|x|,又f(x)在(,0)上单调递增,所以0a1,1a1f(b2)答案:f(a1)f(b2)2(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)f(4)f(7)等于_解析:f(x)为奇函数,且xR,所以f(0)0,由周期为2可知,f(4)0,f(7)f(1),又由f(x2)f(x),令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0,所以f(1)f(4)f(7)0.答案:03(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_解析:因为f(x)满足f(x4)f(x),所以f(x8)f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,则f(25)f(1),f(80)f(0),f(11)f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)0,得f(80)f(0)0,f(25)f(1)f(1),而由f(x4)f(x)得f(11)f(3)f(3)f(14)f(1),又因为f(x)在区间0,2上是增函数,所以f(1)f(0)0,所以f(1)0,即f(25)f(80)f(11)答案:f(25)f(80)f(11)4(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间0,)上单调增加,则满足f(2x1)f()的x取值范围是_解析:由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|),由f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性得|2x1|,解得x0),由f(1)f(4)0,得a(12)25a(42)250,a2,f(x)2(x2)25(1x4)(3)yf(x)(1x1)是奇函数,f(0)0,又知yf(x)在0,1上是一次函数,可设f(x)kx(0x1),而f(1)2(12)253,k3,当0x1时,f(x)3x,从而当1x0时,f(x)f(x)3x,故1x1时,f(x)3x.当4x6时,有1x51,f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时,10,若f(1)0,那么关于x的不等式xf(x)0,则在(0,)上f(x)是增函数,在(,0)上是减函数,又f(x)在R上是偶函数,且f(1)0,f(1)0.从而可知x(,1)时,f(x)0;x(1,0)时,f(x)0;x(0,1)时,f(x)0.不等式的解集为(,1)(0,1)答案:(,1)(0,1)5(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(,)上的偶函数,若对于x0,都有f(x2)f(x),且当x0,2)时,f(x)log2(x1),则f(2009)f(2010)的值为_解析:f(x)是偶函数,f(2009)f(2009)f(x)在x0时f(x2)f(x),f(x)周期为2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案:16(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足f(x2),若当2x3时,f(x)x,则f(2009.5)_.解析:由f(x2),可得f(x4)f(x),f(2009.5)f(50241.5)f(1.5)f(2.5)f(x)是偶函数,f(2009.5)f(2.5).答案:7(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(,a上是增函数,函数yf(xa)是偶函数,当x1a,且|x1a|x2a|时,则f(2ax1)与f(x2)的大小关系为_解析:yf(xa)为偶函数,yf(xa)的图象关于y轴对称,yf(x)的图象关于xa对称又f(x)在(,a上是增函数,f(x)在a,)上是减函数当x1a,且|x1a|x2a|时,有ax1x2a,即a2ax1f(x2)答案:f(2ax1)f(x2)8已知函数f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)x(x1)若f(a)2,则实数a_.解析:当x0时,f(x)x(x1)0,由f(x)为奇函数知x0时,f(x)0,a0时,x0)f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)11已知函数f(x),当x,yR时,恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果xR,f(x)0,并且f(1),试求f(x)在区间2,6上的最值解:(1)证明:函数定义域为R,其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y),令yx,f(0)f(x)f(x)令xy0,f(0)f(0)f(0),得f(0)0.f(x)f(x)0,得f(x)f(x),f(x)为奇函数(2)法一:设x,yR,f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(y)xR,f(x)0,f(xy)f(x)0,f(xy)x,f(x)在(0,)上是减函数又f(x)为奇函数,f(0)0,f(x)在(,)上是减函数f(2)为最大值,f(6)为最小值f(1),f(2)f(2)2f(1)1,f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1,最小值为3.法二:设x10,f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0.即f(x)在R上单调递减f(2)为最大值,f(6)为最小值f(1),f(2)f(2)2f(1)1,f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1,最小值为3.12已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x2)f(x)(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0x1时,f(x)x,求使f(x)在0,2010上的所有x的个数解:(1)证明:f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x),f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时,f(x)x,设1x0,则0x1,f(x)(x)x.f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)x,即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3,则1x21,f(x2)(x2),又f(x2)f(2x)f(x)2f(x)f(x),f(x)(x2),f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x),解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数故f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12010,则n502,又nZ,1n502(nZ),在0,2010上共有502个x使f(x).例题1、函数的单调递增区间是_解析:依题意有,令。例题2、(1)函数是( )A、是偶函数但不是奇函数 B、是奇函数但不是偶函数C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数解析:定义判断可得A(2). 设,则对任意实数,是的A、充分必要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【解】【答】A 。显然为奇函数,且单调递增。于是若,则,有,即,从而有.反之,若,则,推出 ,即 。 (3)已知实数x、y满足,则_ 解析:奇函数的定义可得15(4)已知(R),且 则a的值有 ( ) A、个 B、个 C、个 D、无数个解:由题设知为偶函数,则考虑在时,恒有所以当,且时,恒有由于不等式的解集为,不等式的解集为因此当时,恒有. 故选(D)例题3、(2004复旦)若存在M,使任意(D为函数的定义域),都有,则称函数有界.问函数在上是否有界?解析:取. 当时,所以不是有界函数例题4、设,其中且若在区间上恒成立,求的取值范围解 由得,由题意知,故,从而,故函数在区间上单调递增. (1)若,则在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,解得或结合得 (2)若,则在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,即,解得易知,所以不符合 综上可知:的取值范围为 例题5、(2013广东)设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.解析() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. () ,令,得, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 课后精练3 已知为偶函数,为奇函数,其中为复数,则的值是_. 4 函数的最大值与最小值之差等于。解:,从而当时取最大值,当时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于3函数解析:(1)f(x)在1,+)上是增函数,令f(x1)f(x2)log9(x1+8-)log9(x2+8-)得x1+8-x2+8- 即(x1-x2)(1+)0x1-x20, -1,a-x1x2,x2x11 欲使a-x1x2恒成立,即(-x1x2)max=-1只要a-1(-1应检验)(2)欲使x1时,x+8-0恒成立f(x)=log9(x+8-)在上是增函数则只要当x=1时,x+8-0即可 1+8-a0 a0,tanxx,所以;当时,因为cosx0,tanx0,所以;又因为g(x)在(0,)上连续,所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x),即,又因为,所以当x(0,),y(0,1)时,f(x,y)0.其次,当x=0时,f(x,y)=0;当x=时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当y=1时,f(x,y)=sinx0.综上,当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时,f(x,y)取最小值0。8. 设 . 记,. 证明:.【证明】()如果,则,。 ()如果,由题意 ,,. 则 当 时,(). 事实上,当时,, 设时成立(为某整数),则对, . 当 时,().事实上,当时,, 设时成立(为
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