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湖南省部分示范性高中联考试卷高二数学(理)本卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。共120分,考试时间为120分钟。第卷(选择题共60分)注意事项: 1答题时,考生务必将自己的答案填写在答题卡上。2考试结束,考生只交答题卡。如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【参考公式】正棱锥、圆锥的侧面积公式其中c表示底面周长,l表示斜高或母线长球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分,每题给出4个答案,其中只有一个是正确的,请把选出的答案编号填在上面的答题表中,否则不给分)1、若点Q在直线b上,b在平面内,则Q、b、之间的关系可记作 ( )A、Qb B、Qb C、Qb D、Qb2、用排列数符号可将连续整数的乘积(m7)(m8)(m17) (mN,m17)表示( ) A B C D3、直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=,则=,=,则= ( )A、+- B、-+ C、-+ D、-+-4、从A地到B地有3种走法,从B地到C地有2种走法,从A地不经过B地到C地有4种走法,则从A地到C地的不同走法有( )A、9种 B、10种 C、14种 D、24种5、采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取1个容量为3的样本,个体a前两次未被抽到,第3次抽到的概率为 ( ) A、 B、 C、 D、6、如图,为一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为 ()A、6 B、 7 C、 8 D、 9 7、将正方形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,则直线AC与平面BCD所成的角不可能等于 ( )A、90 B、60 C、45 D、 308、在4次独立重复实验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是 ( ) A、0.4,1) B、(0,0.4 C、(0,0.6 D、0.6,1)9、某公园有P,Q,R三只小船,P船最多可乘3人,Q船最多可乘2人,R船只能乘1人,现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为 ( ) A 36种 B 33种 C 27种 D 21种10、如图4代表未折叠正方形的展开图,将其折叠起来,变成正方体后,图形是 ( )A、 B、 图4C、 D、二、填空题:(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11、已知=(2,-1,3),=(-4,4,x),且,则x= 。12、某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁及以上的人,用分层抽样的方法的方法从中抽取20人,各年龄段分别抽取 人。13、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇,若任意排列交流顺序,则最先和最后交流论文都为试点学校的概率是 。(结果用分数表示)14、已知A、B、C是球面上的三点,ACBC,AB5,若球心到截面ABC的距离等于球直径的,则球的表面积为 。15、对于平面几何中的命题:“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补。”在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“ ”。三、解答题:(本大题共6个小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16、(本小题8分)已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:(1)n的值;(2)展开式中含x3的项.17(本小题满分8分)已知SA平面ABC,SA=AB,ABBC,SB=BC,E是SC的中点,DESC交AC于DSACBDE(1) 求证:SC面BDE;(2)求二面角EBDC的大小18、(本小题10分)甲乙两人进行乒乓球比赛,采用“五局三胜制”,即五局中先胜三局为胜,若每局比赛甲获胜的概率都是,乙获胜的概率都是,求: (1)比赛以甲三胜一负而结束的概率; (2)比赛以乙获胜而结束的概率。19、(本小题12分)已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱与AB,AC均成45角,且于E,于F。(1)求证:平面平面;(2)求点A到平面的距离;(3)当多长时,点到平面ABC与到平面的距离相等。PABCD20、(本小题10分)如图,四棱锥PABCD底面AC是边长为a的 正方形,PD2a,PAPCa(1)求证:PD平面ABCD; (2)求二面角APBC的大小ABCDD1C1A1B1PMN21、(本小题12分)如图,M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点(1)若,求证:无论点P在D1D上如何移动,总有BPMN;(2)若D1P : PD1 : 2,且PB平面B1MN,求二面角MB1NB的大小;(3)棱DD1上是否存在点P,使得平面APC1平面ACC1?证明你的结论湖南省部分示范性高中联考试卷高二数学(理)说明:1本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数一选择题:BDDBCBAACB二填空题:114129、5、613 14. 15如果两个二面角的两个半平面互相垂直,则这两个二面角的平面角相等或互补。三解答题:16、解:(1) 依题意得 4分 (2)设第r +1项含x3项,则 第二项为含x3的项:T2=-2=-18x3 8分17解 (1)证明:(1)SB=BC E是SC的中点 BESC DESC SC面BDE 4分(2)解:由(1)SCBDSA面ABCSABDBD面SACEDC为二面角E-BD-C的平面角设SA=AB=a,则SB=BC= 8分18、解:(1)若比赛甲三胜一负而结束,则前三局中甲胜两局负一局,第四局甲胜,故有P=()()2=. 5分 (2)若乙获胜则有以下三种情况:前三局乙全胜,其概率为P1=()3=;前三局乙两胜一负,第四局乙胜,其概率P2=()1()=;前四局乙两胜两负,第五局乙胜,其概率为P3=()2()2= 所以乙获胜的概率为P1+P2+P3=。 10分19、解:(1)的三棱柱 平面平面平面 4分(2)平面 A到平面的距离等于到平面的距离与AB成45角, , 同理 又是边长为2的正三角形 取EF中是D连A、D 平面为到平面的距离, 8分(3)作平面ABC于H,作HMAB于M,HNAC于N,连结, AH HM=HN AH为BAC的平行线,设 ABC为正三角形 即时:点到平面ABC与到平面的距离相等。 12分PABCD20、方法一(1)证:由已知得PD2AD24a2a25a2PA2 PDAD,同理,PDCDPD平面ABCD 4分4分(2)解:过作AEPB于E,连CEPAPC,ABBC,PBPB,PABPCB6分故CEPB,CEAEAEC是二面角APBC的平面角8分BCCD,由(1)知PD平面ABCD由三垂线定理知BCPC, 在RtPCB中,二面角APBC的大小为10分方法二(1)同方法一(2)解:以为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,2a),C(0,a,0) (a,a,2a),(0,a,0),(a,0,0)6分设平面PAB的法向量为n1(x,y,1),则 n10, n10即,n1(2,0,1)8分同理得平面PBC的法向量n2(0,2,1)设n1、n2的角为,则二面角APBC的大小为10分21、解:(1)证:分别以为x轴、y轴、z轴建立 直角坐标系,设正方体的棱长为a,则B(a,a,0), B1(a,a,a)设,则M(a,0),N(,a,0)2分设P (0,0,z),则(a,a,z),即无论点P在D1D上如何移动,总有BPMN 4分(2)解:D1P : PD1 : 2,P(0,0,),(a,a,)平面BNB1的法向量为(0,a,0),平面B1MN的法向量为6分cos二面角MB1NB的大小为8分(3)解:假设存在点P(0,0,z)满足条件CC1BD,ACBD, BD平面ACC1,即是平面ACC1的法向量10分(a,0,z),(0,a,az)设平面APC1的法向量为n(x,y,1),则n 0,n0即,n(,1,1)由n 0得:zza0,za,这时点P是DD1的中点存在P为DD1的中点使得平面APC1平面ACC112分
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