2014中考12题考研分析.doc

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2014年数学中考第12题:规律题考研分析一、试题分析:1.题型特点:在中考试卷中经常出现一类题型,它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点,分析其规律,从而给出结论,这就是所谓“探索规律题”。规律探索型问题是指在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律它体现了“特殊到一般”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问题能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力题型主要是填空题。2.考查形式:(1)考试说明要求:(2)2009年-2013年北京中考规律题再现:题号2009 年2010 年2011年 2012 年2013年 填空题12 探究规律 (图形) 探究规律 (数式)循环规律探究规律(数式)探究规律(图形中的坐标)探究规律(图形中的坐标)循环规律2个空 3个空 3个空 2个空 3个空 相关知识点数字排列反比例函数、双曲线的性质难度系数 0.45 0.71 0.47 0.45 具体分析如下:题型固定但知识点多变,从几何图形到代数及函数均有涉及,但均为根据题意寻找规律填空。此题常含两空,第一空的得分率大概为85%,难点主要在第二空。失分率高的原因主要有两点:1:对于题意的把握不到位。此题虽涉及图像及函数但学生常常无法把题目抽象化而对题意不理解或对题意理解偏差;2:对于一些能够观察出来的规律无法用n的方式书写表达出来。其原因在于对于一些常见的规律不熟知或不能组合几个简单的规律。从近几年12小题的变化趋势看,明显向新课标靠拢,通过试题的编排,设计又有层次性,使不同层次的考生有不同难度层面上的解答,尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会,发展学生的推理能力. 对于12小题,要求学生不但要会用代数式表示规律,还要通过画图、计算等操作发现规律,对学生要求较高.从近几年中考试卷看,北京市命题延续了此类型的题目,并且难度有所增加(12小题,10年0.45,12年0.47,13年0.45),虽然本题难度有波动,但一般控制在0.5左右.二、对于中考备考我们已经做了哪些?回顾三年来的期末试题:1.(七上期末)14. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律m的值是 数字排列规律;得分率:21.23%分析规律:上述问题中的规律是较典型的多种规律的复合叠加,应该是有相当的难度,首先单个的方格分析,一个对角方向的两数之和等于另一对角方向的两数之积如0+2=12、2+10=34等),左边的两格是两个连续偶数; 而从横向的不同方格分析,它又不是我们常见的1、2、3n 的规律,我们知道它们的右上格依次也是连续偶数排列。关键是右上格,单独挑出来分析1、3、6、10,又是一个数列,其第n个数是 y=20是第11个偶数,当n=11时y=66,所以有20+m=2266,得m=1432.第1行2第2行4 6第3行81012 14 数字排列规律;得分率:12.75%2.(七下期末)16.由一些正整数组成的数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍): 若规定坐标号(m,n)表示第m行从左向右第n个数,则(7,4)所表示的数是 ;(5,8)与(8,5)表示的两数之积是 ;数2012的坐标号是 . 分析规律:(1)每行的规律是:每个数比前一个数大2,故需定好每行的第一个数;(2)第一行第一个数是2=21,第二行第一个数是4=22,第三行第一个数是8=23,第四行第一个数是16=24,故第n行第一个数是2n.则(7,4)所表示的数是27+6=134,(5,8)所表示的数25+14=46,(8,5)所表示的数28+8=264,(5,8)与(8,5)表示的两数之积是12144.210=1008,211=2016,2012-1008=1004,10042=502,2012是第10行的第503个数算式排列规律;得分率:3. (八上期末)15.观察下列各式: 用含有字母n (其中n为正整数)的等式表示你发现的规律:4.(八下期末)14.已知在平面直角坐标系中放置了n(n为正整数)个如图所示的正方形,点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、在x轴上,如果把正方形A1B1C1D1记作第1个正方形,正方形D1E1E2B2记作第2个正方形,依此类推.如果第1个正方形的边长为1,B1C1O=30,且B1C1B2C2B3C3,则第4个正方形的周长为 ,第n个正方形的周长为 . 图形计算规律;得分率:13.86%二次函数图像性质;得分率:5.(九上期末)12.如图,二次函数的图象经过点,对称轴为直线,下列5个结论: ; ; ;第12题图 ; ,其中正确的结论为 (注:只填写正确结论的序号)三、类型及解题关键:此类问题主要分为不循环规律和循环规律。具体有这样几类:数与式的规律探究、几何图形计算找规律探究、平面直角坐标系中点的坐标规律探究。用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来,是探究性题目中很重要的一类,下面研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法. 主要思路:观察归纳猜想验证. 规律题的最大难点是如何找到前几个特例的排列(变化)特点,这就要培养学生对数列和基本图形(单位图形)的敏感度,怎样培养呢?我个人认为让学生熟悉一些基础数列和基本图形(单位图形)很重要1.基本知识支撑:常见基础数列有:等差数列、等比数列、周期数列、平方数列、立方数列等我的意思不是非把这些专业名词给学生讲,而是通过具体的一系列题目让学生感受,形成“数感”,比如:等差数列:相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减2,5,8,11,(后一个与前一个的差都是3,则用n表示的式子一定与n的3倍有关)1,5,9,13,(后一个与前一个的差都是4,则用n表示的式子一定与n的4倍有关)等比数列:相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减2,6,18,54,(后一个与前一个的商都是3,则用n表示的式子一定与3的n次幂有关)1,5,25,125,(后一个与前一个的商都是5,则用n表示的式子一定与5的n次幂有关,注意调整与序列号的关系)平方数列:完全平方数列;一个数的平方的倍数关系;一个数的平方加减一个数等于第二个数1,4,9,16,25,36,(即是n2数列) 2,8,18,32,(n2的2倍数列) 2,5,10,17,(n2加1数列)立方数列:1,8,27,64,125,(即是n3数列)摆动数列: 如:1,1,1,1, 摆动型 解决符号问题通过这样的训练,学生会增强对数列的敏感度,大概了解对数列变化规律的的思考角度对基本图形(单位图形)的敏感度也可以通过题组训练的形式来培养,更应在平时几何解题教学中注重强化基本图形的作用 2.思路方法与技巧:技巧之一:标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包含序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。技巧之二:借助于函数思想如果一个y关于x的函数满足:当x增大的数值相对等时,y增大减小的数值也相等,那么y就是x的一次函数,而一次函数的关系可以借助待定系数法求出来.分为:(1)等差一次型即一次函数运用(2)两次做差为常数二次型即二次函数运用四、典例分析:第一类:数与式规律探究1.探索数式规律:【例1】(2008年北京中考第12题)一组按规律排列的式子:,(),其中第7个式子是 ,第个式子是 (为正整数)分析:(1)找出不变量和变量,本题有三处变量:分子的指数、分母的指数以及分式的符号,可以分别按顺序列出,标上序列号1,2,3,;(2)观察变量的变化规律(即纵向的排列特点,分子的指数是公差为3的等差数列,分母指数为正整数列,分式的符号负、正交替),同时注意与序列号进行比较(即横向的与n的关系);(3)分别写出变量分子、分母的指数及分式符号用n表示的代数式,再与不变量组合写出;(4)分别把n=1,2,3,4代入所写的代数式,验证其正确性答案:,注意:强调正负号交替的问题用或来表示:如果第奇数个为正,第偶数个为负,用或表示,如果第奇数个为负,第偶数个为正,用来表示归纳解题关键:探索规律,就是指变量的变化规律,所以抓住了变量,就等于抓住了解决问题的关键而能用n表示的变量会按照一定的顺序给出,揭示的规律包含着事物的序列号n,因此把变量和序列号放在一起比较,比较容易发现其中的奥秘我尝试总结了下面的解题步骤,供大家参考:(1)找出前几个特例的变量,按顺序标上序列号;(特例入手)(2)观察变量的变化规律,注意与序列号进行比较;(特例入手)(3)写出变量用n表示的代数式;(一般结论)(4)分别把n=1,2,3,4代入所写的代数式,验证其正确性(个例验证)实质上就是从特例入手,得出一般结论,再用个例验证的过程【例2】(2013年延庆县一模)12观察下面一列数的规律并填空:0,3,8,15,24,则它的第2013个数是 .第n个数是_ 分析:先用每个数减去前一个数,得到的差是:3,5,7,9,这列数列再次作差是常数2,属于二阶作差为常数即二次函数运用,应想到有n2,再根据具体数对应来写出结构,从而规律就出来了。因为,按照此规律计算下去,第2013个数是,第n个数是.函数思想运用答案:4052168(或20132-1),n2-1归纳:函数型探索规律:(1)第一步:确定变量;(2)第二步:在直角坐标系中描点;(3)第三步:确定函数关系式。(4)对于一次函数至少需要三个以上对应点,对于二次函数至少需要四个以上对应点,求出解析式后,把另外的对应点代人验证,若成立,就用这个关系式去求解。总之,有很多规律问题都可以利用函数的思想来探究,掌握此法可避免学生漫无目的的猜想,节省时间且准确。2.探索等式规律:等式规律的题目与一般的数式规律的题目还是稍有区别,等式规律要写等号两边代数式的规律,这一点要提醒学生注意【例3】观察下列各式:,请你将猜想到的规律用自然数n(n1)表示出来 .小结:等式规律一定包含着数学运算,所以,除了尝试着把变量和序列号放在一起比较,做一些计算,也是解决问题的好途径最后别忘把n=1,2,3,4分别代入所写的等式,验证自己写的是否正确 归纳:此类题目的解题关键是将题目中的“式”化为有规律的代数式或等式,找出规律,并用字母表示 解题的常用方法:观察:将所给的每个数据化为有规律的代数式或等式;猜想:按规律排序这些式子,寻找不变的量和变化的量,并研究变化的量如何变化;归纳:将发现的规律用代数式或等式表示出来;验证:用题中所给数据验证规律的正确性; 3.数式规律中的循环规律:【例4】(2009平谷二模11题)观察下列等式:,通过观察,用你所发现的规律确定的个位数字是 分析:个位数字形成周期数列:2,4,8,6,2,4,8,4个数字一个循环节,2009除以4余1答案:的个位数字是 2 小结:解决循环数列问题的关键是寻找几个数字形成一个循环节【例5】(2010北京中考)12右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A,B,C,D.请你按图中箭头所指方向(即 ABCDCBABC 的方式)从 A 开始数连续的正整数 1,2,3,4,当数到 时,对应的字母是 ;当字母C第次出现时,恰好数到的数是 ;当字母C第次出现时(为正整数),恰好数到的数是 (用含的代数式表示). 分析:前六个字母为一组,后边不断重复,12除以6,由余数来判断是什么字母 每组中C字母出现两次,字母C出现201次就是这组字母出现100次,再加3 字母C出现2n+1次就是这组字母出现n次,再加3,列表如下:答案:B,603,6n+3;熟悉数字规律后就为后续的图形类问题的解决创造了基础,因为求出各图中物体的个数后,问题的研究就由形转化为了数,只要研究数字规律即可得到图形规律下面我们来研究图形规律。第二类:图形规律探究1.图案排列规律型的探索性问题【例6】下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律,写出第n个小房子用了_块石子分析:思路:从图形结构上看:正方形点阵+三角形两边,从而获得:第1个小房子:22+1;第2个小房子:32+3;第3个小房子:42+5;第4个小房子:52+7;,第n个小房子:(n+1)2+2n-1=n2+4n归纳:图形类规律探究题包含形状一样但颜色不同的多个几何图形的图案问题,图形的折叠、旋转问题,同一种图形大小不一排列问题,同一种图形的数量变化问题及数字与几何图形的有机结合排列等问题,通常以确定探索物体的个数和确定图形数量为主要内容出现此类题目的解题关键是观察图形(数字图形或几何图形)的排列方式,明确题目提供素材的层属关系及内涵。对于这类题可总结思路如下: (1)观察图形的排列规律找到基本图形,找到图形之间的变与不变的规律;(2)猜想规律与“序号”间的对应关系,用关于“序号”的数学式子表示出来。(3)验证所归纳的结论。2.图形操作规律型的探索性问题(1)有关线段计算【例7】(2011海淀一模)12如图,矩形纸片中,.第一次将纸片折叠,使点与点重合,折痕与交于点;设的中点为,第二次将纸片折叠使点与点重合,折痕与交于点;设的中点为,第三次将纸片折叠使点与点重合,折痕与交于点, .按上述方法折叠,第n次折叠后的折痕与交于点,则= ,= 第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 分析:此题属于矩形折叠问题。先求特例:由已知可得BD=4,BO1=2,,通过特例发现:BOn与前一项BOn-1有联系,即所以,答案:2,(2)有关面积计算:【例8】(2012朝阳一模)12如图,在正方形ABCD中,AB=1,E、F分别是BC、CD边上点,(1)若CE=CB,CF=CD,则图中阴影部分的面积是 ;(2)若CE=CB,CF=CD,则图中阴影部分的面积是 (用含n的式子表示,n是正整数) 分析:方法一:设BF与DE相交于点M,连接AM,作MNAB于点N,可证AMDAMB,所以阴影部分的面积=.因为在正方形ABCD中,CF=CD=CB,所以tanFBC=,又因为MNCB,所以tanNMB= tanFBC=,所以设NB=x,则NM=2x,AN=2x,所以3x=1,解得x=,所以NM=,所以阴影部分的面积=.同理可得到tanNMB= tanFBC=,所以设NB=x,则NM=nx,AN=nx,所以(n+1)x=1,解得x=,所以NM=,所以阴影部分的面积=.方法二:连接AC,可证点M在线段AC上,AMDAMB,作MNAB于点N,交CD于点P,则MPCD于点P,所以阴影部分的面积=.因为ABCD,所以,所以,因为NP=1,所以,所以阴影部分的面积=.答案:,3.图形操作中的循环规律【例9】边长是1的等边三角形在数轴上从原点起顺时针依次旋转120。图(1)是一次旋转后,图(2)是二次旋转后。若图形旋转10次后,则 点落在x轴上(滞后的点)。这个点表示的数是 。若旋转2013次呢?(1) (2)分析:与此题有关系的量是旋转次数、落在x轴上的点、点所对应的数,各量的关系相对复杂。因此要多转几次,从中发现三个量之间的关系。列表格旋转次数12345678n落轴点ABCABCAB所对应的数23456789n+1从列表中可看出落在轴上的点是A、B、C依次循环,并且循环规律是:旋转3的整倍数次,落点都是C,旋转3的整倍数余1次,落点都是A,旋转3的整倍数余2次,落点都是B,落点所对应的数都是比旋转次数多1,余1,所以旋转10次后,落在x轴上的点是A,它所代表的数是11;余2,所以旋转2013次后,落在x轴上的点是C,它所代表的数是2014.答案:A,11;C,2014;4.平面直角坐标系中点坐标规律探究【例10】(2012海淀一模)12. 在平面直角坐标系xOy中, 正方形A1B1C1O、 A2B2C2B1、A3B3C3B2, ,按右图所示的方式放置. 点A1、A2、A3, 和 B1、B2、B3, 分别在直线y=kx+b和x轴上. 已知C1(1, -1),C2(), 则点A3的坐标是 ;点An的坐标是 . 分析:由对称性知A1(1, 1),A2(),作A1D1x轴于点D1,A2D2x轴于点D2,A3D3x轴于点D3,则A1D1 =1,A2D2=,所以A1B1: A2B1=2:3,又因为A1B1A2A2B2 A3,所以A2B2: A3B2=2:3, 所以A2D2: A3D3=2:3,因为A2D2=,所以A3D3=.由A1和A2坐标可求出直线A1A2的解析式为,所以,点A3的坐标是,同理可知A4D4=,AnDn=,所以点An的坐标是.答案:【例11】(2013北京中考)12. 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线l:y=-x-1,双曲线 。在l上取点A1,过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过点B1作x轴的垂线交l于点A2,请继续操作并探究:过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过点B2作y轴的垂线交l于点A3,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,An,。记点An的横坐标为an,若a1=2,则a2=_,a2013=_;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不能取的值是_ 归纳:本题就很好的考查了考生的分析问题、解决问题的能力,以及阅读学习能力.数学教学活动,特别是课堂教学应引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;给学生足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证. 【例12】(石景山区一模)12已知:如图,在平面直角坐标系中,点、点的坐标分别为,C1B1,将绕原点逆时针旋转,再将其各边都扩大为原来的倍,使,得到将绕原点逆时针旋转,再将其各边都扩大为原来的倍,使,得到,如此下去,得到(1)的值是_;(2)中,点的坐标:_分析:根据题意可知,旋转扩大前后的两个三角形相似,相似比等于,所以m=2.由题意知三角形每旋转六次后得到的三角形与原三角形重叠,因为2011除以6商335余1,所以的位置应在第一象限,与重叠.又因为可看作是以点O为位似中心把放大得到的,相似比为,所以由,根据位似图形坐标特征,可得到.答案:2;()第三类:几何、函数计算类1.几何计算【例13】(2012昌平区一模)12己知ABCD中,AD=6,点E在直线AD上,且DE3,连结BE与对角线AC相交于点M,则= 分析:由于点E的位置不确定,导致分类讨论.当点E在点D的左侧(如图1),由AMECMB知;当点E在点D的右侧(如图2),由AMECMB知.答案:或【例14】(2011大兴区二模)12如图,是两块完全一样的含30角的三角板,分别记作ABC与ABC,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角ABC的斜边AB上,当A=30,AC=10时,则此时两直角顶点C、C间的距离是 .答案: 5分析:由旋转和中点M知,MC=MA=MC=MA=5,连接CC,根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形,所以ACC是直角三角形,且ACC=90,又因为A=A=30,所以CC=AC=5.2、函数计算 【例15】(2013丰台区一模)12我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数的图象与x轴交点的坐标为(,0),所以该函数的零点是.ABOCxDy(1)函数的零点是 ;(2)如图,将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中,且顶点A在x轴上.若正方形ABCD沿轴正方向滚动,即先以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.顶点D的轨迹是一函数的图象,则该函数在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .答案:(1)-5,1 (2)分析:令y=0代入中,得,解方程得,所以函数的零点是-5,1;旋转情况如下图,该函数在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积就是图中的阴影面积,等于.3.阴影问题 【例16】(第12题图)(2011朝阳区二模)12如图,扇形CAB的圆心角ACB=90,半径CA=8cm,D为弧AB的中点,以CD为直径的O与CA、CB相交于点E、F,则弧AB的长为 cm,图中阴影部分的面积是 cm2答案: 4,(16-32)(图2)分析:弧AB所对的圆心角等于90,半径等于等于8,所以弧长等于4;把原图中的两个弓形沿EF翻折,得到图2,则阴影部分的面积等于扇形CAB的面积减去正方形DECF的面积,等于16-32.引申归纳:几何计算忌蛮干,草算巧算是关键,数图结合要分析,估算挑出答案签,割补转化截与接,直接间接来回换。结束语:学生面对12题的常见心理状态是没有信心做,没有耐心做到底,所以需要我们在课堂上多鼓励,抓住学生心理,适当引导,培养学生做综合题的信心和耐心,让学生在课堂上就有成功的体验,这一点很重要课堂上要不吝惜时间,鼓励学生慢慢画图尝试,注重细节的引导,注重数学思想方法的研究,才能使学生在课后有战胜12题的勇气,从而切实提高分析问题、解决问题的能力谢谢倾听!敬请指教! 最后想说:祝大家身体健康、工作顺利!预祝大家在2014中考中取得好成绩!
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