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函数的单调性和奇偶性例1 (1)画出函数y-x2+2x+3的图像,并指出函数的单调区间解:函数图像如下图所示,当x0时,y-x2+2x+3-(x-1)2+4;当x0时,y-x2-2x+3-(x+1)2+4在(-,-1和0,1上,函数是增函数:在-1,0和1,+)上,函数是减函数评析 函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上(2)已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,求实数a的取值范围分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解:f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是x1-a因为在区间(-,1-a上f(x)是单调递减的,若使f(x)在(-,4上单调递减,对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合,即1-a4,a-3评析 这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合例2 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x) - (2)f(x)(x-1) 解:(1)f(x)的定义域为R因为f(-x)-x+1-x-1 x-1-x+1-f(x)所以f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为x-1x1,不关于原点对称所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下:(1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称(2)计算f(-x),并与f(x)比较,判断f(-x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查f(-x)f(x)0是否成立,从而判断函数的奇偶性例3 已知函数f(x) (1)判断f(x)的奇偶性(2)确定f(x)在(-,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+)上呢?证明你的结论解:因为f(x)的定义域为R,又f(-x) f(x),所以f(x)为偶函数(2)f(x)在(-,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+)上为减函数其证明:取x1x20,f(x1)-f(x2) - 因为x1x20,所以x2-x10,x1+x20,x21+10,x22+10,得 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)所以f(x)在(-,0)上为增函数评析 奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反例4 已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+)上是增函数,且f(x)0,试问F(x) 在(-,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论分析 根据函数的增减性的定义,可以任取x1x20,进而判定F(x1)-F(x2) - 的正负为此,需分别判定f(x1)、f(x2)与f(x2)的正负,而这可以从已条件中推出解:任取x1、x2(-,0)且x1x2,则有-x1-x20yf(x)在(0,+)上是增函数,且f(x)0,f(-x2)f(-x1)0 又f(x)是奇函数,f(-x2)-f(x2),f(-x1)-f(x1) 由、得 f(x2)f(x1)0于是F(x1)-F(x2) 0,即F(x1)F(x2),所以F(x) 在(-,0)上是减函数评析 本题最容易发生的错误,是受已知条件的影响,一开始就在(0,+)内任取x1x2,展开证明这样就不能保证-x1,-x2,在(-,0)内的任意性而导致错误避免错误的方法是:要明确证明的目标,有针对性地展开证明活动例5 讨论函数f(x) (a0)在区间(-1,1)内的单调性分析 根据函数的单调性定义求解解:设-1x1x2,则f(x1)-f(x2) - x1,x2(-1,1),且x1x,x1-x20,1+x1x20,(1-x21)(1-x22)0于是,当a0时,f(x1)f(x2);当a0时,f(x1)f(x2)故当a0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a0时,函数在(-1,1)上为减函数评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是:(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值,且x1x2;(2)作差f(x1)-f(x2),并将此差式变形;(3)判断f(x1)-f(x2)的正负,从而确定函数的单调性例6 求证:f(x)x+ (k0)在区间(0,k上单调递减解:设0x1x2k,则f(x1)-f(x2)x1+ -x2- 0x1x2k,x1-x20,0x1x2k2,f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2),f(x)x+ 中(0,k上是减函数评析 函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质因此,若要证明f(x)在a,b上是增函数(减函数),就必须证明对于区间a,b上任意两点x1,x2,当x1x2时,都有不等式f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)类似可以证明:函数f(x)x+ (k0)在区间k,+上是增函数例7 判断函数f(x) 的奇偶性分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号解:由 得函数的定义域为-1,1这时,x-22-xf(x) ,f(-x) f(x)且注意到f(x)不恒为零,从而可知,f(x) 是偶函数,不是奇函数评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性,若不作深入思考,便会作出其非奇非偶的判断但隐含条件(定义域)被揭示之后,函数的奇偶性就非常明显了这样看来,解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误,而且有时还可以避开讨论,简化解题过程函数奇偶性练习一、选择题1已知函数f(x)ax2bxc(a0)是偶函数,那么g(x)ax3bx2cx()A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数2已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,且其定义域为a1,2a,则()A,b0Ba1,b0 Ca1,b0Da3,b03已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x22x,则f(x)在R上的表达式是()Ayx(x2)By x(x1)Cy x(x2)Dyx(x2)4已知f(x)x5ax3bx8,且f(2)10,那么f(2)等于()A26B18C10D105函数是()A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数6若,g(x)都是奇函数,在(0,)上有最大值5,则f(x)在(,0)上有()A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3二、填空题7函数的奇偶性为_(填奇函数或偶函数)8若y(m1)x22mx3是偶函数,则m_9已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若,则f(x)的解析式为_10已知函数f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)0的所有实根之和为_三、解答题11设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1m)f(m),求实数m的取值范围12已知函数f(x)满足f(xy)f(xy)2f(x)f(y)(xR,yR),且f(0)0,试证f(x)是偶函数13.已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x32x21,求f(x)在R上的表达式14.f(x)是定义在(,55,)上的奇函数,且f(x)在5,)上单调递减,试判断f(x)在(,5上的单调性,并用定义给予证明15.设函数yf(x)(xR且x0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1x2)f(x1)f(x2),求证f(x)是偶函数函数的奇偶性练习参考答案1解析:f(x)ax2bxc为偶函数,为奇函数,g(x)ax3bx2cxf(x)满足奇函数的条件答案:A2解析:由f(x)ax2bx3ab为偶函数,得b0又定义域为a1,2a,a12a,故选A3解析:由x0时,f(x)x22x,f(x)为奇函数,当x0时,f(x)f(x)(x22x)x22xx(x2)即f(x)x(|x|2)答案:D4解析:f(x)8x5ax3bx为奇函数,f(2)818,f(2)818,f(2)26答案:A5解析:此题直接证明较烦,可用等价形式f(x)f(x)0答案:B6解析:、g(x)为奇函数,为奇函数又f(x)在(0,)上有最大值5,f(x)2有最大值3f(x)2在(,0)上有最小值3,f(x)在(,0)上有最小值1答案:C7答案:奇函数8答案:0解析:因为函数y(m1)x22mx3为偶函数,f(x)f(x),即(m1)(x)22m(x)3(m1)x22mx3,整理,得m09解析:由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,可得,联立,答案: 10答案:0 11答案:12证明:令xy0,有f(0)f(0)2f(0)f(0),又f(0)0,可证f(0)1令x0,f(y)f(y)2f(0)f(y)f(y)f(y),故f(x)为偶函数13解析:本题主要是培养学生理解概念的能力f(x)x32x21因f(x)为奇函数,f(0)0当x0时,x0,f(x)(x)32(x)21x32x21,f(x)x32x21因此,点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力14解析:任取x1x25,则x1x25因f(x)在5,上单调递减,所以f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2),即单调减函数点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化15解析:由x1,x2R且不为0的任意性,令x1x21代入可证,f(1)2f(1),f(1)0又令x1x21,f1(1)2f(1)0,(1)0又令x11,x2x,f(x)f(1)f(x)0f(x)f(x),即f(x)为偶函数点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1x21,x1x21或x1x20等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可8
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