广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷理(含解析).doc

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知命题p：xR，使tanx=1，则下列关于命题p的描述中正确的是（）AxR，使tanx1BxR，使tanx1CxR，使tanx1DxR，使tanx12（5分）在下列函数中，最小值是2的是（）ABCDy=5x+5x3（5分）等差数列an中，S10=120，那么a5+a6的值是（）A12B24C36D484（5分）空间直角坐标系Oxyz中，已知点B是点A（3，7，4）在xOz平面上的射影，则2等于（）A（9，0，16）B25C5D135（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边若A=，b=1，ABC的面积为，则a的值为（）A1B2CD6（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A2B3C4D57（5分）已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（）A6B6C12D128（5分）设定点F1（0，3）、F2（0，3）动点P满足条件|PF1|a=|PF2|（a0）则点P的轨迹是（）A椭圆B线段C不存在D椭圆或线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9（5分）函数y=的定义域为10（5分）一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本已知乙层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为11（5分）椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为12（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是13（5分）设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，yR，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nN*），则数列an的前n项和Sn=14（5分）对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为三、解答题.本大题共6小题，满分80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.15（12分）已知f（x）=（x1）（1）求不等式f（x）2x+1的解集；（2）求函数f（x）的最小值16（12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，SA的中点（1）求直线NB与MC所成的角；（2）求平面SAD与平面SMC所成锐二面角的余弦值17（14分）已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（），nN*（1）求数列an的通项公式；（2）令Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1，求满足Tn60的最小正整数n的值18（14分）已知抛物线C的方程为y2=4x，点M（4，0），过点M且垂直于x轴的直线l交抛物线于A、B两点设P是抛物线上异于A、B的任意一点，PQy轴于点Q，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2（1）求的最小值；（2）求证：|为定值，并求出该定值19（14分）已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都有bn+1bn成立20（14分）在ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知命题p：xR，使tanx=1，则下列关于命题p的描述中正确的是（）AxR，使tanx1BxR，使tanx1CxR，使tanx1DxR，使tanx1考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据命题“xR，使tanx=1”是特称命题，其否定为全称命题，将“”改为“”，“=“改为“”即可得答案解答：解：命题“xR，使tanx=1”是特称命题命题的否定为：xR，使tanx1故选C点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题2（5分）在下列函数中，最小值是2的是（）ABCDy=5x+5x考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：先检验基本不等式的三个条件：一正，二定，三相等的条件是否满足，然后在利用基本不等式即可求解最小值解答：解：A：当x0时，2，最小值不是2，错误B：令t=，y=t+在考点：空间两点间的距离公式 专题：空间位置关系与距离分析：根据点B是点A（3，7，4）在xOz平面上的射影，得到B在坐标平面xOz上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，写出B的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果解答：解：点B是点A（3，7，4）在xOz平面上的射影，B在坐标平面xOz上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，B的坐标是（3，0，4，2=32+（4）2=25，故选：B点评：本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题，本题的运算量比较小，是一个必得分题目5（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边若A=，b=1，ABC的面积为，则a的值为（）A1B2CD考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题分析：先利用三角形面积公式求得c，最后利用余弦定理求得a解答：解：由已知得：bcsinA=1csin60=c=2，则由余弦定理可得：a2=4+1221cos60=3a=故选D点评：本题主要考查了余弦定理的应用和三角形面积公式的应用解题的关键是通过余弦定理完成了边角问题的互化6（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A2B3C4D5考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案解答：解：依题意可知抛物线的准线方程为y=1，点A到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D点评：本题主要考查了抛物线的定义的运用考查了学生对抛物线基础知识的掌握属基础题7（5分）已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（）A6B6C12D12考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，通过读图得到答案解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+4y，得y=x+，显然图象过（3，3）时，z最小，Z最小值=6，故选：A点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题8（5分）设定点F1（0，3）、F2（0，3）动点P满足条件|PF1|a=|PF2|（a0）则点P的轨迹是（）A椭圆B线段C不存在D椭圆或线段考点：椭圆的定义 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将不等式|PF1|a=|PF2|移项后，利用基本不等式求出“|PF1|+|PF2|”的范围，利用椭圆的定义进行判断解答：解：由题意得，|PF1|a=|PF2|（a0），所以|PF1|+|PF2|=a+2=6当且仅当a=时取等号，此时a=3，则|PF1|+|PF2|6，因为定点F1（0，3）、F2（0，3），所以|F1F2|=6，当|PF1|+|PF2|=6时，点P的轨迹是线段F1F2；当|PF1|+|PF2|6时，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，故选：D点评：本题考查椭圆的定义，以及基本不等式的应用，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9（5分）函数y=的定义域为（，1解答：解：由题意得椭圆 +=1（ab0）的离心率e=，所以 =所以 所以双曲线的离心率 =故答案为：点评：解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是2015届高考考查的重点12（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是（，）考点：空间向量运算的坐标表示 专题：空间向量及应用分析：根据题意，设出点Q的坐标，求出的表达式，计算取最小值时点Q的坐标解答：解：根据题意，点Q在直线OP上运动，=（1，1，2）；设Q（t，t，2t），=（t1，t2，2t3）（t2，t1，2t2）=（t1）（t2）+（t2）（t1）+（2t3）（2t2）=6t216t+10，当t=时，取得最小值此时点Q的坐标是（，）故答案为：（，）点评：本题考查了空间向量的共线问题以及数量积的应用问题，是基础题目13（5分）设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，yR，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（nN*），则数列an的前n项和Sn=1考点：数列的求和 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：根据函数的关系式，求出数列an的通项公式，判断数列是等比数列，求出它的前n项和Sn解答：解：令y=x，f（x）f（x）=f（2x），f（2x）=2，xR；又a1=，an=f（n）（nN*），a1=f（1）=，an=f（n）=n=；数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，其前n项和为Sn=故答案为：1点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了等比数列的定义与通项公式、前n项和公式的应用问题，是综合性题目14（5分）对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（3，1）（1，2）考点：归纳推理；一元二次不等式的应用 专题：探究型分析：观察发现ax2+bx+c0将x换成x得a（x）2+b（x）+c0，则解集也相应变化，x（1，2），则x（2，1）不等式将x换成得不等式，故，分析可得答案解答：解：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），发现x（1，2），则x（2，1）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式可看成前者不等式中的x用代入可得，则，则x（3，1）（1，2），故答案为（3，1）（1，2）点评：本题考查了类比推理，通过已知条件发现规律，属于基础题三、解答题.本大题共6小题，满分80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.15（12分）已知f（x）=（x1）（1）求不等式f（x）2x+1的解集；（2）求函数f（x）的最小值考点：基本不等式在最值问题中的应用；其他不等式的解法 专题：综合题；不等式的解法及应用分析：（1）由f（x）2x+1得：，结合x1，即可求不等式f（x）2x+1的解集；（2）换元，利用基本不等式求函数f（x）的最小值解答：解：（1）由f（x）2x+1得：，整理得：x2x10，（3分）解得：，（5分）又x1，所以不等式的解集为：（6分）（2）设x1=t，x1，t0，且x=t+1（7分）（11分）当且仅当t=1即x=2时取“=”号，故f（x）的最小值为4（12分）点评：本题考查解不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，SA的中点（1）求直线NB与MC所成的角；（2）求平面SAD与平面SMC所成锐二面角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，由=0，利用向量法求出直线NB与MC所成的角为900（2）求出平面SAD的一个法向量和平面SMC的法向量，由此利用向量法能求出平面SAD与平面SMC所成角的余弦值解答：（本小题满分12分）解：（1）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），（1分）M（1，0），N（）=（1，0），=（），（3分）=1（）+（）（1）+01=0，直线NB与MC所成的角为900（6分）（2）解：由题意平面SAD的一个法向量是=（0，1，0），（5分）设平面SMC的法向量为=（a，b，c），又=（1，2），=（0，1，2），令c=1，则b=2，a=1，故取=（1，2，1），（8分）于是cos，n=故平面SAD与平面SMC所成角的余弦值为（12分）点评：本题考查线线角的求法，二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题17（14分）已知函数f（x）=，数列an满足a1=1，an+1=f（），nN*（1）求数列an的通项公式；（2）令Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1，求满足Tn60的最小正整数n的值考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意化简已知的an+1=f（），求出数列an的递推公式，根据等差数列的定义即可证明数列an是等差数列，再由等差数列的通项公式求出an；（2）由（1）和等差数列的性质判断出数列an中偶数项也构成等差数列，并求出公差和首项，利用等差数列的前n项公式化简Tn，由条件列出不等式求出解集，最后求出满足Tn60的最小正整数n的值解答：解：（1）由题意得，f（x）=，所以，即，所以an是以为公差的等差数列，又a1=1，所以（6分）（2）由（1）可得，a2、a4、a2n、成以为公差、为首项的等差数列，Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a2n1a2n+1）=（10分）=（12分）由Tn60得：，2n2+3n1350，且n0，解得：，故n的最小值为8（14分）点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的应用，以及数列递推公式化简，是数列与不等式的综合题，属于中档题18（14分）已知抛物线C的方程为y2=4x，点M（4，0），过点M且垂直于x轴的直线l交抛物线于A、B两点设P是抛物线上异于A、B的任意一点，PQy轴于点Q，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2（1）求的最小值；（2）求证：|为定值，并求出该定值考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设P（x0，y0），则，利用两点之间的距离公式可得：=，利用二次函数的单调性即可得出（2）联立，解出可得A（4，4），B（4，4）再利用斜率计算公式即可证明解答：解：（1）设P（x0，y0），则，=，当时，即x0=8时，故（2）证明：联立，得，A（4，4），B（4，4）则为定值点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、二次函数单调性、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都有bn+1bn成立考点：数列递推式 专题：计算题分析：（1）本题由条件Sn+1+Sn1=2Sn+1，借助项与和关系SnSn1=an，可确定数列为等差数列，进而求出数列an的通项公式an=n+1（2）由an通项写出bn的通项，欲证明数列为递增数列，可借助作差法证明bn+1bn0即可，进行整理变形即转化为对（1）n12n1（nN*）恒成立的证明借此讨论N的奇数偶数两种情况就可求出的范围，再综合为非零的整数即可确定的具体取值解答：解：（1）由已知，（Sn+1Sn）（SnSn1）=1（n2，nN*），即an+1an=1（n2，nN*），且a2a1=1数列an是以a1=2为首项，公差为1的等差数列an=n+1（2）an=n+1，bn=4n+（1）n12n+1，要使bn+1bn恒成立，bn+1bn=4n+14n+（1）n2n+2（1）n12n+10恒成立，34n3（1）n12n+10恒成立，（1）n12n1恒成立（）当n为奇数时，即2n1恒成立，当且仅当n=1时，2n1有最小值为1，1（）当n为偶数时，即2n1恒成立，当且仅当n=2时，2n1有最大值2，2即21，又为非零整数，则=1综上所述，存在=1，使得对任意nN*，都有bn+1bn点评：本题主要考查了数列的通项公式的求法，并借助数列增减性的证明方法求通项中参变量的范围，其中在证明（1）n12n1恒成立这一过程属于难点学生不易将n分为奇数和偶数进行分情况讨论后取其交集，易出现思路不清20（14分）在ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围考点：简单线性规划；二倍角的余弦 专题：三角函数的求值；不等式的解法及应用分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，然后利用线性规划知识求得d的取值范围解答：解：（1）cos2A+2sin2=1，12sin2A+2sin2=1，sinA=，即A=，3A=，A=由余弦定理得：BC2=AC2+AB22ACABcosA=22+12221cos=3，BC=；（2）由（1）知，ABC为以C为直角的直角三角形，如图，设P到AB的距离为m，由等积法可得：，得，化目标函数为，由题意得：d在P与C点重合时最小，为；当直线过点B（0，）时d有最大值为d的取值范围为点评：本题考查了二倍角的余弦公式的应用，考查了函数最值的求法，体现了数学转化思想方法，属有一定难度题目- 15 -