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2011年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设函数,则实数=A-4或-2 B-4或2 C-2或4 D-2或22把复数的共轭复数记作,i为虚数单位,若=A3-i B3+i C1+3i D33若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是4下列命题中错误的是A如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面,平面,那么D如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面5设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是A14 B16 C17 D196若,则A B C D7若为实数,则“”是的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则A B C D9有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率A B C D10设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是A=1且=0 BC=2且=2 D =2且=3非选择题部分(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11若函数为偶函数,则实数 = 。12若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k的值是 。13设二项式(x-)6(a0)的展开式中X的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是 。14若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,则与的夹角的取值范围是 。15某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙丙公司面试的概率为,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若,则随机变量X的数学期望 16设为实数,若则的最大值是 。17设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 三、解答题;本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18(本题满分14分)在中,角所对的边分别为a,b,c已知且()当时,求的值;()若角为锐角,求p的取值范围;19(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项为a(),设数列的前n项和为,且,成等比数列(1)求数列的通项公式及(2)记,当时,试比较与的大小20(本题满分15分)如图,在三棱锥中,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2()证明:APBC;()在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。21(本题满分15分)已知抛物线:,圆:的圆心为点M()求点M到抛物线的准线的距离;()已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线,交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂直于AB,求直线的方程22(本题满分14分)设函数 (I)若的极值点,求实数; (II)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立,注:为自然对数的底数。参考答案一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。BADDBCACBD二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。110 125 132 14 15 16 17三、解答题:本大题共5小题,共72分。18本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。 (I)解:由题设并利用正弦定理,得解得 (II)解:由余弦定理,因为,由题设知19本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想。满分14分。 (I)解:设等差数列的公差为d,由得因为,所以所以(II)解:因为,所以因为,所以当,即所以,当当20本题主要考查空是点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一: (I)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz则,由此可得,所以,即(II)解:设设平面BMC的法向量,平面APC的法向量由得即由即得由解得,故AM=3。综上所述,存在点M符合题意,AM=3。方法二:(I)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得又平面ABC,得因为,所以平面PAD,故(II)解:如图,在平面PAB内作于M,连CM,由(I)中知,得平面BMC,又平面APC,所以平面BMC平面APC。在在,在所以在又从而PM,所以AM=PA-PM=3。综上所述,存在点M符合题意,AM=3。21本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: 所以圆心M(0,4)到准线的距离是(II)解:设,则题意得,设过点P的圆C2的切线方程为,即则即,设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以将代入由于是此方程的根,故,所以由,得,解得即点P的坐标为,所以直线的方程为22本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用,不等式等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。 (I)解:求导得因为的极值点,所以解得经检验,符合题意,所以(II)解:当时,对于任意的实数a,恒有成立;当时,由题意,首先有,解得,由(I)知令且又内单调递增所以函数内有唯一零点,记此零点为从而,当时,当当时,即内单调递增,在内单调递减,在内单调递增。所以要使恒成立,只要成立。由,知(3)将(3)代入(1)得又,注意到函数内单调递增,故。再由(3)以及函数内单调递增,可得由(2)解得,所以综上,a的取值范围是
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