高考数学题与辩证法.doc

高考数学题与辩证法例谈高考解几题的定点、定线、定值问题梁关化，2015，5，22高考数学解几题中有一类线过定点、点在定线上、变量取定值的问题。这类题考查了变与不变的辩证思想。现实中，变与不变是对立统一的辩证关系，往往是变中有不变，不变中有变。线在变，但它却始终经过一个确定的点；点在变，但它却始终在一条确定的线上；变量在变，但它最终取一个确定的值。但不变是相对的，是在一定的条件下的不变；变是绝对的。辩证法来自于哲学。哲学的定理既适用于社会科学，又适用于自然科学。几何学中有很多变中有不变的问题，最著名的圆周率就是一个经典（不管圆的直径变得多大，圆的周长与直径的比都不变，是一个常数）。解决线过定点的问题思路是：线经过的点与线的参数无关；而解决点在定线上的问题思路是：求点的轨迹是定线；解决变量取定值的问题是考虑它与引起它变化的量的取值无关。下面以2014年两道高考题为例，谈谈它们的解法。1（2014年山东高考理科题）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（）求的方程；（解略，答案是：）（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）（略）（）（）剖析：由于点A，E为动点，故直线AE也是一动直线。如何建立其方程？若知点A，E的坐标即可。先设点A坐标，点E坐标再利用已知条件用点A坐标表示，则直线方程的参数就是点A坐标，又点A在抛物线上，参数就只有一个了。如果有一点的坐标不含参数，且满足直线AE的方程，问题即解。下面是试题的详解。2（2014年江西文科题）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.（1） 证明：动点在定直线上；（2） 作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.剖析：（1）点D是直线AO与BD的交点，而点A，点B又是过定点M（0，2）的动直线与抛物线的交点，故点D的变动随过定点M（0，2）的动直线的变动而变动，设过定点M（0，2）的动直线方程，因其与抛物线相交，A，B为交点，再把A，B的坐标也设出来，并把直线AO与BD的方程也设出来，先联立过定点M（0，2）的动直线方程与抛物线方程，不一定直接去求点A，B的坐标，可用韦达定理求出它们的关系，再解直线AO与BD的方程组成的方程组，求出点D的坐标，再消去有关参数，最后得出动点D的轨迹方程，若方程不含参数，问题得解。（2） 任一切线可设为y=kx+b(这里的k与（1）中k的不一样)，利用其与抛物线相切可得k，b的一个关系式。再与直线y=2和y=-2联立求出点，的坐标，算出式子的值，若与k，b无关，问题得解。下面是试题的详解。解：根据题意可设AB方程为y=kx+2,代入，得， 即，设A，B，则有：=-8， 直线AO的方程为；BD的方程为，联立解得交点D的坐标为 ，注意到=-8及，则有y=-2， 因此D点在定直线y=-2上（）（3） 依据题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=kx+b(这里的k与（1）中k的不一样)，代入得,即，由=0得 化简整理得， 故切线l的方程可写为.分别令y=2、y=-2得的坐标为， 则即为定值8.