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第一章 误差1 问3.142，3.141，分别作为的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。解 =3.141 592 65记x1=3.142，x2=3.141，x3=.由- x1=3.141 59-3.142=-0.000 40知 因而x1具有4位有效数字。由- x2=3.141 59-3.141=-0.000 59知 因而x2具有3位有效数字。由-=3.141 59 -3.142 85=-0.001 26知 因而x3具有3位有效数字。2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。解 a1是1到9间的数字。设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。解 设取n位有效数字，由sin1.2=0.93，故a1=9。 解不等式知取n=4即可满足要求。5 计算，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。解 0.131 810-2-0.131 610-2=0.210-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算： 就得到4位有效数字的结果。此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算时，应先把算式变形为 再计算。又例如，当x充分大时，应作变换6 计算，取，采用下列算式计算：（1）；（2）；（3）；（4）.问哪一个得到的结果最好？解 显然所以（1）（2）（3）（4），这4个算式是恒等的，但当取计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取时，有|x|4|ac|的情形时，有，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.11010+0.000 000 00011010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.通过类似的分析可得 所以，求得的两个根分别为 显然，根x2是严重失真的。为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：，在计算机上采用如下公式： 其中，sgn（b）是b的符号函数，当b0时sgn（b）=1；当b0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。8 当N充分大时，如何计算分析 函数的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tan1=N+1, tan2=N，则由,得 就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用计算积分的值较好。9 计算积分.分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。解 利用分部积分法，有得递推公式： （1） 利用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值时有大小为的误差，即则由递推公式（1）得显然初始数据的误差是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！3.629106,，这表明I10时已把初始误差扩大了很多倍，从而的误差已把I10的真值淹没掉了，计算结果完全失真。但如果递推公式（1）改成 于是，在从后往前计算时，In的误差减少为原来的，所以，若取n足够大，误并逐步减小，显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。10 为了使计算 的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？解 设在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。12为使的近似值的相对误差小于0.1，问查开方表时，要取几位有效数字？13利用四位数学用表求x=1-cos2的近似值，采用下面等式计算：（1）1-cos2（2）2sin21问哪一个结果较好？14求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知）。15数列满足递推公式 若取(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x0计算到x10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？16如果近似值的相对误差限小于，证明：这个数具有n位有效数字。第二章 插值法与数值微分1 已知，试利用插值法近似计算。分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange插值，也可利用三点二次Newton插值，它们所得结果相同。解 利用三点二次Lagrange插值。记，则的二次Lagrange插值多项式为 因为， 所以 2 已知的函数表xi012yi8-7.5-18求函数在0,2之间的零点的近似值。分析 一般情况下，先求出在0，2上的插值函数，然后求的零点，把此零点作为的近似零点。特别地，若的反函数存在，记为，那么求的零点问题就变成求函数值的问题了，利用插值法构造出的插值函数，从而求出的零点的近似值，这类问题称为反插值问题，利用反插值时，必须注意反插值条件，即函数必须有反函数，也即要求单调。本题是严格单调下降排列，可利用反插值法。解 将原函数表变成反函数表yi8-7.5-18xi012利用三点二次Lagrange插值，由上反函数表构造的反函数的二次Lagrange插值多项式。令，则的二次Lagrange插值多项式为 函数的近似零点为 3 设，试用Lagrange插值余项定理写出以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。解 设以-1，0。1，2为插值节点的三次Lagrange插值多项式为，由Lagrange插值余项定理有 因而 4 设是以为节点的Largange插值基函数，试证：（1）.（2）.（3）. （4） 分析 本题是关于Lagrange插值基函数的性质问题，观察要证明的结论，应考虑对常数1和进行插值入手，通过插值余项为0得到结论。证 （1）设,则以为插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而 即 （2）设则以为插值节的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即（2）设，则以为插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理 从而 即（3）将按二项式展开，得 代入左端，得 利用（2）的结论，有（4）当时，由（2）的结论知 当时，令，有以为插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即 令，有 5 设，且，求证 分析 本章内容是代数插值，而题设，易知若用线性插值，线性插值函数只能为0，且误差为，这样利用余项估计式可直接把与联系起来。证 以a,b为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为 线性插值余项为 从而 由于在处取最大值，故 6 证明：由下列插值条件00.511.522.5-1-0.7501.2535.25所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题？分析 本题是关于Lagrange插值问题，由已知数据表构造Lagrange插值多项式便可得出结论。解 令 以为插值节点作的二次插值多项式，则 易验证，因而满足插值条件 （1）的Lagrange插值多项式为。由插值多项式的存在惟一定理知满足条件（1）的5次插值多项式是存在且惟一的，但该5次多项式并不一定是真正的5次多项式，而是次数5的多项式。7 对于任意实数以及任意正整数，多项式 是次多项式，且满足。本题说明了什么问题？解 本题说明由两个插值条件构造大一1次的插值多项式，答案是不惟一的，类似地，由n+1插值条件构造大于n次的插值多项式，答案也是不惟一的。8 我们用sin30=0.5,sin45=0.7071,sin60=0.8660，作Lagrange二次插值，并用来求sin40的近似值，最后根据插值余项定理估计此误差。分析 本题显然是利用Lagrange插值余项定理解 设 令 其插值余项为从而 9 已知对应的函数值为，作三次Newton插值多项式，如再增加时的函数值6，作四次Newton插值多项式。分析 本题是一道常规计算题解 首先构造差商表一级差商二阶差商三阶差商0235 1 325 1 -13/2-2/35/63/10三次Newton插值多项式为 增加作差商表一级差商二阶差商三阶差商四级差商02356 1 3256 1 -13/21-2/35/6-1/63/10-1/4-11/120四次Newton插值多项式为 10 已知，求及分析 本题是一个多项式，故应利用差商的性质。解 由差商与导数之间的关系及，知 11 若有n个相异的实根，则有 分析 有n个相异实根，故可表示成，考察本题要证明的结论和的特点，应考虑利用差商可表示为函数值的线性组合这一性质。证 由于是的n个互异的零点，所以 （1）记 （2） 由（1），（2）得 12 设，且互不相同，证明 并写出的n次Newton插值多项式。分析 利用差商的定义可证得证 用数学归纳法证明当时 假设当时，结论成立，即有那么 即当时，结论成立。由数学归纳法知对任意，结论是成立的。以为插值节点的n次Newton插值多项式为13 设定义 证明：。分析 本题应利用差商的概念和微分中值定理将差商与导数联系起来。证 由微分中值定理有 所以 14 设，且，试证 其中为等距节点步长。分析 由于是多项式，因此应考虑用差商的性质和差商与差分的联系来证明。证 记 所以 15 已知函数的函数表0.00.10.20.30.40.51.001.321.682.082.523.00试列出相应的向前差分表，并写出Newton向前插值公式。分析 这是常规计算题，按照公式计算即可。解 构造向前差分表0.00.10.20.30.40.51.001.321.682.082.523.000.320.360.400.440.480.040.040.040.040.000.000.00的Newton向前插值公式为 16 给出的数据表0.40.50.60.70.80.9-0.916 29-0.693 147-0.510 826-0.356 675-0.223 144-0.105 361（1）用线性插值及二次插值计算1n0.54的近似值。（2）用Newton向后插值公式求1n0.78的近似值，并估计误差。分析 本题属于常规计算题，按照公式计算即可。解 （1）线性插值，取，则 =-0.620 219二次插值，取，则 =-0.616 838 2也可取进行二次插值得 1n0.540.615 319 8（2）记，构造向后差分表0.40.50.60.70.80.9-0.916 291-0.693 147-0.510 826-0.356 675-0.223 144-0.105 3610.223 1440.182 3210.154 1510.133 5310.117 783-0.40 823-0.028 170-0.20 620-0.015 7480.012 6530.007 5500.004 872-0.005 103-0.002 6780.002 425由Newton向后插值公式 由于，当，故 =-0.223 144+0.133 531(-0.2) 0.248 453由插值余项 知 17 已知sin30=0.5，sin45=0.7071，sin(30)=cos30=0.8660，sin(45)=cos45=0.7071，求sin40。分析 本题不仅给出两点上的函数值，而且还给出了导出数值，因此应利用两点三次Hermite插值。解 利用两点三次Hermite插值 =0.6428 18 已知自然对数1nx和它的导数1/x的数表0.400.500.600.70-0.916 291-0.693 147-0.356 675-0.223 1442.502.001.431.25（1）利用Lagrange插值公式，求1n0.60。（2）利用Hermite插值公式，求1n0.60。分析 本题属常规计算题，按有关公式计算即可。解 记。首先列表计算0-0.166 667-15.833 33310.666 6671.666 66720.666 6671.666 6673-0.166 66715.833 333 （1）利用Lagrange插值公式，有 =-0.166 667(-0.916 291)+0.666 667(-0.693 147) +0.666 667(-0.356 675)+(-0.166 667)(-0.223 144) =-0.509 976（2）利用Hermite插值公式，有从而-0.510 889。注：本题的真值-0.510 825 623，可以看出Hermite插值所得结果要比Lagrange插值结精确得多。19 设已知上三个互异的节点，函数上具有连续的四阶导数，而是满足下列条件的三次多项式： （1）写出的表达式。（2）证明：分析 这是带导数的插值问题，但又不是Hermite插值问题，要求我们灵活运用插值方法，解决这类问题的方法较多，常用的有以下两种解法。（1）解法一 用插值法加待定系数法来做。设为满足插值条件的二次式，由插值条件可设的形式为 （1）其中A为待定系数，显然由（1）确定的满足，待定系数A可由插值条件来确定，为此对（1）式两边求导数 令，并利用插值条件有 于是 从而 解法二 用插值基函数来构造。首先构造四个三次插值基函数，使其满足条件 由所满足的条件，可设，其中A为待定系数。由，得，故有 同理可得 由满足的条件，可设，其中C为待定系数，由，得，故有 下面求满足条件，设，其中为待定系数，利用得 由此得 所以易验证（2）证 当为插值节点中任一点时，结论显然成立，下面设异于。由于满足 故可设，其中K为依赖于 的待定系数。固定，作辅助函数 显然上有四个零点，其中为二重零点。利用Rolle定理，知在组成的三个小区间内至少各有一个零点，记为，加上上至少有4个零点，反复利用Rolly定理：内至少有3个零点。内至少有2个零点。内至少有1个零点，即存在一点，使。由于，从而求得，所以 20 对于给定插值条件，试分别求出满足下列边界条件的三次样条函数：（1）（2）01230110分析 这是三次样条插值问题，给出了两种边界条件，我们按样条插值的求解方法即能求得问题的解。解 记 计算二阶差商一阶差商二阶差商01230123011010-1- 三次样条插值函数的表达式为 （1）（1） 关于的方程组为=解得将数据（2）代入（1）得所求三次样条插值函数为：当时， 当时， 当时， （2） （3）关于的方程组为 解得 （4）将（3）和（4）代入（1）得所求三次样条插值函数为：当时， 当时， 当时， 21 求超定方程组 （1） 的最小二乘解，并求误差平方和。分析 求解超定方程组，可直接求解正则方程组。解 方程组（1）写成矩阵形式为 正规方程组为即 解得误差平方和 =0.340 6622 已知的近似值。23有下列正弦数表0.50.60.70.479 430.564 640.644 22试分别用线性插值与二次插值求sin0.578 91的近似值，并估计误差。24利用反插值法求方程在区间内的根。25设，试用Lagrange插值余项定理写出以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。26证明：对于以为节点的一次插值多项式，插值误差为27若，求。28对任意的整数，证明恒等式 29给定数据表1246741011求4次Newton插值多项式，并写出插值余项。30有如下列表函数0123436111827试写出此列表函数的向前差分表，并写出Newton向前插值公式31已知函数的函数表0.00.10.20.30.40.51.001.321.682.082.523.00试列出相应的向后差分表，并写出Newton向后插值公式，用其估值。32证明：（1）。（2）。33已知单调连续函数的下列数据：-1.10.01.22.1-2.20-1.101.002.10用插值法计算当为何值时，。34给出的等距节点函数表，如用线性插值计算的近似值，使其误差不大于，则函数表的步长应取多少？35设为互不相同的节点，为已知函数，求不超过二次的多项式，使满足条件： 并估计误差。36求一个次数3的多项式，满足插值条件：12324123并估计误差。37求一个三次多项式，使在节点上满足条件，并估计余项。38已知函数的函数表如下：01450-2-8-4在区间0，5上求满足条件的三次样条插值函数，并分别计算在处的值。
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