高中数学一元二次不等式的解法.doc

一元二次不等式的解法的应用不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:(1)0f(x)g(x)0;(2) 0f(x)g(x)0;(3) 0f(x)g(x)0且g(x)0;(4) 0f(x)g(x)0且g(x)0.【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h）推进新课 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？因为=1000，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为x|50x60.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.知识拓展【例3】 解不等式(x-1)(x+4)0.思路一：利用前节的方法求解.思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组与的解集的并集，即 x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式：解：(x-1)(x+4)0或x或-4x1-4x1，原不等式的解集是x|-4x1.思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4），（-4，1），（1，+）.分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x1.点评：此法叫区间法，解题步骤是：将不等式化为(x-x1)(x-x 2)(x-xn)0(0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x2)(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.练习1：解不等式：(1)x 2-5x-60；(2)(x-1)(x+2)(x-3)0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)0.答案：(1)x|x2或x3；(2)x|-2x1或x3；(3)x|-1x0或2x3.教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为-2，1，3；列表如下：（-，-2）（-2，1）（1，3）（3，+）x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为x|-2x1或x3.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y0或y0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-x n)0(0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.这种方法叫数轴标根法.练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）（3）.教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)0.解：将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)0；求得相应方程的根为-1，0，2，3；在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：原不等式的解集为x|-1x0或2x3.合作探究【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：原不等式的解集为x|-1x2或2x3.说明：3是三重根，在C处穿三次，2是二重根.在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)0.解：将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；在数轴上表示各根并穿线，如右图：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如，等都是分式不等式.由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式.【例5】 解不等式：.解法一：化为两个不等式组来解.0或x或-7x3-7x3，原不等式的解集是x|-7x3.解法二：化为二次不等式来解.-7x3，原不等式的解集是x|-7x3.点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是x|-7x3.【例6】 解不等式：.解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：原不等崏的解集为x|-1x1或2x3.练习：解不等式.答案：x|-13x-5.方法引导讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析閮题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体伜用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层呂铺设的作用，激起学生学习的兴趣勇探索的精神.课堂小结1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 (或的形式，转化为，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.布置作业完成第90页习题3.2A组第5、6题，习题3.2B组第4题.板书设计一元二次不等式的解法的应用（一）例题例题 练习一元高次不等式解题步骤备课资料备用例题【例1】 已知关于x的方程2x 2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围.探路:列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组.解:已知方程有两个负根的等价条件是m或m1.m的取值范围是（, 1，）.点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故0，因此列成0是错误的.又若只列成0也是错误的，0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x20,x 1+x 20的条件.2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用.【例2】 已知A=x|x2-3x+20，B=x|x2-(a+1)x+a0.（1）若B A，求a的取值范围；（2）若AB是单元素集合，求a的取值范围.探路:先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值范围.解:解不等式x2-3x+20得A= 1，2；而B=x|(x-1)(x-a)0.（1）若BA，如图（1），得a的取值范围是1a2.（1）（2）若AB是单元素集合，如图（2），AB只能是集合1，（2）a的取值范围是a1.点评:集合B的最简表示只能是B=x|(x-1)(x-a)0，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B=1，也不该表示为区间.3.2.3一元二次不等式的解法的应用(二)从容说课上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系以及解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和二次不等式解法与一元二次函数的关系以及一元二次不等式解法、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.又讲解了分式不等式和高次不等式的解法.本节课通过一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.教学重点 1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.二、过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.教学过程导入新课师 上节课我们已经知道，不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.解分式不等式，切忌去分母.生 板演：1.解不等式：-x2+5x6(x|2x3).2.解不等式：x2-4x+40(x|xR,x2).3.解不等式：x2+2x+30(=-80,x).4.解不等式：（x|-13x-5）.师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.推进新课师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)b(x+ab).生 将原不等式展开，整理得(a-b)xab(a+b).讨论：当ab时，,x(,+).当a=b时，若a=b0时x；若a=b0时xR.当ab时，,x(-, ).师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)0.生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)0，若a-(a-1),即a,则xa或a1-a.x(-,1-a)(a,+).若a=-(a-1),即a=,则(x-12)20.xx|x,xR.若a-(a-1),即a,则xa或x1-a.x(-,a)(1-a,+).师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)0.生 将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)0.相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？讨论：（）当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3x4或x-a.（）当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3x-a或x4.（）当-a-3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-ax-3或x4.（）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|x-3.()当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|x4.师 变题：解关于x的不等式2x2+kx-k0.师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.生 =k2+8k=k(k+8).(1)当0,即k-8或k0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.所以不等式2x2+kx-k0的解集是x|;(2)当=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2x2+kx-k0的解集是，即0,2；(3)当0,即-8k0时，方程2x2+kx-k=0无实根，所以不等式2x2+kx-k0的解集为.练习解不等式：mx 2-2x+10.师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏.解：=4-4m=4(1-m),当m0时,0,此时.解集为 .当m0时，方程为-2x+10,解集为x|x,当0m1时,0，此时,解集为.当m1时,不等式为(x-1)20,其解集为x|x1;当m1时,此时0,故其解集为R.师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.教师精讲对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好.知识拓展【例2】 关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|x-2或x，求关于x的不等式ax2-bx+c0的解集.师由题设a0且，从而ax2-bx+c0可以变形为，即x2-x+10.x2.原不等式的解集为x|x2.引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-10的解集为R，求a的取值范围.师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a0且0.生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须即a的取值范围是a(-,).师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）师 变题：若函数f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围.显然k=0时满足.而k0时不满足.k的取值范围是 0,1.练习：不等式ax2+bx+20的解集为x|-x，求a、b.()教师精讲解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄渄楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c0为例）常与以下因礠有关：（1）a；（2）；（3）两栱x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，关系到不等式对帔的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根捬具体情况，合理分类，确保不重不漏.合作探究【例3】 若不孉式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.生 2x2-2(k-3)x+3-k0(4x 2+6x+3恒正)，原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k0对x取任何实数均成立.= -2(k-3)2-8(3-k)0k 2-4k+301k3.k的取值范围是（1，3）.师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.【例4】 当m取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:两个实根；一正根和一负根；正根绝对值大于负根绝对值；两根都大于1.解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：m.此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：m5.此时m的取值范围是(-,5).若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：m2.此时m的取值范围是(-,2).若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：m.此时m的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1.师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.练习：1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A. (,+)B.(-, )C. ，+）D.( ,0)(0,+)提示：由m0且0，得m，选D.答案：D2.若不等式ax 2+5x+b0的解集为x|x，则a、b的值分别是_.提示：由答案：-6，-13.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.提示：由 k-6.师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.师 解：要原方程有两个负实根，必须-2k-1或k1.k23或k-1实数k的取值范围是k|-2k-1或k1.练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-10的解集为R，求实数a的取值范围.生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和x|x；若a2-10，即a1时，要使原不等式的解集为R，必须-a1.实数a的取值范围是(,1)1=(,1.方法引导讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.课堂小结1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围；（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳整合，作出结论.3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.布置作业（1）已知不等式x2+5x+m0的解集为x|x-7或x2，求实数m的值.(答案：m=-14)（2）已知关于x的二次不等式px 2+px-40对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p0且0，得pp|-16p0)(3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3x1时，y0，求实数a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.解：要使原方程有两个负实根，必须-2k-1或k1.实数k的取值范围是k|-2k-1或k1.板书设计一元二次不等式的解法的应用（二）例3例1、2例4