2016届高三常州期末数学试卷.doc

2016届高三模拟考试试卷(六)数学(满分160分，考试时间120分钟)20161一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 设复数z满足(zi)(2i)5(i为虚数单位)，则z_2. 设全集U1，2，3，4，集合A1，3，B2，3，则BUA_3. 某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校_所4. 已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线经过点P(1，2)，则该双曲线的离心率为_(第7题)5. 函数f(x)log2(x22)的值域为_6. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为_7. 如图所示的流程图中，输出S的值是_8. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60的菱形，侧棱PA底面ABCD，PA3.若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为_9. 已知实数x，y满足则2xy的最大值为_10. 已知平面向量a(4x，2x)，b，xR.若ab，则|ab|_11. 已知等比数列an的各项均为正数，且a1a2，a3a4a5a640，则的值为_(第12题)12. 如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，则的最小值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y21，O1：(x4)2y24，动点P在直线xyb0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是_14. 已知函数f(x)若不等式f(x)kx对xR恒成立，则实数k的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(BC)1cosA，且b，a，c成等比数列求：(1) sinBsinC的值；(2) A的值；(3) tanBtanC的值16.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，点D，E分别是A1C，AB的中点(1) 求证：ED平面BB1C1C；(2) 若ABBB1，求证：A1B平面B1CE.17. (本小题满分14分)已知等差数列an的公差d为整数，且akk22，a2k(k2)2，其中k为常数且kN*.(1) 求k及an；(2) 设a11，an的前n项和为Sn，等比数列bn的首项为1，公比为q(q0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得T3，求q.18. (本小题满分16分)如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥考虑到美观需要，设计方案为DPDC，CDP60且圆弧栈桥BP在CDP的内部已知BC2OB2(km)设湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，BOP.(1) 求S关于的函数关系式；(2) 试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos的值；若不存在，说明理由19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1(ab0)的离心率是e，定义直线y为椭圆的“类准线”已知椭圆C的“类准线”方程为y2，长轴长为4.(1) 求椭圆C的方程；(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：x2y23的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论20. (本小题满分16分)已知a，b为实数，函数f(x)ax3bx.(1) 当a1且b1，3时，求函数F(x)2b1的最大值M(b)；(2) 当a0，b1时，记h(x). 函数h(x)的图象上一点P(x0，y0)处的切线方程为yy(x)，记g(x)h(x)y(x)问：是否存在x0，使得对于任意x1(0，x0)，任意x2(x0，)，都有g(x1)g(x2)0恒成立？若存在，求出所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由； 令函数H(x)若对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)k成立，求实数s的取值集合2016届高三模拟考试试卷(六)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图所示，ABC是圆O的内接三角形，且ABAC，APBC，弦CE的延长线交AP于点D.求证：AD2DEDC.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M的属于特征值8的一个特征向量是e，点P(1，2)在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cossin)40.求曲线C上的点到直线l的最大距离D. (选修45：不等式选讲)已知|x|2，|y|2，求证：|4xy|2|xy|.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1底面ABCD，D1AD1D，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F平面AB1C；(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值23.已知数列an满足an(nN*)，a1，0，1.设ba.(1) 求证：an1banan1(n2，nN*)；(2) 当n(nN*)为奇数时，an，猜想当n(nN*)为偶数时，an关于b的表达式，并用数学归纳法证明2016届高三模拟考试试卷(六)(常州)数学参考答案及评分标准1. 22i2. 23. 64. 5. 6. 7. 8. 9. 7.510. 211. 11712. 13. 14. 3，e215. 解：(1) 因为ABC，所以A(BC)由cos(BC)1cosA，得cos(BC)1cos(BC)，展开，整理得sinBsinC.(2分)(2) 因为b，a，c成等比数列，所以a2bc.由正弦定理，得sin2AsinBsinC，从而sin2A.(6分)因为A(0，)，所以sinA.因为a边不是最大边，所以A.(8分)(3) 因为BCA，所以cos(BC)cosBcosCsinBsinC，从而cosBcosC.(10分)所以tanBtanC(12分)2.(14分)16. 证明：(1) 连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点(2分)在ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DEBC1.(4分)因为DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以ED平面BB1C1C.(6分)(2) 因为ABC是正三角形，E是AB的中点，所以CEAB.因为正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC平面ABB1A1，交线为AB，所以CE平面ABB1A1.从而CEA1B.(9分)在矩形ABB1A1中，因为，所以RtA1B1BRtB1BE，从而B1A1BBB1E.因此B1A1BA1B1EBB1EA1B1E90，所以A1BB1E.(12分)因为CE，B1E平面B1CE，CEB1EE，所以A1B平面B1CE.(14分)17. 解：(1) 由题意，得(2分)，得d4.因为d，kN*，所以k1，或k2.(4分)当k1时，d6，代入，解得a13，所以an6n3.当k2时，d5，代入，解得a11，所以an5n4.(6分)(2) 因为a11，所以an6n3，从而Sn3n2.(7分)由T3，得1qq2，整理，得q2q10.(9分)因为140，所以m2.因为mN*，所以m1或m2.(11分)当m1时，q(舍)，q.当m2时，q0或q1(均舍去)综上所述，q.(14分)18. 解：(1) 在COP中，CP2CO2OP22COOPcos106cos，从而CDP的面积SCDPCP2(53cos)因为COP的面积SCOPOCOPsinsin，(6分)所以SSCDPSCOPS扇形OBP(3sin3cos)，00，cos0.(9分)(注：定义域2分当DP所在直线与半圆相切时，设取得最大值0，此时在COP中，OP1，OC3，CPO30，CP，由正弦定理得6sin0，cos0.)(2) 存在S(3cos3sin1)，令S0，得sin.(12分)当00时，S0，所以当0时，S取得最大值(14分)(或者：因为0，所以存在唯一0，使得sin.当00时，S0，所以当0时，S取得最大值)此时cos，cos0cos.(16分)19. 解：(1) 由题意又a2b2c2，解得b，c1，(4分)所以椭圆C的方程为1.(5分)(2) 点A在椭圆C上证明如下：设切点为Q(x0，y0)，x00，则xy3，切线l的方程为x0xy0y30，当yP2时，xP，即P，则kOP，(7分)所以kOA，直线OA的方程为yx.(9分)由解得即A(，)(11分)因为1，所以点A的坐标满足椭圆C的方程(14分)当yP2时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，所以点A在椭圆C上(16分)20. 解：(1) F(x)|x2lnxb|2b1，记t(x)x2lnx，x，则t(x)2x，令t(x)0，得x.(1分)当x时，t(x)0，t(x)在上为单调减函数，当x2，t(x)0，t(x)在上为单调增函数，又tln2，t(2)4ln2，t且t(2)t2ln20，所以t(x)的取值范围为.(3分)当b1，3时，记v(t)|tb|2b1，则v(t)因为函数v(t)在上单调递减，在(b，4ln2上单调递增，且v3b，v(4ln2)b5ln2，vv(4ln2)2b，所以当b时，最大值M(b)v(4ln2)b5ln2，当b时，最大值M(b)v3b，所以M(b)(5分)(2) h(x)， h(x)，h(x0)，所以y(x)(xx0)y0，g(x)y0(xx0)，g(x0)0.(7分)g(x)，g(x0)0.令G(x)g(x)，G(x)，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，若x0e，则x(0，x0)时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(x0)0；x(x0，e)时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(x0)0，不符合题意；若x0e，则x时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(x0)0；x(x0，)时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(x0)0，不符合题意；若x0e，则x时g(x)0，x时g(x)0，符合题意综上，存在x0满足要求，且x0的取值集合为e(10分) 因为对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)k成立，所以函数yH(x)的值域为一切实数yx在s，)上是增函数，其值域为.(11分)对于函数y，y，当xe时，y0，当xe时，y0，在(e，)上为单调增函数，当0xe时，y0，在(0，e)上为单调减函数若se，则函数y在(0，e上是增函数，在e，s)上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；(13分)若0se，则函数y在(0，s)上是增函数，值域为，由题意得，即s22elns0.记u(s)s22elns，u(s)2s.当0s时，u(s)0，u(s)在(0，)上为单调减函数当s时，u(s)0，u(s)在(，e)上为单调增函数，所以，当s时，u(s)有最小值u()0，从而u(s)0恒成立(当且仅当s时，u(s)0.)(15分)由得，u(s)0，所以s.综上所述，实数s的取值集合为(16分)2016届高三模拟考试试卷(六)(常州)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：连结AE，则AEDB.(2分) ABAC， ACBB， ACBAED.(4分) APBC， ACBCAD， CADAED.(6分)又ACDEAD， ACDEAD.(8分) ，即AD2DEDC.(10分)B. 解：由题意知8，故解得(5分) ， 点Q的坐标为(2，4)(10分)C. 解：将l转化为直角坐标方程为xy40.(3分)在C上任取一点A(cos，sin)，0，2)，则点A到直线l的距离为d.(7分)当时，d取得最大值，最大值为2，此时A点为(，1)(10分)D. 证明：因为|4xy|24|xy|2(4xy2x2y)(4xy2x2y)(2分)(2x)(2y)(2x)(2y)(4x2)(4y2)0，(7分) |x|2，|y|2， |4xy|2|xy|.(10分)22. 解：(1) 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D1(0，1，1)，B1(1，1，1)，设F(a，b，0)，则(a，b1，1)，(3分)由得ab，(5分) F，即F为AC的中点(6分)(2) 由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1.(7分)设平面B1AB的法向量n2(x，y，z)，得取n2(0，1，1)(8分)则cosn1，n2.(9分) 二面角CB1AB的平面角的余弦值为.(10分)23. (1) 证明：banan1an1.(3分)(2) 解：猜想当n(nN*)为偶数时，an(4分)下面用数学归纳法证明这个猜想 当n2时，a2a21a21b21，结论成立(5分) 假设当nk(k为偶数)时，结论成立，即ak0,(1)iCb2ibkCbk2(1)iCbk2i(1)，此时k1为奇数， ak10,(1)iCbk12ibk1Cbk1(1)iCbk12i(1)Cb，(6分)则当nk2(k为偶数)时，ak2bak1akbk2Cbk(1)iCbk22i(1)Cb2bkCbk2(1)iCbk2i(1)bk2bk(1)i(CC)bk22i(1)bk2bk(1)iCbk22i(1)0,(1)iCbk22i，结论也成立(9分)根据和，可知当n(nN*)为偶数时，均有an(10分)