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第3讲 简单数列求和知识点、重点、难点 当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数,这样的数列就称为等差数列.其中固定的差用d表示,和用S表示,项数用n表示,其中第n项用an表示.等差数列有以下几个通项公式: S=(a1+an)n2, n=(an-a1)d+1(当a1an), an=a1+(n-1)d.例题精讲例1 1+2+3+4+5+6+7+8+9解 原式=(1+9)92=1092=45例2 (1)1+5+9+13+2001解 项数=(2001+1)4+1=501S=(1+2001)5012=1001501=501501(2)4000-(50+48+46+2)解 原式=4000-(50+2)252=4000-2625=3350例3 在1949、1950、19511997、1998这五十个正整数中,所有双数之和比所有单数之和大多少?解 (1950+1952+1954+1998)-(1949+1951+1953+1997)=(1950+1998)252-(1949+1997)252=(1950+1998-1949-1997)252=2252=25例 4 在1200这二百个数中能被9整除的数的和是多少?分析:在1200这二百个数中能被9整除的数构成了一个以9为首项,公差为9的等差数列:9,18,27,36,189,198.解 项数=(198-9)2+1=22. S=(9+198)222=207222=2277.例 5 39个连续单数的和是1989，其中最大的一个单数是多少?分析:39个连续单数之和为1989，所以中间一个数是这39个数的平均数,然后再找出其中最大的一个单数.解 198939=51,51+192=89.例 6 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,.,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,从第1个到第1993个数这些数多的和是多少?分析:仔细观察这一数列,如果把1拿出,正好成为一个等差数列:1993,1992,1991,1990，.,在原数列中三个数一组出现一个1.19933=664.1,可分为664组一个1,即665个1，其余是1993到666，共6642=1328个数.解 1665+(666+1993)13282=665+265913282=665+1765576=1766241.水平测试 3A 卷1、 填空题1.1+2+3+4+5+6+7=_2.2+4+6+8+10=_3.1+3+5+7+9+11+13+15+17=_4.25+27+29+31+33=_5.2002+2004+2006+2008+2010+2012=_6.15+20+25+30+35+40=_7.11-12+13-14+15-16+17-18+19=_8. (2003+2001+1999+.+3+1)-(2002+2000+1998+.+4+2)=_9. 27+31+35+39+43+47=_10. 121+134+127+130+133+136+139=_11. 101+103+105+.+139=_二、解答题12. 计算:10+13+16+19+.+295+298.13. 求200以内的双数之和.14. 等差数列7、10、13.的第20项数是几?15. 肖肖从七月一日开始写毛笔字,第一天写了6个,以后每天比前一天多写相同数量的毛笔字,结果全月共写了1116个毛笔字,肖肖每天比前一天多写了几个毛笔字?B 卷1、 填空题1.57+67+77+.+217+227=_2.11+12-13-14+15+16-17-18+.+31+32-33-34+35+36=_3.1+3+5+7+.+151+153+155=_4.96+97+98+.+293+294+295=_5. 从37到111的所有单数之和是_6. 所有三位数的和为_7. 1+4+7+10+.+292+295+298=_8. 1+2+3+.+59+60+59+.+3+2+1=_2、 解答题9. 计算:(2+4+6+.+100)-(1+2+3+.+50).10. 把一堆苹果分给8个小朋友,要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有多少个?11. 小红读一本书,第一天读30页,从第二天起,每天读的页数都必须比前一天多4页,最后一天读了70页刚好读完,这本书共有几页?12. 小文从5岁开始存钱,5岁时他有了30元,以后每年比前一年多存10元,那么到他18岁时他共存了多少钱?13. 求100以内所有7的倍数之和.C 卷1、 填空题1.25个连续的正整数之和是750，则第13个数是_,第一个数是_2. 一串钥匙30把,对应30把锁,若不小心搞乱了,那么至多需要试_次.3. 若在第2题中只要找出8把锁所对应的钥匙,那么至多需要试_次4. 1+4+5+8+9+12+.+48+49+52=_5. 321+320+319+.+124+123+124+.+319+320+321=_6. 所有三位数中被26除余5的数之和是_7. 学校礼堂共有30排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多2个座位,那么共有_个座位.8. 1+3+7+13+15+19+25+27+31+.+121+123+127=_2、 解答题9. 小华看一本书,第一天看了3页,以后每一天比前一天多看的页数相同.第20天看了79页,刚好看完,问这本书共多少页?每天比前一天多看多少页?10. 求两位数中所有含有数字5的数之和.11. 如图,每个最小的等边三角形的面积是1平方厘米,边长是一根火柴棒,问最大的三角形的面积是多少平方厘米?整个图形由几根火柴棒摆成?12. 有10个盒子,44只乒乓球.把这44只乒乓球放到盒子中,能不能使每个盒中的球数都不相同(每个盒子中至少要放一个球)?13. 已知数列2,7,5,5,3,2,7,5,5,3,2,7,5,5,3,.,这个数列的第40项是哪个数字?前36项之和是多少?简单数列求和答案:A 卷1.28 原式=(1+7)72=282.30 原式=(2+10)52=303.81 原式=(1+17)92=814.145 原式=(25+33)52=1455. 12042 原式=(2002+2012)62=120426. 165 原式=(15+40)62=1657. 15 原式=11+(13-12)+(15-14)+(17-16)+(19-18)=15.8. 1002 原式=(2003-2002)+(2001-2000)+.+(3-2)+1=1002 1001对9. 222 原式=(27+47)62=22210. 910 原式=(121+139)72=91011. 2400 原式=(101+139)(139-101)2+12=240012. 14938 原式=(10+298)(298-10)3+12=308(96+1)2=15497=1493813. 200以内所有双数之和等于10100 2+4+6+.+198+200=(2+200)1002=1010014. 64 an=a1+(n-1)d=7+(20-1)3=6415. 最后一天写了1116231-6=66(个),(66-6)(31-1)=2(个)B 卷1.2556 由于共有(227-57)10+1=18项,原式=(57+227)182=25562.47 原式=(36-34)+(35-33)+(32-30)+(31-29)+.+(16-14)+(15-13)+11+12=24+23=47.其中每个括号内两项之差为2，所以除11,12外所有和等于项数,即36-13+1=24.3.6084 原式=(1+155)782=6084，其中项数78=(155-1)2+1.4.39100.项数为(295-96)1+1=200，原式=(96+295)2002=39100.5.2812.项数为(111-37)2+1=38，原式=(37+111)382=2812.6.494550 100+101+102+103+.+999=(100+999)9002=4945507.14950.项数为(298-1)3+1=100，原式=(1+298)1002=14950.8.3600. 原式=(1+59)5922+60=3600.9. 原式=(2-1)+(4-2)+(6-3)+.+(100-50)=1+2+3+.+50=(1+50)502=1275.10. 36个 1+2+3+4+5+6+7+8=(1+8)82=36(个).11. 550页. 先求小红看了几天,(70-30)4+1=11(天).再求这本书的总页数,(30+70)112=550(页).12. 当他18岁时,他共存了1330元.(30+10(18-5)+30)(18-5+1)2=(30+130+30)(142)=1907=1330(元).13. 100以内所有7的倍数之和为735.7+14+21+.+98=7(1+14)142=735.C 卷1.30,18第13项是中间项,对等差数列中间项等于数列平均数,即75025=30;第一个数为30-(13-1)1=182.464第一把最多试30次,第二把锁最多试29次,.第29把最多试2次,所以共 30+29+.+2=(30+2)292=464(次)3.212第一把锁最多试了30次,第二把锁最多试29次,.第八把最多试23次,所以最多须试30+29+.+23=(30+23)82=212(次).4.689原式=(1+5+9+.+49)+(4+8+12+.+52)=(1+49)(49-1)4+1)2+4(1+2+.+13)=50132+4(1+13)132=325+364=689.5.88233.原式=(321+124)(321-124)+1)22+123=445198+123=88233.6.19285.原式=264+5+265+5+.+2638+5=26(4+5+.+38)+5(38-4+1)=19285.7.1320.最后一排座位数为15+2(30-1)=73，由(15+73)302=1320(个).8.2101.原式=(1+13+25+.+121)+(3+15+27+.+123)+(7+19+31+.+127)=(1+121)11 2+(3+123)112+(7+127)112=2101.9. 全书共有820页,小华每天比前一天多看4页.(3+79)202=820(页),(79-3)(20-1)=4(页).10. 两位数中所有含数字5的数之和为985.(15+25+.+95)+(50+51+.59)-55=(15+95)92+(50+59)102-55=495+545-55=985.11. 45平方厘米,45根.每层小三角形个数分别是1.3.5.7.9.所以面积是(1+9)92=45(平方厘米).每层火柴棒根数分别是3.6.9.12.15,所以总根数是(3+15)52=45(根).12. 不能.每个盒子中的乒乓球个数都不相同,所以球的个数有1+2+.+10=55(个).44个乒乓球是不能这样放的.13. 这个数列第40项的数字是3，前36项之和为156.由于这个数列每5个重复一次,而405=8，所以第40项就等于前5项中最后一项,即数字为3.由于365=7.1，所以前36之和为(2+7+5+5+3)7+2=156.
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