初三数学二次函数知识点总结

第 1 页 共 14 页 初三数学 二次函数 知识点总结 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2yaxbc a何0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而 可以为零 二次函数的定义域是全0 bc何 体实数 2 二次函数 的结构特征 2yaxbc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 bc何 bc 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2yaxc 上加下减 3 的性质 2yaxh 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0何轴y时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 0 向下 何轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大xx 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0c何轴y时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 c 向下 何轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大x0 x 值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0h何X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 0 第 2 页 共 14 页 4 的性质 2yaxhk 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2yaxhk hk何 保持抛物线 的形状不变 将其顶点平移到 处 具体平移方法如下 2yax 何 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿 轴平移 向上 下 平移 个单位 变成cbxay 2ymcbxay 2 或 mcbxa 2 沿轴平移 向左 右 平移 个单位 变成cxy2 cxy2 或 ba mxbxy 2 四 二次函数 与 的比较 2yaxhk 2ac 0a 向下 0h何X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh 随 的增大而增大 时 有最大 y 值 0 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 hk何X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小 y 值 k 向下 何X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大yxxh 值 第 3 页 共 14 页 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前 2yaxhk 2yaxbc 者 即 其中 224bcyax 24ka 何 五 二次函数 图象的画法2yxbc 五点绘图法 利用配方法将二次函数 化为顶点式 确定其开口方向 2yaxbc 2 yaxhk 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及 关于对称轴对称的点 与 轴的交点 若与y 0c何 0c何 h 10何2x何 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 x 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与 轴的交点 xy 六 二次函数 的性质2yaxbc 1 当 时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0 2bxa 24bac 何 当 时 随 的增大而减小 当 时 随 的增大而增大 当 时 有最2bxa yx yx2bxa y 小值 4c 2 当 时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当 时 0a 2bxa 24bac 何2bxa 随 的增大而增大 当 时 随 的增大而减小 当 时 有最大值 yx2bxa y2x y4c 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2yaxbc bc0a 2 顶点式 为常数 hk ahk 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12x0 1x2x 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析4bc 式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 二次函数 中 作为二次项系数 显然 2yxbc a0a 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越大 0 当 时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越大 a 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大aa 小 第 4 页 共 14 页 2 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在 的前提下 0 当 时 即抛物线的对称轴在 轴左侧 02 y 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 b a 当 时 即抛物线对称轴在 轴的右侧 0 02 y 在 的前提下 结论刚好与上述相反 即a 当 时 即抛物线的对称轴在 轴右侧 ba 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 0 02 y 当 时 即抛物线对称轴在 轴的左侧 b a 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 b 的符号的判定 对称轴 在 轴左边则 在 轴的右侧则 概括的说就是aax2 y0 aby0 ab 左同右异 总结 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 0 yxy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 c 总之 只要 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 ab何 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于 轴对称x 关于 轴对称后 得到的解析式是 2yabc x 2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 xhk hk 2 关于 轴对称y 第 5 页 共 14 页 关于 轴对称后 得到的解析式是 2yaxbc y 2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 hk hk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2yaxbc 2yaxbc 关于原点对称后 得到的解析式是 hk hk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2yaxbc 22byaxca 关于顶点对称后 得到的解析式是 hk hk 5 关于点 对称 mn何 关于点 对称后 得到的解析式是 2yaxhk n何 2yaxhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此 永远不a 变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是 先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及 开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况 20axbc 2yabc 0y 图象与 轴的交点个数 当 时 图象与 轴交于两点 其中的 是一元二次24 x 120AxB 12 x 12x 方程 的两根 这两点间的距离 20axbca 214bac 当 时 图象与 轴只有一个交点 x 当 时 图象与 轴没有交点 当 时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 1 0a x0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 2 x 2 抛物线 的图象与 轴一定相交 交点坐标为 2yaxbc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 第 6 页 共 14 页 根据图象的位置判断二次函数 中 的符号 或由二次函数中 的符2yaxbc abcabc 号判断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与 轴的x 一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数 2 0 axbc 下面以 时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0a 二次函数图像参考 十一 函 数 的应用 二次函数应 用 何 抛物线与 轴有x 两个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与 轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与 轴无x 交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 y x 2 2 y 2x2 y x2 y 2x 2 y x2 y x22 y 2x 2 4 y 2x2 2 y 2x2 y 3 x 4 2 y 3 x 2 2y 3x2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2y 2x2 第 7 页 共 14 页 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点 则 的值是 x 2 2 mxy m 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同一直角坐标系内考 查两个函数的图像 试题类型为选择题 如 如图 如果函数 的图像在第一 二 三象限内 那么函数 的图像大致是 bkxy 12 bxky y y y y 1 1 0 x o 1 x 0 x 0 1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题类型有中档解答题和 选拔性的综合题 如 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 求这条抛物线的解析式 35 x 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题为解答题 如 已知抛物线 a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 与 y 轴交点的纵坐标是 2yaxbc 32 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 例题经典 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 1 二次函数 的图像如图 1 则点 在 2yaxbc acbM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x 1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的 交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数 为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 第 8 页 共 14 页 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直 线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形移动 直到 AB 与 CD 重 合 设 x 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时 三角形移动了多长时间 求抛物线顶点坐标 对称轴 例 5 已知抛物线 y x2 x 15 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二次函数与一元二次方程 的关系 例 6 已知函数 的图象经过点 A c 2 cbxy 21 求证 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解过程 并画出二次函数图象 若不能 请说明理由 2 请你根据已有的信息 在原题中的矩形框中 填加一个适当的条件 把原题补充完整 点评 对于第 1 小题 要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式 就要把原来的结 论 函数图象的对称轴是 x 3 当作已知来用 再结合条件 图象经过点 A c 2 就可以列出两个 方程了 而解析式中只有两个未知数 所以能够求出题中的二次函数解析式 对于第 2 小题 只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 1 小题中的解析式就可以了 而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件 可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标 可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等 解答 1 根据 的图象经过点 A c 2 图象的对称轴是 x 3 得cbxy 21 321 2bc 解得 c 所以所求二次函数解析式为 图象如图所示 2312 xy 第 9 页 共 14 页 2 在解析式中令 y 0 得 解得02312 x 53 21 xx 所以可以填 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 或 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标 5 是 0 53 令 x 3 代入解析式 得 25 y 所以抛物线 的顶点坐标为312 x 253 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背景理解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函数与相关知识的联系 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一 点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起 能很好考查 学生的综合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关 系如下表 x 元 15 20 30 y 件 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少元 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1 b 40 即一次函数表152 0kb 达式为 y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x 2 50 x 400 x 25 2 225 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有两点 1 设未知数在 当某某为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问中 某某 要设为自变量 什么 要设为函 数 2 问的求解依靠配方法或最值公式 而不是解方程 第 10 页 共 14 页 二次函数对应练习试题 一 选择题 1 二次函数 的顶点坐标是 247yx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线 向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 A B C D 2 yx 2 yx 21yx 21yx 3 函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的 k 0k 4 已知二次函数 的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 2 0 yaxbc 当 和 时 函数值相等 当 时 的值只能取 0 其中正1x34a 2y x 确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由2 0 yaxbc 图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 2x 12 3x 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数 的图象如图所示 则点 在 2yaxbc acb A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程 的正根的个数为 2x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与 轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为y A B 2yx 2yx C 或 D 或2yx 2yx 第 11 页 共 14 页 二 填空题 9 二次函数 的对称轴是 则 23yxb 2x b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0 时 函数值 随自变量 的增大而增大 yx 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线 的顶点为 C 已知直线 过点 C 则这条直线与两坐标轴所围成的2 6yx 3ykx 三角形面积为 13 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单2412bc 位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地 方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与 轴的交点为 0 30 x y52 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值 随 x 的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 0 t 2 其中重201hvtg 力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 第 15 题图 第 12 页 共 14 页 17 如图 抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交2yxbc 3yx 点 A B 此抛物线与 轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 PAPS D 的坐标 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物 售 出 后 再 进 行 结 算 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 月 销 售 量 为 45 吨 该建材店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 第 13 页 共 14 页 练习试题答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二 填空题 9 10 3 11 如 等 答案不唯一 b x24 yxyx 12 1 13 8 7 14 15 三 解答题 15 1 设抛物线的解析式为 由题意可得2bxcya 解得 所以15 3 22abc 2153yx 2 或 5 2 1x x 16 1 由已知得 解得 当 时不合题意 舍去 所以当爆竹点21520tt 123 t 3t 燃后 1 秒离地 15 米 2 由题意得 可知顶点的横坐标 又抛50h 0 2t 物线开口向下 所以在爆竹点燃后的 1 5 秒至 108 秒这段时间内 爆竹在上升 17 1 直线 与坐标轴的交点 A 3 0 B 0 3 则 解得3yx 930bc 23b 所以此抛物线解析式为 2 抛物线的顶点 D 1 4 与 轴的另一个交点2yx x C 1 0 设 P 则 化简得2 3 a1 43 5 2a 25a 当 0 时 得 P 4 5 或 P 2 5 23 5 当 0 时 即 此方程无解 综上所述 满足条件的点2 20 的坐标为 4 5 或 2 5 3265bac 第 14 页 共 14 页 18 1 60 吨 2 化简得 5 7102465 260 1 457 5 xyx 3 234yx 354 y 23 19 红星经销店要获得最大月利润 材料的售价应定为每吨 210 元 4 我认为 小静说的不对 理由 方法一 当月利润最大时 x 为 210 元 而对于月销售额 来说 5 710265 W23 160 94x 当 x 为 160 元时 月销售额 W 最大 当 x 为 210 元时 月销售额 W 不是最大 小静说的不对 方法二 当月利润最大时 x 为 210 元 此时 月销售额为 17325 元 而当 x 为 200 元时 月销售 额为 18000 元 17325 18000 当月利润最大时 月销售额 W 不是最大 小静说的不对