高一上期期末数学专题复习(二)恒成立问题.doc

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高一上学期期末数学专题复习(二)恒成立问题、(1) 若关于的不等式的解集为空集,求实数的取值范围;(2) 若关于的不等式的解集不是空集,求的取值范围。(3) 若函数在R上恒成立,求m的取值范围。(4) k为何值时,不等式06对任意实数x恒成立?(5) 已知抛物线yf(x)ax2bxc过点(1,0),问是否存在常数a、b、c使不等式xf(x)对一切实数x恒成立?、(1) 若对任意的x1,1,不等式恒成立,求的取值范围。(2) 关于的不等式在上恒成立,求的取值范围。(3) 已知关于的不等式|x1|x2|2m1的解集为A 若AR,求实数m的取值范围;若A,求实数m的取值范围;若不等式有解,求实数m的取值范围。(4) 设x、yR+,不等式恒成立,求的取值范围。、(1) 对于满足|a|2的实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围。 (2)已知g(x)3x2ax3a5,对满足的一切的值,都有,求实数的取值范围。、已知函数是定义在上的奇函数,若,,有,(1)证明在上的单调性;(2)若对所有恒成立,求的取值范围。、已知函数,常数,求:(1)函数的定义域;(2)当满足什么条件时在区间(1,)上恒取正?、设数列an的前n项和为Sn,已知a11,a26,a311,且其中A,B为常数.(1)求A与B的值;(2)证明数列an为等差数列;(3)证明不等式对任何正整数m、n都成立.高一上学期期末数学专题复习(二)恒成立问题、(1)若关于的不等式的解集为R,求实数的取值范围;(2)若关于的不等式的解集不是空集,求的取值范围。解:(1)设.则关于的不等式的解R在R上恒成立,即解得:-4a2a+x恒成立的x的取值范围。分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在-2,2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1(关于a的一次函数),则f(a)在-2,2上恒大于0,故有:即解得: x3.、已知函数g(x)3x2ax3a5,对满足的一切的值,都有,求实数的取值范围;解法1.由题意,这一问表面上是一个给出参数的范围,解不等式的问题,实际上,把以为变量的函数,改为以为变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即令,则对,恒有,即,从而转化为对,恒成立,又由是的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到.为此只需 即解得.故时,对满足的一切的值,都有.解法2.考虑不等式.由知,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时,对满足的一切的值,都有.、设,二次函数 若的解集为A,x|1x3,AB,求实数的取值范围.解法一:由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当时, (2) 当时, , .于是,实数的取值范围是.解法二:(1) 当时,因为的图象的对称轴,则对,最大, (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.、设数列an的前n项和为Sn,已知a11,a26,a311,且其中A,B为常数.()求A与B的值;()证明数列an为等差数列;()证明不等式对任何正整数m、n都成立.分析:本题是一道数列综合运用题,第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式,即求出A=-20、B=-8;第二问利用公式,推导得证数列an为等差数列.由于an=1+5(n-1)=5n-4,故第三问即是证明对任何正整数m、n恒成立.对此复杂的恒成立问题,我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化,由于要等价转化故需要先移项再两边平方,整理得:,而基本不等式得到:,因此要证明原不等式恒成立,只要证5(m+n)-829,而此式对任何正整数m、n都能成立。通过等价转化,将原来恒成立不等式得到大大简化,从而将复杂问题简单化。、已知函数是定义在上的奇函数,且,若,有,(1)证明在上的单调性;(2)若对所有恒成立,求的取值范围。分析:第一问是利用定义来证明函数的单调性,第二问中出现了3个字母,最终求的是的范围,所以根据上式将当作变量,作为常量,而则根据函数的单调性求出的最大值即可。解:(1)简证:任取且,则 又是奇函数 在上单调递增。(2)对所有,恒成立,即, 即在上恒成立。 。、若函数在R上恒成立,求m的取值范围。解:在R上恒成立,即在R上恒成立。 时, 成立 时,由,可知,、已知函数,在R上恒成立,求的取值范围。分析:的函数图像都在X轴上方,即与X轴没有交点。略解:10、已知f(x)x2axa3,且当时,恒成立,求的取值范围。解:,令在上的最小值为。 当,即时, 又 不存在。 当,即时, 又 当,即时, 又 总上所述,。11、已知f(x)x2axa3,且当时,恒成立,求的取值范围。解法一:分析:题目中要证明在上恒成立,若把移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 略解:,即在上成立。 22 。综上所述,。解法二:(利用根的分布情况知识) 当,即时, 不存在。 当,即时, 当,即时, 综上所述。此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,还有与其相反的,轴动区间定。12、若对任意的实数x1,1,不等式恒成立,求的取值范围。解法一:令,x1,1,对称轴为xk,则 若,要使,即, 不存在 若,若使,即 若,要使,即,故由,可知,。解法二:0在上恒成立。 由,可知,。解法三:将原不等式转化为,再利用耐克函数的单调性求解。13、已知函数,常数,求(1)函数的定义域;(2)当满足什么条件时在区间(1,)上恒取正。解:(1) 又 故定义域(2)在区间(1,)上恒取正。即0即在区间(1,)内恒成立。设,在区间(1,)内单调递增 且。
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