江苏省常州市武进区2014-2015学年高二数学下学期期末试卷文(含解析).doc

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文 科)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上)1(5分)已知集合A=1,2,B=1,1,4,则AB=2(5分)命题“xR,x2+x+10”的否定是3(5分)已知复数Z=3+ai,若|Z|=5,则实数a=4(5分)已知关于变量x的函数f(x)=ln(x2x+m),其定义域为A,若2A,则实数m的取值范围是5(5分)将函数y=2sin(x)图象上所有的点沿x轴向左平移个单位,则平移后的图象对应的函数是6(5分)已知集合A=x|x2x20,B=x|xa|1,若“xB”是“xA”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是7(5分)已知a0,b0且a+b=1,则(a+2)2+(b+2)2的最小值是8(5分)若函数f(x)=|x+a|+b(xR)有两个零点分别为x1=0,x2=4,则a+b的值为9(5分)已知函数f(x)=sinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=,则此函数的最大值为10(5分)在ABC中,锐角B所对的边长b=3,ABC的面积为6,外接圆半径R=,则ABC的周长为11(5分)若函数f(x)=2x+sinx,则满足不等式f(2m2m+1)2的m的取值范围为12(5分)在ABC中,=+m,向量的终点M在ABC的内部(不含边界),则实数m的取值范围是13(5分)已知函数y=f(x)为R上可导函数,且对xR都有f(x)=x3f(1)8x成立,则函数y=f(x),x1,1的值域为14(5分)若方程x3x2+axa=0恰有唯一解,则实数a的取值范围为二、解答题(本大题共6道题,计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(14分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且sinA,sinB,sinC成等差数列,(1)若c=2a,证明ABC为钝角三角形;(2)若acosBbcosA=c,且ABC的外接圆半径为5,求ABC的面积16(14分)已知命题p:函数f(x)=x2+2mx+2+m2在区间2,+)上是增函数,命题q:函数g(x)=4x2x+1+m2m+3的最小值大于4,命题r:函数h(x)=(m2m2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,(1)若“非r”为假命题,求实数m的取值范围;(2)若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围17(14分)已知=(sinx,1),=(1,cosx)(其中xR,0),f(x)=,且函数f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5,(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f()=(其中(,),则求f(+1)的取值18(16分)在AOB中,OA=OB=2,(1)如图:若AOOB,点P为AOB所在平面上的一个动点,且满足PO=3,求的取值范围;(2)如图:若|+|,求与所成夹角的取值范围19(16分)如图:在边长为6米的等边ABC钢板内,作一个DEF,使得DEF的三边到ABC所对应的三边之间的距离均x(0x)米,过点D分别向AB,AC边作垂线,垂足依次为G,H;过点E分别向AB,BC边作垂线,垂足依次为M,N;过点F分别向BC,AC边作垂线,垂足依次为R,S接着在ABC的三个内角处,分别沿DG,DH、EM,EN、FR,FS进行切割,割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折,并对翻折后的钢板进行无缝焊接(注:切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计),从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池(1)若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a(a0)万元/米2,求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值;(2)若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3,求体积V的最大值20(16分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(x1)ex,其中e是自然对数的底数(1)若函数f(x)在点P(m,f(m)处的切线在y轴上的截距为2,求实数m的取值;(2)求函数h(x)=g(x)+g(x)的极值;(3)求函数r(x)=g(x)+e|f(x)a|(a为常数)的单调区间江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上)1(5分)已知集合A=1,2,B=1,1,4,则AB=1考点:交集及其运算 专题:集合分析:根据A与B,求出两集合的交集即可解答:解:A=1,2,B=1,1,4,AB=1,故答案为:1点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2(5分)命题“xR,x2+x+10”的否定是xR,x2+x+10考点:命题的否定 专题:简易逻辑分析:直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答:解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“xR,x2+x+10”的否定是:xR,x2+x+10;故答案为:xR,x2+x+10点评:本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系,基本知识的考查3(5分)已知复数Z=3+ai,若|Z|=5,则实数a=4考点:复数求模 专题:数系的扩充和复数分析:根据复数的模的运算得到关于a的等式解之解答:解:因为Z=3+ai,若|Z|=5,所以32+a2=52,解得a=4;故答案为:4点评:本题考查了复数的模的计算;复数a+bi,a,b是实数,它的模为4(5分)已知关于变量x的函数f(x)=ln(x2x+m),其定义域为A,若2A,则实数m的取值范围是2m2考点:函数的定义域及其求法 专题:分类讨论;函数的性质及应用分析:讨论m的取值,求出f(x)的定义域A,由2A,求出m的取值范围解答:解:关于变量x的函数f(x)=ln(x2x+m),其定义域为A,对于,令=14m=0,解得m=;当m时,0,的解集为R,A=x|xm;又2A,m2;当m时,0,的解集为x|x,或x;A=x|x,2,解得m2,2m;综上,实数m的取值范围是2m2故答案为:2m2点评:本题考查了求函数的定义域的应用问题,也考查了分类讨论思想的应用问题,是综合性题目5(5分)将函数y=2sin(x)图象上所有的点沿x轴向左平移个单位,则平移后的图象对应的函数是y=2sinx考点:函数y=Asin(x+)的图象变换 专题:三角函数的图像与性质分析:祝玲钰三角函数的图象的平移方法,求解即可解答:解:将函数y=2sin(x)图象上所有的点沿x轴向左平移个单位,可得函数y=2sin(x+)=2sinx的图象,平移后的图象对应的函数是:y=2sinx,故答案为:y=2sinx点评:本题考查三角函数的图象的平移,基本知识的考查6(5分)已知集合A=x|x2x20,B=x|xa|1,若“xB”是“xA”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是0,1考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题:简易逻辑分析:根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式之间的关系即可得到结论解答:解:集合A=x|x2x20=1,2,B=x|xa|1=a1,a+1,若“xB”是“xA”的充分不必要条件,则BA,则,解得0a1,故答案为:0,1点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式的关系是解决本题的关键7(5分)已知a0,b0且a+b=1,则(a+2)2+(b+2)2的最小值是考点:直线和圆的方程的应用 专题:直线与圆分析:利用几何意义,转化求解即可解答:解:a0,b0且a+b=1,则(a+2)2+(b+2)2的最小值就是(2,2)到直线a+b=1的距离的平方,依题意可得:=故答案为:点评:本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,转化思想的应用考查计算能力8(5分)若函数f(x)=|x+a|+b(xR)有两个零点分别为x1=0,x2=4,则a+b的值为3考点:函数的零点与方程根的关系 专题:函数的性质及应用分析:根据方程根与函数零点之间的关系进行求解解答:解:若函数f(x)=|x+a|+b(xR)有两个零点分别为x1=0,x2=4,即0,4是方程|x+a|+b=0的两个根,即|a|+b=0,|4+a|+b=0,即2b=|a|,且2b=|4+a|,即|a|=|4+a|,解得a=2,b=1,则a+b=3,故答案为:3,点评:本题主要考查函数和方程之间的关系,将函数零点转化为方程关系是解决本题的关键9(5分)已知函数f(x)=sinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=,则此函数的最大值为考点:三角函数的最值 专题:三角函数的图像与性质分析:由于函数f(x)=sinx+cosx=sin(x+)图象的一条对称轴方程为x=,可得+=,解出即可解答:解:函数f(x)=sinx+cosx=sin(x+)图象的一条对称轴方程为x=,+=,解得=此函数的最大值为=故答案为:点评:本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10(5分)在ABC中,锐角B所对的边长b=3,ABC的面积为6,外接圆半径R=,则ABC的周长为12考点:正弦定理 专题:解三角形分析:根据正弦定理,由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值,根据三角形的面积公式得到a与c的关系式,根据大边对大角判断B是锐角,利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值,利用余弦定理表示出cosB,也得到关于a与c的关系式,利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值,进而求出三角形ABC的周长解答:解:由正弦定理得,sinB=又ABC的面积为6,S=acsinB=6ac=20b2a,c有一个比b大,即B是锐角,cosB=,由余弦定理得,cosB=,a2+c2=41,(a+c)2=81,a+c=9,ABC的周长为a+b+c=9+3=12故答案为:12点评:本题考查正弦定理和余弦定理的应用,三角形面积公式和大边对大角的应用,属于难题11(5分)若函数f(x)=2x+sinx,则满足不等式f(2m2m+1)2的m的取值范围为考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质 专题:函数的性质及应用分析:f(x)=2xsinx=f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)=2+cosx0,所以f(x)在定义域R为减函数,根据函数的单调性将函数转化为不等式求解解答:解:f(x)=2xsinx=f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)=2+cosx0,所以f(x)在定义域R为减函数又f()=2+sin=2,所以f(2m2m+1)2可转化为f(2m2m+1)f()根据函数的单调性可知,2m2m+1即2m2m+10解得故答案为:点评:本题主要考查函数的单调性和奇偶性的性质应用,属于中档题型12(5分)在ABC中,=+m,向量的终点M在ABC的内部(不含边界),则实数m的取值范围是0m考点:平面向量的基本定理及其意义 专题:平面向量及应用分析:如图所示,设,过点D作DEAC交BC于点E由=+m,可知点M在线段DE上(不含点D,E),借助于点D,E即可得出解答:解:如图所示,设,过点D作DEAC交BC于点E=+m,可知点M在线段DE上(不含点D,E)当点M取点D时,可得m=0,而M在ABC的内部(不含边界),因此m0当点M取点E时,此时可得m=,而M在ABC的内部(不含边界),因此m故答案为:点评:本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理,考查了推理能力和计算能力,属于中档题13(5分)已知函数y=f(x)为R上可导函数,且对xR都有f(x)=x3f(1)8x成立,则函数y=f(x),x1,1的值域为6,6考点:导数的运算 专题:导数的概念及应用分析:设t=2x则x=t,代入f(2x)=x3f(1)10x化简,把t换成x求出f(x)的解析式,由求导公式求出f(x),令x=1代入列出方程求出f(1),代入f(x)并判断符号,从而得到函数f(x)在1,1上的单调性,求出函数的最值,即可求出函数的值域解答:解:设t=2x,则x=t,代入f(2x)=x3f(1)10x得,y=t3f(1)5t,则f(x)=t3f(1)5x,所以f(x)=x2f(1)5,令x=1代入上式可得,f(1)=f(1)5,解得f(1)=8,所以f(x)=x35x,则f(x)=3x250,则函数f(x)在1,1上是减函数,当x=1时,函数f(x)取到最大值f(1)=6,当x=1时,函数f(x)取到最小值f(1)=6,所以所求的函数值域是6,6点评:本题考查求导公式,导数与函数的单调性的关系,以及换元法求函数的解析式,属于中档题14(5分)若方程x3x2+axa=0恰有唯一解,则实数a的取值范围为(0,+)考点:利用导数研究函数的极值 专题:导数的综合应用分析:由题意设f(x)=x3x2+axa并求出f(x),求出的式子并根据的符号进行分类讨论,由导数的符号判断出函数的单调性,求出函数的极值,列出f(x)存在唯一的零点的等价条件,求出a的范围即可解答:解:由题意设f(x)=x3x2+axa,f(x)=x22x+a,=44a=4(1a),当a1时,0,f(x)0,f(x)在R上是增函数,且f(0)=a0,f(x)存在唯一的零点,则方程x3x2+axa=0恰有唯一解;当a1时,0,由x22x+a=0得,、,当x或x时,f(x)0;当x时,f(x)0,函数f(x)在(,)、(,+)上单调递增,在(,)上单调递减,当x=时,f(x)取极大值f()=a=,当x=时,f(x)取极小值f()=a=,f(x)存在唯一的零点,或,解得0a1,综上所述,实数a的取值范围是(0,+),点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用函数的导数研究函数的零点问题,考查分类讨论思想,转化思想,以及化简计算能力,属于中档题二、解答题(本大题共6道题,计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(14分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且sinA,sinB,sinC成等差数列,(1)若c=2a,证明ABC为钝角三角形;(2)若acosBbcosA=c,且ABC的外接圆半径为5,求ABC的面积考点:余弦定理;正弦定理 专题:等差数列与等比数列;解三角形分析:(1)由等差数列的性质及正弦定理可得2b=a+c,又c=2a,可解得ABC中的最大边为c,最大角为C,由余弦定理可得cosC0,即可求得ABC为钝角三角形(2)由正弦定理化简可得2cosAsinB=0,结合A,B的范围可求,由题意可得斜边a=10,由勾股定理及已知可求b,c,从而可求三角形面积解答:(本小题满分14分)解:(1)sinA,sinB,sinC成等差数列,2sinB=sinA+sinC,即2b=a+c(2分)又c=2a,则由解得:,(4分)即ABC中的最大边为c,最大角为C又cosC=,(6分)且C(0,),C为钝角,即ABC为钝角三角形 (7分)(2)acosBbcosA=c,sinAcosBcosAsinB=sinC,即sinAcosBcosAsinB=sin(A+B),(9分)也即sinAcosBcosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,则2cosAsinB=0,又在ABC中,sinB0所以cosA=0,又A(0,),则,(11分)在RTABC中,ABC的外接圆半径为5,斜边a=10又,解之得,即(14分)点评:本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,属于基本知识的考查16(14分)已知命题p:函数f(x)=x2+2mx+2+m2在区间2,+)上是增函数,命题q:函数g(x)=4x2x+1+m2m+3的最小值大于4,命题r:函数h(x)=(m2m2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,(1)若“非r”为假命题,求实数m的取值范围;(2)若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围考点:命题的真假判断与应用;复合命题的真假 专题:简易逻辑分析:(1)由“非r”为假命题,得出命题r为真命题,即函数h(x)=(m2m2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,讨论得到m的范围(2)求出命题p和命题q的真假,命题“p或q”为真;命题“p且q”为假,求出m的取值范围解答:解:(1)“非r”为假命题,命题r为真命题,即函数h(x)=(m2m2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,(1分)当m2m2=0时,即m=1或m=2m=1时,h(x)=2x+1不满足函数值恒大于0,m=2时,h(x)=4x+1也不满足函数值恒大于0,即m=1或m=2不合题意,(2分)当m2m20时,则,(4分)解之得:m2综上所述可知所求实数m的取值范围为(,2)(6分)(2)f(x)=x2+2mx+2+m2=(x+m)2+2若命题p是真命题,则m2,即m2若命题p是假命题,则m2,即m2(8分)又g(x)=4x2x+1+m2m+3=(2x1)2+(m2m+2),即当x=0时,若命题q是真命题,则m2m+24,即m2或m1,若命题q是假命题,则m2m+24,即1m2,(10分)命题“p或q”为真;命题“p且q”为假,命题p和命题q必为一真一假即或(12分)即或,解之得:1m2或m2则所求实数m的取值范围是1,2(,2)(14分)点评:本题主要考查命题真假在大题中的应用,要注意真假命题的判断,属于中档题型17(14分)已知=(sinx,1),=(1,cosx)(其中xR,0),f(x)=,且函数f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5,(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f()=(其中(,),则求f(+1)的取值考点:两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质分析:(1)利用,结合两角和与差的三角函数化简函数的解析式,求解函数的周期,得到函数的解析式,利用子线盒的单调性求解单调增区间(2)利用条件求出,得到,通过二倍角公式求解即可解答:(本小题满分14分)解:(1),(其中xR,0),(2分)又函数f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5,解之得:T=6,(4分)又,则,即,(6分)则,即,即所求函数f(x)的单调递增区间为(8分)(2)由(1)可知,则,即(10分),则即,(12分)也即=(14分)点评:本题考查三角函数的化简求值,斜率的数量积的应用,两角和与差的三角函数,考查计算能力18(16分)在AOB中,OA=OB=2,(1)如图:若AOOB,点P为AOB所在平面上的一个动点,且满足PO=3,求的取值范围;(2)如图:若|+|,求与所成夹角的取值范围考点:三角形中的几何计算;平面向量数量积的运算 专题:平面向量及应用分析:(1),再根据条件知,即,而,很容易算出的取值范围;(2)过点O作直线AB的垂线,垂足为C,则垂足C必为线段AB的中点,再根据条件|+|,得,而在RTOCB中,cos,又AOB=2BOC,则,即与所成夹角的取值范围为解答:(本小题满分16分)解:(1),(2分)又在AOB中,OA=OB=2,PO=3,AOOB,且,(4分)即,当点P在AOB所在平面上运动时,则,(6分)即,也即所求的取值范围为6,6(8分)(2)过点O作直线AB的垂线,垂足为C,则垂足C必为线段AB的中点,且,(10分)又在RTOCB中,又,即,(12分)在RTOCB中,cos,(14分)又AOB=2BOC,则,即与所成夹角的取值范围为(16分)点评:本题考查了平面向量在三角形中的应用,对学生综合应用知识的能力有较高要求,属于中档题19(16分)如图:在边长为6米的等边ABC钢板内,作一个DEF,使得DEF的三边到ABC所对应的三边之间的距离均x(0x)米,过点D分别向AB,AC边作垂线,垂足依次为G,H;过点E分别向AB,BC边作垂线,垂足依次为M,N;过点F分别向BC,AC边作垂线,垂足依次为R,S接着在ABC的三个内角处,分别沿DG,DH、EM,EN、FR,FS进行切割,割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折,并对翻折后的钢板进行无缝焊接(注:切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计),从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池(1)若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a(a0)万元/米2,求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值;(2)若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3,求体积V的最大值考点:导数在最大值、最小值问题中的应用 专题:函数的性质及应用分析:(1)连接BE,求出EN,设此无盖长方体蓄水池的总造价为y(万元),写出y的表达式,然后求解最小值(2)写出无盖长方体蓄水池的体积,利用公式的导数,判断函数的单调性求解最值即可解答:(本小题满分16分)解:(1)连接BE,由题意可知,在RTBEN中,EN=x(米),EBN=30,即,(2分)即正DEF的边长为,(3分)若设此无盖长方体蓄水池的总造价为y(万元),则()(5分)=a当时,(万元)即此无盖长方体蓄水池总造价的最小值为(万元)(8分)(2)由题意可知,此无盖长方体蓄水池的体积为:(),(10分)则V=,令V=0,并解之得,(12分)当时,V0,即函数V(x)在为单调递增函数,当时,V0,即函数V(x)在为单调递减函数,则当时,(15分)即此无盖长方体蓄水池的体积V的最大值为4(m3) (16分)点评:本题考查函数与方程的应用,函数的最值,函数的导数与函数的单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力20(16分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(x1)ex,其中e是自然对数的底数(1)若函数f(x)在点P(m,f(m)处的切线在y轴上的截距为2,求实数m的取值;(2)求函数h(x)=g(x)+g(x)的极值;(3)求函数r(x)=g(x)+e|f(x)a|(a为常数)的单调区间考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程 专题:导数的综合应用分析:(1)f(x)=lnx,切点P的坐标为(m,lnm),求出函数f(x)在点P(m,f(m)处的切线方程即可(2)对h(x)求导h(x)=2ex+(2x1)ex=(2x+1)ex,利用导数函数的性质得到极值(3)函数r(x)=g(x)+e|f(x)a|=(x)ex+e|lnxa|(a为常数),求导,利用导数的性质求得单调区间解答:解:(1)f(x)=lnx,切点P的坐标为(m,lnm),又,过切点P的切线的斜率为,则函数f(x)在点P(m,f(m)处的切线方程为(2分)即,又切线在y轴上的截距为2,则lnm1=2,即m=e3,(4分)(2)h(x)=g(x)+g(x)=(x1)ex+(x1)ex=(2x1)ex,h(x)=2ex+(2x1)ex=(2x+1)ex(6分)令h(x)=(2x+1)ex0,解得,令h(x)=(2x+1)ex0,解得,则函数h(x)=g(x)+g(x)在上为单调递增函数,在上为单调递减函数,当时,函数h(x)的极小值为,无极大值存在 (8分)(3)函数r(x)=g(x)+e|f(x)a|=(x)ex+e|lnxa|(a为常数),函数,(9分)当xea时,恒成立,则函数r(x)在ea,+)上为单调递增函数,(10分)当0xea时,又恒成立,函数在(0,ea)上为单调递增函数,又r(1)=0,函数r(x)在(0,1)上恒小于0,在(1,ea)上恒大于0(12分)10、当a0时,ea1,则此时r(x)在(0,ea)上恒小于0即函数r(x)在(0,ea)上为单调递减函数,(13分)20、当a0时,ea1,则此时r(x)在(0,1)上恒小于0,在(1,ea)上恒大于0,即函数r(x)在(0,1)上为单调递减函数,在(1,ea)上为单调递增函数,(15分)综上可知:当a0时,函数r(x)递减区间为(0,ea),递增区间为ea,+),当a0时,函数r(x)递减区间为(0,1),递增区间为1,+),(16分)点评:本题主要考查函数导数在求函数切线方程、极值、单调区间中的应用,属于中档题型- 18 -
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