P0039-专题讲座——函数中的恒成立问题

1 数学中的恒成立问题 1 已知函数 1ln mxfx R 求 的极值 若 在 上恒成立 求 的取值范围 ln0a a 解 由导数运算法则知 令 得 当2ln mxfx 0fx emx 时 单调递增 当 时 单调递 0 e mx fx fxe f f 减 故当 时 有极大值 且极大值为 f mf 欲使 在 上恒成立 只需 在 上恒成立 K 等价于ln0 xa lnxa 0 只需 在 上的最大值小于 设 由 知 在 处lx 0 al gx gxe 取得最大值 所以 即 的取值范围为 1e1ea 1 e 2 已知函数 fxx 1 求函数 的单调区间 2 是否存在正常数 2 101xx 使 不 等 式 在 恒成立 如果存在 求出最小正数 否则请说明理由 解 1 由 1 1fx x 知 其 定 义 域 为 求导数得到 2fx 令 x 0 因此 0 10 f 在 上 为 减 函 数 在 上为增 0fx 函数 2 令 2211 4xtt 则 只需21 4tt 在 上恒成立 当 t 2 时 显然成立 当221 4 tt t 时 只 需 恒成立 又 221 44t 即 最小值为 4 3 已知二次函数 g x 对任意实数 x 都满足 21gxx 且 1g 令 19 ln 0 28fxm R 1 求 g x 的表达式 2 设 e 1 Hxfmx 证明 对任意 x1 x 2 m 恒有 2 12 Hx 解 1 设 2gxabc 于是 22111gxxacx 所以 2 ac 又 1 则 1 所以 2 2 因为对 xm 0 xmH 所以 Hx在 1 m内单调递减 于是 21211 ln Hx 22 3 lnln0 2 记 3lne hm 则 31 03h 所以函数 l2 在 1 是单调增函数 所以 e1 e022hm 故命题成 立 4 0 xkxf ln 1 已知 0 若 0 恒成立 求 的 取值范围 fk 2 0 判断 是否存在极值 若存在 求出极值 若 1ln xxg xg 不存在 说明理 由 解 1 0 2 时 0 0 f 2 kxx 2 1k kx f 在 0 上单调递增 0 符合题意 2 时 令 0 0 xf f0f f x 解得 0 时 0 在 0 单调递减 则 2 kx2 k x xf k 0 0 与已知矛盾 综上 0 f f 2 k Com 由 1 时 即 xg 2 1 ln 1 2 xx k2 xf0 在 没有极值点 1ln g 0g0 5 已知函数 l fxaxa 1 若 求 f的单调区间及 fx的最小值 2 若 0 求 x的单调区间 3 3 试比较 22ln3ln 1 n 与 的大小 2 nN 且 并证明你 的结论 解 1 1 lafxx 1 l 0 xfxxf 当 时 fx 在 区 间 上 是 递 增 的 01n 当 0 在 区 间 上 是 递 减 的 故 a 1 时 fx的 增 区 间 为 1 减 区 间 为 0 1 min 1 fxf 2 若 ln xaxfxxf 当 时 则 fx在 区 间 a 上是 递增的 当 10 0a 时 f 在区间 0 上是递减的 若1 l xfx当 时 1 0fxxxf 则 f 在区间 上是递增的 在区间 1 a上是递减的 当 0 ln 0 xafxfx 时 f在区间 0 a 上是递减的 而 f 在 处连续 则 在区间 上是递增的 在区间 0 1 上是递减的 综上 当 1 fx 时 的递增区间是 a 递减区间是 0 a 当 1 时 fx的递增区间 是 递减区间是 0 1 3 由 1 可知 当 1 x 时 有 1ln0 x 即 lx 22lnln 2223 221 3n 11 234 1 34n 2 nn 6 设函数 2l1fxbx 1 若对于定义域的任意 都有 成立 求实数 的值 1fx b 2 若函数 在定义域上是单调函数 求 的取值范围 fxb 4 3 若 证明对于任意的正整数 不等式 都成立 1b n3311 2nkf n 解 1 由 得 的定义域为 对 都有0 x 1x fx x fx 函数 定义域上连续 是函数 的最小值 故有 f 0f 21bf 2 4b 2 又函数 在定义域是单调函数 或2 1xfx fx 0fx 在 上恒成立 若 在 上恒成 0fx 0f 10 20 xb 1 立 即 恒成立 由此得 若 2 b 2 b f 即 恒成立 因 在 没有最小值 不存在实数2 x 2 x 使 恒成立 综上所知 实数 的取值范围是 0fxb 3 当 时 函数 令函数 1b 2 ln 1 f 323 ln 1 hfxx 则 当 时 函数 在32 xh 0 x 0 h 上单调递减 又 当 时 即 0 0 h 恒成立 故 取 23ln 1 xx 3f kN k xk 3 f 故结论成立 331 1kfn 7 已知函数 3si coxf 0 2 1 求 f的导数 f 2 求证 不等式 3sincos02x 在 上恒成立 3 求 21 0 singxx 的最大值 解 1 4233cosinco1f 2 由 1 知 其中 0 f 令 fxG 对 242331 ifxx Gx 求导得 5 8 已知函数 f x eg x g x e 是自然对数的底 1k 1 若函数 g x 是 1 上的增函数 求 k 的取值范围 2 若对任意的 x 0 都有 f x x 1 求满足条件的最大整数 k 的值 3 证明 ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 n n 1 2 n 3 n N 解 1 设 因为 g x 是 1 上的增函数 221 kkgx 所以 g x 0 得到 k 1 所以 k 的取值范围为 1 2 由条件得到 f 1 2 猜测最大整数 k 2 现在证明 12ln23 e 对任意 x 0 恒成立 等价于 1xe 1x 3ln 1 l 1xx 设 故 x 0 2 时 h x 0 当 x 2 时 2233 ln 1 hhx h x 0 所以对任意的 x 0 都有 h x h 2 ln3 1 2 即 对任意 x 0 恒成立 所以整 21xe 数 k 的最大值为 2 3 由 2 得到不等式 3 332ln ln 1 22 1 1 1 xkkk 所 以 ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 n n 1 所以原不等式成立 32 1 n 132322 2 1 1n n 6 9 已知函数 ln xfxkg 1 讨论方程 在区间 内的解的个数 f1 e 2 求证 55ln23ln 2 解 1 由 得 令 所以 方程 在区间 xgf 2lnxk2ln xh xgf 内解的个数即 为函数 的图像与直线 交点的个数 e eh 1 l 2 ky 当 时 当 在区间 内变化时 变化如下 3ln21 xh 0 xx e xh 时 单调递增 时 单调递减 当 e h 0 x 时 当 时 当 时 所以 当 或x1 2y ex ey21x 21eyek21 时 该方程无解 当 或 时 该方程有一个解 当 时 2ek k2k 该方程有两个解 2 由 知 2lnxe14lnxe12 44ln3ln e21 22131n n 1 3 11321 n 44l3l2n e2 55ll 44lln 55l3l2 e2 10 已知函数 f x ln 2 3x 2 1 求 f x 在 0 1 上的最大值 2 若对 恒成立 求实数 a 的取值范围 1 ln 3 062afx 不 等 式 3 若关于 x 的方程 f x 2x b 在 0 1 上恰有两个不同 的实根 求实数 b 的取 值范围 解 1 31 31 0 2 3f fxx 令 得 或 舍 去 当 单调递减 为函数 f 0 0 3xfxfxff 时 单 调 递 增 当 时 1ln36f x 在 0 1 上的最大值 2 由 33 ln 3 0lnln 22afxaax 得 或 7 设 依题意知 a h x 或 a g x 在233 lnln lnln 22x xhxgx x 上恒成立 1 62 223 316 0 0 3g hx A A A g x 与 h x 都在 上递增 要 使不等式 成立 当且仅当1 62 171 lnl 2625ahga 或 即 或 3 由 2 233 l 0 ln fxbxxbxxxb 令 上递增 27977 0 23 3x 令 当 时 于 是 在 而 上恰7 1 0 13xx 当 时 于 是 在 上 递 减 7 0 1 2 0 1 3fxbx 即 在 有两个不同实根等价于 ln207727 0 ln5l 2 363631 l5bbb 11 已知函数 n 2 axxf I 讨论函数 的单调性 II 设 1 a 如果对任意 0 21 x 4 2121xxff 求 a的取值范围 解 fx的定义域为 0 2 afxx 当 a 时 f 0 故 fx在 0 单调增加 当 1 时 f 0 故 fx 在 0 单调减少 当 1 a 0 时 令 fx 0 解得 2ax 则当 1 0 2ax 时 fx 0 1 2a 时 fx 0 故 f在 单调增加 在 1 2a 单调减少 不妨假设 12x 而 a 1 由 知在 0 单调减少 从而 8 12 0 x 1212 4fxfx 等价于 12 0 x 21 4 4fxfx 令 4gf 则 ag 等价于 g在 0 单调减少 即120ax 从而 2221 411xx 故 a 的取值范围为 2 12 已知函数 247xf 0 求 的单调区间和值域 f 设 函数 若对于任意 总存在1a 2301gxax 10 x 0 x 使得 成立 求 的取值范围 1gfx 解 对函数 求导 得 令 解得 f 24167xf 217x 0fx 或 当 变化时 的变化情况如下表 12x 7xf f x 0 12 1 f 0 x72A4A3 所以 当 时 是减函数 当 时 是增函数 当 时 10 fx12x fx 01x 的值域为 fx 43 对函数 求导 得 因此 当 时 gx 23gxa 1 0 x 2310gxa 因此当 时 为减函数 从而当 时有 x 0 x gxg 又 即当 时有 2 ga 1 213a 9 任给 存在 使得 则 1x 0 143fx 01x 01gxf 即 解 式得 或23a 24a a 53 解 式得 又 故 的取值范围为 1a 312a 13 已知定义域为 的函数 是奇函数 R12 xbfa 1 求 的值 b 2 若对任意的 不等式 恒成立 求 的取值范围 t 22 0ftftk k 解 1 因为 是奇函数 且定义域为 R 所以 fx f 1022xbfaa 又 知 而当 时 是奇函数 1 ff 2 4a 1b fx 2 由 知 易知 f x 在 上为减函数 或令1 2xxf 21x 则 即 210 x012 x 2121 21 xxxff 21xff 函 数 在 R 上为减函数 xf 方法二 由 知 12 1xxf 2 1 ln xf 即 函数 在 R 上为减函数 0 ln 02ln 2 xxR 0 ff 是奇函数 不等式 等价于 f 2 ftftk 222 ftftkft 因 为减函数 即 对一切 横成立 x 2tk 30 14120 3k 14 设函数 当点 是函数 图象上的点时 点 log 0 1 afxa Pxy fx 是函数 图象上的点 头htp w xjkygcom 126t j Qxay x 10 1 写出函数 的解析式 ygx 2 若当 时 恒有 试确定 的取值范围 头htp w xjkygcom 126t j 2 3a 1fxg a 解 头htp w xjkygcom 126t126 hp wxjkygco 1 设点 Q 的坐标为 x y 则 x x 2a y y 头htp w xjkygcom 126t j 即 x x 2a y y 头htp w xjkygcom 126t j 点 P x y 在函 数 y loga x 3a 的图象上 y log a x 2a 3a 即 y g x loga 头htp w xjkygcom 126t j la 2 由题意得 x 3 a a 2 3a 2 a 2 0 0 又 a 0 且1 3 a 1 0 a 1 f x g x loga x 3 a log a loga x2 4ax 3a2 1 1 log a x2 4ax 3 a2 1 x 1 0 a 1 a 2 2a 头htp w xjkygcom 126t j f x x2 4ax 3a 2 在 a 2 a 3 上为减函数 x loga x2 4ax 3a 2 在 a 2 a 3 上为减函数 从而 x max a 2 loga 4 4a x min a 3 loga 9 6a 于是所求问题转化为求不等式组 的解 头htp w xjkygcom 126t j 4 log6910a 由 loga 9 6a 1 解得 0 a 由 loga 4 4a 1 解得 0 a 所求 a 的取值12579 5 范围是 0 a 头htp w xjkygcom 126t j 579 15 定义在 上的函数 如果满足 对任意 存在常数 都有D f Dx M 成立 则称 是 上的有界函数 其中 称为函数 的上界 已知函数 fxM D fx 124 xxa 1 当 时 求函数 在 上的值域 并判断函数 在 上是否为有 f 0 fx 0 界函数 请说明理由 2 若函数 在 上是以 3 为上界的有界函数 求实数 的取值范围 fx 0 a 解 1 当 时 在 上递减 所以 1a 1 24 xxfx f 0 03fx 即 在 的值域为 故不存在常数 使 成立 所以函数 在 xf 3 M fx 上不是有界函数 2 由题意 在 上恒成立 xf 1 3 f xxa 4214 在 上恒成立 xxxx 12 0 11 设 minmax21214 xxx tx 2th14 tp12 由 得 t 1 设 0 12t 2121 0ttht 所以 在 上递减 在 上递增 在 0 2121 ttpt tp 1 th 上的最大值为 在 上的最小值为 所以实数 的取值范围为 5h tp 1 a 5 16 已知 试确定实数 m 的取值范围 使得对于211 23n nSnNfS 设 一切大于 1 的自然数 n 不等式 恒成立 2 1 log0 logmf 解 分析 由题意知 但由于无法求和 故对给出的不等式2321 nnf 难以处理 解决本题的关键在于把 看作 n 的函数 此时已知不等式恒成立就等价转 Nf 化为 函数 的最小值大于 而求最小值又应从研 nNf 2 1 2 log0 1 logmm 究 f n 的单调性入手 13 3 1321 112 nSnSSnn 24 3 1 fnSfn 0 4 2422 nnf 即 Nnffff 1 其 中 要使对于一切大于 1 的自然数 n 不等式09312 nf的 最 小 值 为 恒成立 只需不等式2 1 log0 log mmx 恒成立即可 由 21209 0 1 log 2 2 ym则此 时 设且得 019y于 是 上 不 等 式 可 变 为 1 log 2 my从 而 可 得 到 不 等 式解 由此易求得实数 m 的取值范围为 251 m且 12 17 已知函数 0 ln aexfx 1 求函数 的反函数 的导数y 1xffy及 xf 2 假设对任意 成立 求实数 m 的0ln 4l 3 1 mx不 等 式 取值范围 解 1 由 y f x ln ex a 得 x ln ey a 所以 y f 1 x ln ex a x lna aexfx ln 2 由 0 得 m 即对于 ln 1xffm ln laexx xxeae ln l x ln 3a ln 4a 恒有 e m ax x2 设 t ex u t t 于是不等式 化为 u t e m t t 3a 4a a 2 当 t1 t 2 t 1 t 2 3 a 4a 时 u t 2 u t 1 0 212212 attatt 所以 都是增函数 0 2311211212 tattttv tvu 因此当 时 的最大值为 的最小值为 而不等式 4 3 a u 5 4 tvu 38a 成立当且仅当 即 于是得 avem aem3851 ln 512ln m 解法二 由 得0 ln 1 xff l ln l xeexaee xxx 设 于是原不等式对于 ln l xaeax 恒成立 等价于 4l 3 x xm 由 注意到 故1 1 aexaexxxx 0aeaexx 有 从而可 均在 上单调递增 因此不等式 成0 与 4ln 3 立当且仅当 即 3ln4lnam 8 52lam 18 设函数 f x x2 mlnx h x x2 x a 13 1 当 a 0 时 f x h x 在 1 上恒成立 求实数 m 的取值范围 2 当 m 2 时 若函数 k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同零点 求实数 a 的取 值范围 3 是否存在实数 m 使函数 f x 和函数 h x 在公共定义域上具有相同的单调性 若存 在 求出 m 的值 若不存在 说明理由 解 1 由 a 0 f x h x 可得 mlnx x 即 lnx 记 lnx 则 f x h x 在 1 上恒成立等价于 min x 求得 21 当 e 时 0 当 xe 时 0 故 在 x e 处取得极小值 也是最小值 即 minxe 故 m 2 函数 k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同的零点等价于方程 x 2lnx a 在 1 3 上恰有两个相异实根 令 g x x 2lnx 则 2 1gx 当 1 x 时 0gx 当 3 x 时 0gx g x 在 1 2 上是单调递减函数 在 2 3 上是单调递增函数 故 min 2 lngx 又 g 1 1 g 3 3 2ln3 g 1 g 3 只需 g 2 0 解得 x 2m或 x 2 舍去 故 0m 时 函数的单调递增区间为 2m 单调递减区间为 0 2m 而 h x 在 0 上的单调递减区间是 0 12 单调递增区间是 1 故只需 1 解之得 m 12 即当 m 12时 函数 f x 和函数 h x 在其公共定义域上具有相同的单调性