弧长和扇形面积讲义(教师版).doc

教学目标掌握弧长、扇形面积公式，理解圆锥侧面展开图，并准确计算。重点难点弧长、扇形面积教学内容目录 Contents上节课回顾:作业检查+知识点复习新课：一、导入二、知识梳理+经典例题三、随堂检测四、归纳总结五、课后作业上节课回顾：一、作业检查情况 完成 未完成 二、知识点回顾新课：一、导入二、知识梳理+经典例题1.弧长公式 圆的面积C与半径R之间存在关系，即360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧长就是。 n的圆心角所对的弧长是 *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。2.扇形面积由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。在半径是R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n的扇形面积是： （n也是1的倍数，无单位）3. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。 母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122 4. 圆锥的性质 由图可得 （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系： 同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是： 圆锥的全面积为：圆柱侧面积：。例题赏析1.在中，120的圆心角所对的弧长为，那么O的半径为_cm。 答案：120 解：由弧长公式：得： 2.若扇形的圆心角为120，弧长为，则扇形半径为_，扇形面积为_。 答案：15；253.如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为_。 答案：904.已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为_cm。 答案：75.两个同心圆被两条半径截得的，又AC=12，求阴影部分面积。 解：设OC=r，则OA=r+12，O=n OC=18，OA=OC+AC=30 6. 例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。 解：正方形边长为a ， 叶的总面积为 *也可看作四个半圆面积减去正方形面积 7.已知AB、CD为O的两条弦，如果AB=8，CD=6，的度数与的度数的和为180，那么圆中的阴影部分的总面积为？ 解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合 如图，C点处于E点 的度数为180 AE是O的直径 ABE=90 又AB=8，BE=CD=6 由勾股定理 半径 8.在AOB中，O=90，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。 解：OA=4cm，O=90 ， 则阴影部分的面积为： 9.、是边长均大于2的三角形，四边形、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧， （1）图中3条弧的弧长的和为_ 图中4条弧的弧长的和为_ （2）求图中n条弧的弧长的和（用n表示） 解：（1），2 （2）解法1： n边形内角和为：（n2）180 前n条弧的弧长的和为：个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长 n条弧的弧长的和为： 解法2：设各个扇形的圆心角依次为 则 n条弧长的和为： 10.如图，在RtABC中，已知BCA=90，BAC=30，AC=6m，把ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？ 分析：在RtACB中，C=90，BAC=30，AB=6 法一： 法二：以B为圆心，BC为半径画弧 交AB于D，AB于D 有， 11.如图，已知RtABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？ 解： 以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为： 以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。 三、随堂检测1. 已知扇形的弧长为6cm，圆心角为60，则扇形的面积为_。1. 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是_。 2. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为_。3. 4. 如图，AB是O1的直径，AO1是O2的直径，弦MN/AB，且MN与O2相切于C点，若O1的半径为2，则O1B、CN、所围成的阴影部分的面积是_。4. 5. 如图，ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围5m内，（虚线以内，ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为_。5. 6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的，O与，都相切，则图中阴影部分的面积为_。6. 7. 如图，OA是O的半径，AB是以OA为直径的O的弦，OB的延长线交O于点C，且OA=4，OAB=45，则由，和线段BC所围成的图形面积是_。7. 8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（ ）8. A A. B. C. D. 9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，AOB=120，则阴影部分的面积为（ ）9. B A. B. C. D. 10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）10. B A. B. C. 4D. 11. （2004湖北黄冈）如图，要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？. 截法如图所示 根据圆的对称性可知： O1，O3都在O的直径AB上，设所截出的凳面的直径为r 则O1O2=r，O2O3=r， 又 12.在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。 （1）的路线：线段线段DB （2）的路线：线段线段FB（其中E、F为切点）由题意可知图答（1）路径： 图答（2）路径：如图连接OE、OF，连结CD 由题意可知A、C、D、B共线，且经过O点 E为切点，OEAE 在RtOAE中，AO=2EO A=30，AOE=60 同理BOF=60 同理 由计算可知图（2）路线较短。四、归纳总结五、课后作业1.一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为_。 答案：62.若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_。 答案：23.例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为_。 答案：1604.例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是_。 答案：1805.例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。 （1）画出它的展开图； （2）计算这个展开图的圆心角及面积。 解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图） （2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为，则l=50cm， =288（度） 6.例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。 解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得 即 在RtSOA中， 由此求得 故所求圆锥的侧面积为7.例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？ 解： h1=4， 答：至少要平方米的毛毡。