2018届江苏高考数学模拟试卷(1)数学之友

2018 届江苏高考数学模拟试卷 1 数学 I 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 则 02 1 AxBx ABU 2 设复数 是虚数单位 若 的虚部为 3 则 的值为 1a iza Rza 3 一组数据 5 4 6 5 3 7 的方差等于 4 右图是一个算法的伪代码 输出结果是 5 某校有 两个学生食堂 若甲 乙 丙三名学生各自随机选择其中的一BA 个食堂用餐 则此三人不在同一食堂用餐的概率为 6 长方体 中 则它的体积等于 1ABCD 1 2 3ABC 7 若双曲线 的焦距等于 4 则它的两准线之间的距离等于 23xya 8 若函数 是偶函数 则实数 a 等于 2xf 9 已知函数 f x 2sin x 0 若 f 0 f 2 则实数 的最小值为 3 2 10 如图 在梯形 中 ABCD 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含填空题 共 14 题 解答题 共 6 题 满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 考试证号等用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填写在答题 卡上 并用 2B 铅笔正确填涂考试号 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它位置作答 一律无效 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑 加粗 描写清楚 S 0 a 1 For I From 1 to 3 a 2 a S S a End For Print S 第 4 题 2 34 MDACADBCA 如果 M 则 11 椭圆 的左右焦点分别为 若椭圆上恰好有 6 个不同的点 2 1 0 xyCab 12 F 使得 为等腰三角形 则椭圆 的离心率的取值范围是 P12F C 12 若数列 的前 项的和不小于 则 的最小值为 1 n k20178k 13 已知 且 则 的最大值24 24 2sinsin cos tan 为 14 设 关于 x 的不等式 在区间 0 1 上恒成立 其中 M N 是与 x 无关 0ab 32 xaNMb 的实数 且 的最小值为 1 则 的最小值为 M 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 15 如图 在 中 已知 D 是边 AB 上的一点 ABC 7 45B o 求 3 120D o 1 CD 的长 2 的面积 16 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是平行四边形 E F 分别是 AB SC 的中点 1 求证 EF 平面 SAD A D C B A E D C B S F 2 若 SA AD 平面 SAD 平面 SCD 求证 EF AB 17 如图 有一椭圆形花坛 O 是其中心 AB 是椭圆的长轴 C 是短轴的一个端点 现欲铺设灌溉管道 拟在 AB 上选两点 E F 使 OE OF 沿 CE CF FA 铺设管道 设 若 CFO OA 20m OC 10m 1 求管道长度 关于角 的函数 u 2 求管道长度 的最大值 18 在平面直角坐标系 中 已知圆 和直线 其中 和 均为常数 且xOy22 Cxyr lxa r 为 上一动点 为圆 与 轴的两个交点 直线 与圆 的另一个交0ra Ml1A2 1MA2C 点分别为 PQ 1 若 点的坐标为 求直线 方程 2r 4 PQ 2 求证 直线 过定点 并求定点的坐标 19 设 函数 求 Rk 2 ln1fxkx 1 时 不等式 的解集 k 1fx 2 函数 的单调递增区间 xf 3 函数 在定义域内的零点个数 20 设数列 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列 nab 1 已知 求数列 的前 n 项的和 06 123 bnS 2 已知数列 的公差为 d 且 求数列 n 112 2naab na 的通项公式 用含 n d 的式子表达 nb 3 求所有满足 对一切的 成立的数列 11nab Nn nab 数学 附加题 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 在 ABC 中 延长 BA 到 D 使得 AD90 AB E F 分别为 BC AC 的中点 求证 DF BE 2 B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知曲线 对它先作矩阵 对应的变换 再作矩阵 对应的变换1C21xy 102A 01mB 其中 得到曲线 求实数 的值 0 m24xy m C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 已知圆 C 的参数方程为 为参数 直线 l 的参数方程为 t 为参12cos3inxy 1cosinxty 数 若圆 C 被直线 l 截得的弦长为 求 的值 0 且 13 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 对任给的实数 a 和 b 不等式 恒成立 求实数 x 的取值范围 0 12abax 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4 本试卷共 2 页 均为非选择题 第 21 23 题 本卷满分为 40 分 考试时间为 30 分 钟 考试结束后 请将答题卡交回 5 答题前 请您务必将自己的姓名 考试证号等用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填 写在答题卡上 并用 2B 铅笔正确填涂考试号 6 作答试题必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它 位 置作答一律无效 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑 加粗 描写清楚 第 21 A 题 B E C F D A 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱 ABC A 1B1C1 中 A A 1 AB AC 1 AB AC M N 分别是棱 CC1 BC 的 中点 点 P 在直线 A1B1 上 1 求直线 PN 与平面 ABC 所成的角最大时 线段 的长度 AP 2 是否存在这样的点 P 使平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 如果存在 试确定点 P 的6 位置 如果不存在 请说明理由 23 本小题满分 10 分 设函数 其中 n 为常数 sincosf N 1 当 时 是否存在极值 如果存在 是极大值还是极小值 0 2 f 2 若 其中常数 为区间 内的有理数 sicaa 2 求证 对任意的正整数 为有理数 n f A1 C1B1 M CNB A P 第 22 题 2018 高考数学模拟试卷 1 数学 答案 1 填空题答案 1 2 5 3 4 14 5 2 x 543 6 4 7 1 8 1 9 3 10 2 11 1 32 解 故离心率范围为 132cae 且 1 32 12 10 解 因为对任意的正整数 n 都有 12 12 nn 所以 的前 k 项和为 12 n 1 2 1 32 k 122 k 1 k 使 即 解得 因此 k 的最小值为 10 2087 2081 k 10 k 13 4 解 因为 所以 均不为 0 2 sincos 由 得 sin isn2 iita 于是 即 t1ta tantan 也就是 其中 均大于 1 2nn 由 所以 ttatt2 34t 令 341a1 当且仅当 时取等号 tanttnt tan 2 1 t4 1 t 14 426 解 则 恒成立 所以 在 0 1 上单调递增 3 xafb 23 6ln 0 xabfx fx 在 0 1 上的值域为 在 0 1 120 ff f 32 ab MxfN 上恒成立 故 所以 所以min31 1 32 aMNbb 24b 2346ab 所以 min 二 解答题答案 15 解 1 在 中 由余弦定理得 ACD 22cosACDACD 解得 22733cos10 5 2 在 中 由正弦定理得 BinsiB 5in7si4B oo 解得 52D 所以 BDCADCSSBCDABC sin21sin1 15335sin20i602 oo7538 16 解 1 取 SD 的中点 G 连 AG FG 在 中 因为 F G 分别是 SC SD 的中点 SCD 所以 FG CD 12C 因为四边形 ABCD 是平行四边形 E 是 AB 的中点 所以 AE CD AB 所以 FG AE FG AE 所以四边形 AEFG 是平行四边 形 所 以 EF AG 因为 AG 平面 SAD EF 平面 SAD 所以 EF 平面 SAD A E D C B S FG 2 由 1 及 SA AD 得 AGSD 因为平面 SAD 平面 SCD 平面 SAD 平面 SCD SD AG 平面 SAD 所以 AG 平面 SCD 又因为 所以 AG CD 因为 EF AG 所以 EF CD SCD面 又因为 所以 EF AB AB 17 解 1 因为 sin01 F tan10O tan10 2 AF 所以 sico2 ACEu 其中 52cos0 2 由 得 令 incs10 u 2 sinco01 u21cos0 u 当 时 函数 为增函数 2cos0 当 时 函数 为减函数 51 0 u 所以 当 即 时 m 2cos 3 31023sin 02max 所以 管道长度 的最大值为 m u 10 18 解 1 当 时 则 2r 4 M1 2 0 A 2 直线 的方程 解 得 1A30 xy 43xy 86 5P 直线 的方程 解 得 22 20 xy 2 Q 所以 方程为 PQ0 xy 2 由题设得 设 1 Ar2 r Mat 直线 的方程是 与圆 的交点 1MA tyxra C1 Pxy 直线 的方程是 与圆 的交点 2 2Q 则点 在曲线 上 1 Pxy2 Q 0rytxraytxr 化简得 2220artaxt 又 在圆 上 圆 1 xy2 C2xyr 得 2t 222 0rytrttxyr 化简得 22 0atax 所以直线 方程为 PQ2 rytxrty 令 得 所以直线 过定点 0y 2rxaPQ 0a 19 解 1 k 1 时 不等式 即 设 因为 1fx 2ln0 x 2 lngxx 在定义域 上恒成立 所以 g x 在 上单调递增 又 2 10gx 0 所以 的解集为 10 fx 1 2 由 得 2 0kxf 0fx 210kx 当 即 时 在 R 上恒成立 所以 的单调递增区间为280k 2 f 0 当 时 此时方程 的相异实根分别为2k 20k 210 xk 因为 所以 22188 44xx 12 0 x 12x 所以 的解集为 0fx 2288 44kk U 故函数 f x 的单调递增区间为 22 0 和 当 时 同理可得 的单调递增区间为 2k 0 21 021 xkx fx 0 综上所述 当 时 函数 的单调递增区间为 2k fx 2288 0 44kk 和 当 时 函数 的单调递增区间为 f 3 据 2 知 当 时 函数 在定义域 上单调递增 令 得 取k fx 0 210 xk 24kx 则当 x m 时 24max 1 k 2 fxk 设 所以 当 时 取0 2a 1 k lnfx 0 xe 0fx 则当 时 又函数 在定义域 上连续不间断 所以函数in 1 e 0 xn 0fx 在定义域内有且仅有一个零点 fx 当 时 在 上递增 在 上递减 2 k fx12 x 和 12 x 其中 0 0121 kx 则 2111 lnln fxx 21lnx 下面先证明 设 由 0 得 所以 h x 在 0 1 上递 h h 1x 增 在 上递减 所以 即 因此 1 0max x ln0 又因为 在 上递减 所以 所47 21 2 xf f12 21 fxf 以 在区间 不存在零点 20 由 知 当 时 的图象连续不间断 所以 在区间 上有且仅有一个x 0fx f fx2 零点 综上所述 函数 在定义域内有且仅有一个零点 fx 20 解 1 设 的公比为 q 则有 即 所以 从而 nb063 2 3 0q 2q 2 3nS 2 由 得 两式两边分112 2nnabab 121 2 nnabab 别相减得 由条件 所以 因此 n 1 N n 两式两边分别相除得 其中 q 是数列 的公比 11 2nnab 12nqa nb 所以 上面两式两边分别相除得 所以 即12 3 nq 221 3nn 3124a 解得 若 则 有 矛盾 所以112 4ad 11ad 或 da3104a04 b 满足条件 所以 1 2 nnb 3 设数列 的公差为 d 的公比为 q na n 当 q 1 时 所以 所以数列 是等比数列 又数列 是等差数列 从12nb 12nab na na 而数列 是各项不为 0 的常数列 因此 经验证 满足条件 na110 2nnb 当 时 1q 由 得 1nnba 11 ndabq 当 d 0 时 则 时 所以 此时令 得1 10n 1da 12dna 因为 所以 当 时 12dan 112da 121 由 知 10 bq 当 q 1 时 令 得 11 2nbq 12log qb 取 则当 时 不成立 11 12max log qdM 1nM 当 0 q 1 时 令 得 1nb 1log qb 取 则当 时 不成立 12 1ax log qd 2n 因此 没有满足条件的数列 nab 同理可证 当 d 0 时 也没有满足条件的数列 nab 综上所述 所有满足条件的数列 的通项公式为 n 10 2nn N 数学 附加题 答案 21 选做题 答案 A 选修 4 1 几何证明选讲 解 取 AB 中点 G 连结 GF 又 即 AC 为 DG 的垂直平分线 12ADB AG 90BAC DF FG 又 F 分别为 BC AC 中点 E EFEF 四边形 BEFG 为平行四边形 FG BE 由 得 BE DF B 选修 4 2 矩阵与变换 解 设 P 是曲线 上的任一点 它在矩阵 BA 变换作用下变成点0102mA 0 xy1C 则 则 即 Pxy 01xmxy 02yx 2 xym 又点 在曲线 上 则 在曲线 上 则 1C214x p2C14 故 所以 2m C 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 圆的直角坐标方程为 直线的直角坐标方程为 22134xy 1ykx tan 因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 则圆心到直线的距离为 32 即 又 或 2 3 1k 3k tan3 0 D 选修 4 5 不等式选讲 解 由题知 恒成立 abx 2 故 不大于 的最小值 1 x b 当且仅当 时取等号 2 abaa 0 ab 的最小值等于 2 x 的范围即为不等式 x 1 x 2 2 的解 解不等式得 152 x 必做题 答案 22 解 如图 以 A 为原点建立空间直角坐标系 则 A1 0 0 1 B1 1 0 1 M 0 1 N 0 22 设 p 则 1PA 1 1 PA N 2 1 是平面 ABC 的一个法向量 0 1m cos inPN 45 21 4 21 0 当 时 取得最大值 此时 12 5sin tan 即 当 时 取得最大值 此时 故 的长度为 t2 PA12 2 由 1 NM 2 PN 设 是平面 PMN 的一个法向量 xyz n 则 得 102 xyz 123yx 令 x 3 得 y 1 2 z 2 2 12 n 化简得 4 223 cos 91 mn 2103 100 4 4 13 108 0 方程 无解 不存在点 P 使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30 23 解 1 当 时 设 等价于 2 22 sinco sicos 0nnf 0cossin22 n A1 C1B1 M B A P x y z n 1 时 令 得 解得 所以 在 上单调递增 在 0 f 10sinco 4 f 0 4 上单调递减 所以 存在极大值 无极小值 42 f n 2 时 1 既无极大值 也无极小值 f 时 令 得 所以 所以 在 上单调递减 在3 0 sinco 42 f 0 4 上单调递增 所以 存在极小值 无极大值 42 f 3 由 得 2sincos1a 21sincoa 所以 是方程 的两根 sic20 x 2ax 222nnnnaaaf 当 为偶数时 kn2 222 24 242 knn knn aaCa 当 为奇数时 1k 222 2 14 24222 knnn knn aCaCa a 为 内的有理数 为正整数 为有理数 m f