1.1-锐角三角函数

1 1 锐角三角函数 1 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系 掌握三角函数的定义 2 能够进行 30 45 60 角的三角函数值的计算 3 经历探索三角函数的过程 发展学生观察 分析 发现的能力 教学重点 三角函数的定义 教学难点 特殊三角函数值 一 新课导入 如图是两个自动扶梯 甲 乙两人分别从 1 2 号自动扶梯上楼 谁先到达楼顶 如果 AB 和 A B 相等而 和 大小不同 那么它们的高度 AC 和 A C 相等吗 AB AC BC 与 A B A C B C 与 之间有什么关系呢 C B A CB A 21 3米 3米 2米4米 a 二 探索新知 1 三角函数的定义在 Rt ABC 中 如果锐角 A 确定 那么 A 的对边与斜边的比 邻 边与斜边的比也随之确定 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正弦 sine 记 作 sinA 即 sinA 斜 边的 对 边A A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦 cosine 记作 cosA 即 cosA 斜 边的 邻 边 A 的对边与 A 的邻边的比叫做 A 的正切 tangent 记作 tanA 即 锐角 A 的正弦 余弦和正切统称 A 的三角函数 注意 sinA cosA tanA 都是一个完整的符号 单独的 sin 没有意义 其中 A 前面的 一般省略不写 例 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AB 5 BC 3 求 A B 的正弦 余弦和正切 分析 由勾股定理求出 AC 的长度 再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系 求出各函数值 tanA A的 对 边 A的 邻 边 师 观察以上计算结果 你发现了什么 明确 sinA cosB cosA sinB tanA tanB 1 2 探索 30 45 60 角的三角函数值 观察一副三角尺 其中有几个锐角 它们分别等于多少度 一副三角尺中有四个锐角 它们分别是 30 60 45 45 sin30 等于多少呢 sin30 21 sin30 表示在直角三角形中 30 角的对边与斜边的比值 与直角三 角形的大小无关 我们不妨设 30 角所对的边为 a 如图所示 根据 直角三角形中 30 角所对的边等于斜边的一半 的性质 则斜边等于 2a 根据勾股定理 可知 30 角的邻边 为 a 所以 sin30 21 a cos30 23 a tan30 31 a 求 60 的三角函数值可以利用求 30 角三角函数值的三角形 因为 30 角的对边和邻 边分别是 60 角的邻边和对边 利用上图 很容易求得 sin60 23 a cos60 21 a tan60 3 a 也可以利用上节课我们得出的结论 一 锐角的正弦等于它余角的余弦 一锐角的余弦 等于它余角的正弦 可知 sin60 cos 90 60 cos30 2cos60 sin 90 60 sin30 21 含 45 角的直角三角形是等腰直角三角形 如图 设其中一 条直角边为 a 则另一条 直角边也为 a 斜边 a 由此可求得 sin45 21 cos45 21 a tan45 1 a 下面请同学们完成下表 用多媒体演示 30 45 60 角的三角函数值 三角函数角 sin co tan 30 21233 45 1 60 23213 例 1 计算 1 sin30 cos45 2 sin260 cos260 tan45 分析 本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值 今后若无特别说明 用特殊角三 角函数值进行计算时 一般不取近似值 另外 sin260 表示 sin60 2 cos 260 表示 cos60 2 解 1 sin30 cos45 12 2 sin260 cos260 tan 45 3 2 1 2 1 4 1 0 例 2 一个小孩荡秋千 秋千链子的长度为 2 5 m 当秋千向两边摆动时 摆角恰好为 60 且两边的摆动角度相同 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 结 果精确到 0 01 m 分析 引导学生自己根据题意画出示意图 培养学生把实际问题转化为数学问题的能 力 解 根据题意 如图 可知 BOD 60 OB OA OD 2 5 m AOD 21 60 30 OC OD cos30 2 5 23 2 165 m AC 2 5 2 165 0 34 m 所以 最高位置与最低位置的高度约为 0 34 m 做一做 1 计算 1 sin60 tan45 2 cos60 tan60 3 2sin45 sin60 2cos45 解 1 原式 3 1 2 2 原式 21 3 原式 3 2 231 2 某商场有一自动扶梯 其倾斜角为 30 高为 7 m 扶梯的长度是多少 解 扶梯的长度为 21730sin 14 m 所以扶梯的长度为 14 m 三 归纳小结 1 在 Rt ABC 中 设 C 90 0 为 Rt ABC 的一个锐角 则 的正弦 的余弦 斜 边的 对 边 sin 斜 边的 邻 边 cos 的正切 的 邻 边的 对 边ta 2 一般地 在 Rt ABC 中 当 C 90 时 sinA cosB cosA sinB tanA tanB 1 3 特殊角的三角函数值 sin30 21 sin45 2 sin60 23 cos30 3 co s45 cos60 1 tan30 tan45 1 tan60 3 请完成本作业本对应练习