中考数学动态几何.doc

中考动态几何问题考查的若干类型葛福寿【专题名称】中学数学教与学（初中读本）【专 题 号】G351【复印期号】2009年10期【原文出处】中学数学研究(广州)2009年7期第1822页【作者简介】葛福寿，安徽省宣城市第六中学(242000)。 随着课程改革的深入，不断贯彻实施数学课程标准，全国各地的中考试题中出现了许多富有时代气息的试题，“动态几何问题”已成为中考试题中的一大热点题型之一。 动态几何问题的主要特点是以几何为背景，赋运动、开放、探索于一体。就其运动对象及形式来看，有点动、线动、面动；就其数学实践的操作层面而言，有平移、旋转、翻折等。解答动态几何问题的基本策略是：以“静”制“动”。一般是先借助变化过程中的特殊位置关系，将各种情况的图形有代表性地分别画出来，然后充分运用分类、数形结合、转化等数学思想。 这类试题灵活性大，创意新颖、设计巧妙，能综合地考查学生对图形的想象能力和创新能力，这与新课改强调的考查同学们综合能力的要求不谋而合，因此备受命题者青睐。下面分类探析。 一、动点型 1.单动点型 例1（2008年上海市中考卷）已知AB=2，AD=4，DAB=90，ADBC（如图1）。E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点。 图1 (1)设BE=x，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； (3)连接BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE的长。 解析：(1)取AB中点H，连接MH，因为M为DE的中点，所以MHBE，MH=1/2(BE+AD)。又因为ABBE，所以MHAB。所以，得y=1/2x+2(x0)。 评析：此题考查了三角形的面积、直线和圆外切、三角形的相似等知识，点M的运动使图形变得多姿多彩，引导学生应用变化的观点看问题。这类试题涉及面广，思维跨度较大，能较好地考查同学们的知识综合能力。 2.多动点型 例2（2008年河南省中考卷）如图2，直线y=-4/3x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是(-2，0)。 图2 (1)试说明ABC是等腰三角形； (2)动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度。当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动。设点M运动t秒时，MON的面积为S。求S与t的函数关系式；当点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值。 解析：(1)将y=0代入y=-4/3x+4，得x=3，所以点B的坐标为(3，0)；将x=0代入y=-4/3x+4，得y=4，所以点C的坐标为(0，4)。在直角OBC中，因为OC=4，OB=3，所以BC=5。又A(-2，0)，所以AB=5，所以AB=BC，所以ABC是等腰三角形。 图3 图4 评析：本题设问梯度较好，第一问较简单，是“静态问题”。后一问要求高，突出了函数在动态几何中的运用，通过特殊位置来区分函数的不同变化趋势，增加题目的探究性。本题既考查了学生综合运用数学知识来分析问题、解决问题的能力，又考查了数形结合、分类讨论等重要的数学思想。 二、动线型 1.线平移型 例3（2008年甘肃省白银等九市州中考卷）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4，3)。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以1个单位长度每秒的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）。 (1)点A的坐标是_，点C的坐标是_； (2)当t=_秒或_秒时，MN=1/2AC； (3)设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； (4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由。 图5 图6 评析：此题的条件既相互关联又互相制约，在解题中“由数思形，以形促数”，可以开辟多角度、多层次的解题思维途径。从题目本身看，是“数”和“形”两个方面，从学生能力角度看，则是要考查学生的运算能力和对复杂图形的解构能力。 2.线旋转型 例4（2007年江西省中考卷）在同一平面直角坐标系中有6个点：A(1，1)、B(-3，-1)、C(-3，1)、0(-2，-2)、E(-2，-3)、F(0，-4)。 (1)画出ABC的外接圆P，并指出点D与P的位置关系。 图7 图8 评析：本题是一道以网格为背景，且依托于直角坐标系的几何综合题，试题用清新别致的问题形式考查了几何中的核心知识，要求同学的动手能力要强，画图要准，并有一定的空间想象能力。当六个点在网格中的位置确认无误后，通过穿插三点画圆、直线平移、旋转等一系列操作过程，发现A、B、C三点构成直角三角形，点D在圆P上，平移后的直线与圆相切，旋转后的直线与圆围成的是弓形等等，再依据勾股定理及其逆定理，三角形全等，圆的有关性质，切线的判定，弓形面积计算等进行演绎推理得出结果，对学生的能力要求较高。 三、动图型 1.图形平移型 例5（2008年河北省中考卷）如图9，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP。 (1)在图9中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系。(2)将EFP沿直线l向左平移到图10的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，试证明你的猜想。(3)将EFP沿直线l向左平移到图11（下页）的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ。你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，试说明理由。 图9 图10 解析：(1)AB=AP；ABAP。(2)BQ=AP；BQAP。证明：由已知，得EF=FP，EF=FP，所以EPF=45。又因为ACBC，所以CQP=CPQ=45，所以CQ=CP。在RtBCQ和RtACP中，BC=AC，BCQ=ACP=90，CQ=CP，所以BCQACP，所以BQ=AP。如图12（下页），延长BQ交AP于点M因为BCQACP，所以1=2。在RtBCQ中，1+3=90，又因为3=4，所以2+4=1+3=90，所以QMA=90，所以BQAP。(3)成立。证明：如图13（下页），因为EPF=45，所以CPO=45，又因为ACBC，所以CQP=CPQ=45，所以CQ=CP。在RtBCQ和RtACP中，BC=AC，BCQ=ACP=90，CQ=CP，所以BCQACP，所以BQ=AP。如图13（下页），延长QB交AP于点N，则PBN=CBQ。因为BCQACP，所以BQC=APC。在RtBCQ中，BQC+CBQ=90，所以APC+PBN=90，所以PNB=90，所以QBAP。 评析：本题以图形的平移为载体，搭建起一个让学生真正动起来的平台，让学生在猜想、探索的同时，考查了三角形的判定和性质，让学生学会用运动变化的观点考虑问题。 图11 图12 图13 图14 评析：本题利用图形旋转的不变性，探索了菱形在旋转过程中的线段的位置关系和比值关系。问题设置成从简单到复杂渐次展开的形式，使学生在解决问题的过程中，逐渐认识了问题的本质，对新课程下的教学方式必将产生积极的影响。 图15 图16 四、图形翻折型 例7（2008年浙江省衢州市中考卷）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图17所示，四个顶点的坐标分别为0(0，0)，A(10，0)，点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A），折叠经过点T，折痕TP与射线AB交于点P。设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S。(1)求OAB的度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，试说明理由。 图17 图18 图19 评析：本题通过折叠来考查有关的数学知识，真正体现了重视实践的理念，解决此类问题，应抓住一些隐含的位置关系和数量关系分类讨论来解决。这类问题对同学们思维能力的要求较高，梯度分明，便于区分不同同学的发展水平