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初三数学第23章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c例1求方程x2+3=2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积例2若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和例3若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围例4若是方程x2-5x+1=0的一个根，求2+的值1关于的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是（ ）AB或CD2一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（）1111或131311和133如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为，求道路的宽（部分参考数据：，）二、一元二次方程的一般解法基本方法有： （1）配方法； （2）公式法；（3）因式分解法。联系：降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根 公式法直接利用公式求根 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x2 +8x+12=0 2、3x2-x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=0 2、2x2+1=2x 3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0 注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式是=b2-4ac，1=b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根； 2=b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；3=b2-4ac0 Bk0的解集是_10已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_11若x=2-，则x2-4x+8=_12若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_13若a+b+c=0，且a0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_14若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_15若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是_三、计算题（每题9分，共18分）16按要求解方程：（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-x-6=0（精确到01）17用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=018若方程x2-2x+（2-）=0的两根是a和b（ab），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由19已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是ABC的三边长 （1）求方程的根；（2）试判断ABC的形状20某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？21李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”出租车司机说：“请付29.10元”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N12）是多少元里程（公里）0x336价格（元） N 【中考真题】22.（2008广州）方程的根是（ ） A B C D 23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价（ ）ABCD24.（2008威海）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 25（2008四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情况是（）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根26（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2-4x=0时只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_28(2008东莞市)在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80，求所截去小正方形的边长。29(2008年湘潭)阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:设是方程的两根，求的值.解法可以这样：则. 请你根据以上解法解答下题：已知是方程的两根，求：（1）的值；（2）的值.顶尖教育一元二次方程单元测试卷（考试时间：120分，满分： 150分）姓名 成绩评定 一、选一选（每小题3分，共36分） 1方程x2+4x=2的正根为（ ）A2- B2+ C-2- D-2+2已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（ ）A. B. C. D.3.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（ ）A9% B10% C11% D12%4.若使分式的值为零，则x的取值为（ ）A1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或15将方程3（2x21）=（x+）（x）+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。（ ）A5，3，5 B5，3，5 C7，2 D8，6，16某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（ ）A.（1+20%）2；a（120%）2 B；; a（120%）27已知一个三角形的两边长是方程的根，则第三边长y的取值范围是（ ）Ay8 B.2y8 C. 3y8 D.无法确定8一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是（ ）A16 B25 C52 D619若n是的根（，则m+n等于（ ）A B.-1 C. D. 110直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（ ）A D711如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的最大整数值 ( ) (A)1. (B)2. (C)0. (D)112已知一直角三角形的三边长为a、b、c，B=90，那么关于x的方程a（x21）2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法确定二、填一填 （每小题3分，共30分） 13方程（x-2）（x-3）=6的解为_14若x=2-，则x2-4x+4=_15.若关于x的方程有一根是2，则另一根为_16已知一元二次方程有一个根为，那么这个方程可以是_（只需写一个）17某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为_.18.要给一副长30cm,宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是_19.代数式的最小值是_20已知 则的值是_；21已知关于x的二次方程有实数根，则k的取值范围_22若，则=_三、解答题 （仔细是我们要培养的良好习惯）23（5分）（用配方法） 24. （5分）25（5分） 26. （5分）27. （5分） 28.（5分） 29（10分）已知关于x的方程（m+1）x+（m2）x1=0，问：（1）m取何值时，它是一元二次方程？并求方程的解； 30. （10分）如图，在长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建同样宽度的道路（图中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2,求道路的宽？31（10分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。32（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 温馨提示：恭喜你完成了这份试卷，请仔细再检查一遍，考试高分的技巧在于把会做的题目做对。、一、1B 点拨：方程与a的取值有关；方程经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程是分式方程；方程的二次项系数经过配方后可化为（a+）2+不论a取何值，都不为0，所以方程是一元二次方程；方程不是整式方程也可排除，故一元二次方程仅有2个2B 点拨：由a-30，得a33C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-24D 点拨：把原方程移项，变形为：x2=-由于实数的平方均为非负数，故-0，则k05B 点拨：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1 由于不论x取何值，-（x-2）20，所以-x2+4x-5-2且a0 点拨：不可忘记a010 点拨：把-1代入方程：（-1）2+3（-1）+k2=0，则k2=2，所以k=1114 点拨：由x=2-，得x-2=-两边同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14注意整体代入思想的运用12-3或1 点拨：由 解得m=-3或m=1131 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化为ax-（a+c）x+c=0，解得x1=1，x2=143cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=63，解之得x=3，由于边长不能为负，故x=-3舍去，故正方形的边长为3cm1530或-30 点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224解得x1=14，x2=-16，则另一个偶数为16，-14这两数的和是30或-30三、16解：（1）4x2-3x-1=0，称 ，得4x2-3x=1， 二次项系数化为1，得x2-x=， 配方，得x2-x+（）2=+（）2， （x-）2=，x-=，x=， 所以x1=+=1，x2=-= （2）5x2-x-6=0 原方程可化为（x+2）（x-3）=0， +2=0或-3=0， 所以x1=0.9，x2=1.3 点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题17解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1） 整理，得4x2-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-9 所以x= 即x1=，x2=（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0， （x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0， 所以x1=-1，x2= （3）设x2-3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0 解这个方程，得y1=-1，y2=-2 当y1=-1时，x2-3=-1x2=2，x1=，x2=- 当y2=-2时，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1 点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了方程（3）采用了换元法，使解题变得简单18解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2- 方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2 所以a、b、c的值分别是，2-，2 因为+2-=2，所以以a、b、c为边的三角形不存在 点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断19解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1（2）当x=0时，（a+c）02+2b0-（c-a）=0所以c=a当x=-1时，（a+c）（-1）2+2b（-1）-（c-a）=0a+c-2b-c+a=0，所以a=b即a=b=c，ABC为等边三角形 点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状20解：设该产品的成本价平均每月应降低x 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81 1-x=0.9，x=10.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10% 答：该产品的成本价平均每月应降低10% 点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价21解：依题意，N+（6-3）+（11-6）=29.10， 整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10， 由于N12，所以N1=19.1舍去，所以N=10 答：起步价是10元 点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付元22C23。 A24。B25。A26。-227。028.解：设小正方形的边长为. 由题意得，. 解得，. 经检验，符合题意，不符合题意舍去. . 答：截去的小正方形的边长为. 29解：（1）（2） 1、答案：解：（1）设地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米，由题意得，解得地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米（2）（元），该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元 （3）设这批货物有车，由题意得， 整理得，解得，（不合题意，舍去），这批货物有8车 做一个这样的箱子要花元钱 10分2、答案：解：（1）据表格，可得 解方程组，得（2）设2006年至2008年全省茶叶种植产茶年总产量的平均增长率为，2006年全省茶叶种植产茶面积为万亩，从而2006年全省茶叶种植产茶的总产量为（万吨）据题意，得，解方程，得， 或（舍去），从而增长率为3、答案：设这种箱子底部宽为米，则长为米， 依题意，得 解得（舍）， 这种箱子底部长为米、宽为米由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为（米） 9分
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