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“平行四边形的判定”（第一课时）教学实录与评析徐 利 执教（山东省茌平县杜郎口中学）喻汉林 评析（江西省教育厅教研室）教学内容青岛泰山版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第一章第二节第一课时。课型新授课。内容解析“平行四边形的判定”是初中数学几何部分重要的内容之一，这主要体现在知识技能和思想方法两个方面。从知识技能上讲，它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。本节课是在学生前面学段已经学过的平行四边形知识、本学段学过的四边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上作进一步较系统的整理和研究。本章内容的学习反复运用了平行线和三角形的知识，从这个角度来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的应用和深化教学目标（1）通过实验操作、猜想和证明的过程，体验数学研究和发现的过程，学会数学思考的方法（2）探索并证明平行四边形的判定定理1、2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。学会一些简单的应用 （3）发展学生的合情推理能力，进一步培养学生的逻辑推理能力，规范推理的书写格式教学重点平行四边形判定定理的探索与证明。教学难点平行四边形判定定理1、2的证明。教学方法先学后交（交流）,当堂拔高. 先学：学生在教师编制的预习学案的指导下先自学，遇到困难可以在小组内交流，也可以和教师交流,完成预习任务，在学生预习期间,教师参与到各学习小组中，对学生预习中出现的疑难进行点拨，指导。后交：学生以小组为单位展示自己的预习成果，在学生展示的过程中，教师及时追问，点评，拓展，评价。教具与学具硬纸片，剪刀.教学过程1预习师：通过以上两节课的学习，我们知道了什么是平行四边形，掌握了平行四边形的三个性质。同学们来思考一下，根据我们现在所学的知识，当一个四边形满足什么条件的时候，我们就可以判定它是一个平行四边形？生1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。师：判定一个四边形是平行四边形，除了运用定义外，还有哪些常用的方法呢？今天就让我们带着这个问题一起来探索平行四边形的判定定理。下面同学们以学案中的问题为线索，结合教材相关内容，进行自学。在自学过程中遇到困难，可以在小组内交流，也可以和老师进行交流。预习任务完成以后，我们将分组来展示同学们的预习成果。（学生以小组为单位围绕学案中的问题进行自学并适时交流，教师参与到小组中对学生遇到的困难及时进行指导。）2展示（15分钟后。）师：刚才同学们完成了预习任务，为了让每个组的同学都有参与机会，老师把预习任务分配一下：一组完成“实验探索，得出命题”；二组完成“猜想命题，证明判定定理1”；三组完成“探索判定定理2”；四组完成“学以致用”；五组完成“拓展”；六组完成“应用”。 每个组的同学用5分钟的时间共同交流一下，自己组的任务应该怎么去分析，讲解，点评，用什么样的展示方式进行展示。5分钟之后我们将从一组开始展示同学们的预习成果，下面各组开始准备！（学生以小组为单位，画图，讨论交流自己组的预习任务。）师：现在我们从第一组开始展示同学们预习交流的成果。在展示过程中，要求同学们认真听，及时把自己对这个问题的见解以及不同的方法表达出来。（1）第一组展示。生1：平行四边形是同学们生活中非常熟悉的一种图形,生2，请你举一个平行四边形的例子。生2：学校电动大门上的图案，楼梯扶手，窗户的玻璃都是平行四边形。生3：你是怎么知道它们是平行四边形的？生2：我发现它们的对边是平行的，所以是平行四边形。师：确切地说，应该是两组对边分别平行，这样的四边形是平行四边形。生2非常善于观察，其实只要认真观察，平行四边形的例子还有很多。生4：在数学中，仅凭观察就下结论往往是不够科学的。我们必须通过推理论证来确定我们的结论，下面请走进我们组的实验探索。实验探索，得出命题： 如图1，剪一个三边都不相等的三角形硬纸片ABC，再剪一个与它全等的三角形硬纸片A1B1C1；A11B1C1（2）ABC（1）图1 不翻转纸片，用这两个三角形拼成四边形，有几种不同的拼法？ 你拼出了几个四边形？拼出的各个四边形的两组对边分别相等吗？它们都是平行四边形吗？生5：先看第（1）题，如何剪一对全等的三角形？我们先将两张纸片重合，然后在第一张纸片上画一个三边都不相等的三角形，再剪出一对全等的三角形即可。生6：再来看第（2）题，注意题中给出的两个三角形在同一个方向，并不是相反的方向。我们先把三角形两个最短的边重合（边说边做纸片重合演示），这样就拼成了一个四边形，然后再把较长的边重合，又拼成了一个四边形，最后再把最长的边重合，又拼成了一个四边形。这里需要注意的是，题中的要求是“不翻转纸片”，这是这道题的易错点。如果可以翻转纸片，那么又会有几种拼法？大家讨论一下。（学生进行小组讨论。）师：（示停）根据刚才生6的提示，谁能表达一下自己的见解？生7：通过做实验，我们小组发现，如果可以翻转纸片，会有六种拼法。除了刚才生6说的那三种外，另外还有三种。（边说边走到黑板前，带着纸片在黑板上演示。）如果这样倒过来重合的话，就组成了这样一个四边形。师：刚才是怎样重合的？生7：刚才是这样（学生演示重合方法）。把它翻转过来以后，就成了这样的一个四边形。师：这样的话，刚才的三种拼法就变成了六种拼法。生6提的这个问题非常有价值。同学们想一想刚才的这三种拼法，谁能找到其中的窍门，我们是怎样拼出来的？生8：在两个三角形中，把较短的边相互重合，然后是把较长的边重合，最后是把最长的边重合。生9：简单地概括就是，在两个全等的三角形中，让它们的对应边重合。师：概括得非常好。生6：请问生10，我这样拼行吗？（边说边拿纸片进行演示：把最短的边和较长的边的一部分重合。）生10：不行。生6：为什么？生10：这样就不是一个四边形了。生9：所以，我们要认真读题，注意关键词和关键句。师：关键词是什么？生6：“四边形”和“不翻转”。在这个题中，还应该注意的是“图是同一个方向”。生11：拼出的四边形两组对边分别相等，它们是平行四边形吗？我们来看一看。首先用生6的第一种方法（边说边拿纸片进行演示），这样就拼成了一个四边形。请问生12，在这个三角形中，AB和A1B1是什么关系？生12：相等。生13：在这个四边形中，AB和A1B1是对边吗？生12：是。生9：由此类推，我们就可以得出，拼出的各个四边形两组对边应该是相等的。通过观察，我们可以看出，它们应该是平行四边形。生14：在证明对应边相等的时候，运用了全等三角形的对应边相等，我们证明了两个三角形全等，所以对应边相等。师：我们发现，两组对边分别相等的四边形都是平行四边形。这是一种巧合还是一种必然？下面请第二组的同学的展示。（2）第二组展示。师：刚才我们得到了一个命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。这个命题是真命题还是假命题？你们能用学过的知识验证这个结论吗？师：这个命题的条件和结论是什么？为了证明它是真命题，你们能写出已知、求证和证明吗？生15：在这个命题中，条件是一个四边形的两组对边分别相等，结论是这个四边形是平行四边形。生16：根据刚才的分析，我们可以写出已知条件：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。我们要求证的结论是：四边形ABCD是平行四边形。ABCD生16：如图2，做这个题，首先我们作辅助线AC，因为在ABC和CDA中，AB=CD，AD=BC，又因为AC=CA，所以我们可以得出ABCCDA，由此可以进一步得出ACB=CAD。所以ADBC。同理可得，ABCD。由ADBC，ABCD，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。 图2师：同学们想一想，刚才我们是用什么方法来证明四边形是平行四边形的？生17：刚才我们先是证明了两个三角形全等，得出两个角相等。然后根据内错角相等得到两组对边分别平行。最后用平行四边形的定义，判定了四边形ABCD是平行四边形。师：这是我们整个题目解题的出发点和归宿，只要证出两组对边分别平行，这道题就解决了。在这道题的解答过程中，有一条线非常重要，大家说是什么呀？生众：AC。师：为什么说它非常重要？谁来讲一讲？生18：因为连接AC以后，可以证明ABC和CDA全等。然后再根据全等得到对应角相等。在这个题中，我们可以知道，它们的两组对应角是内错角，再根据内错角相等得到两组对边是分别平行的。最后再根据定义得到四边形ABCD是平行四边形。师：通过连接AC，我们达到了一个目的：将一个四边形的问题转化为两个全等的三角形的问题。事实上，解决四边形问题时，我们常把其转化为三角形问题来解决。同学们想一想，除了连接AC 可以解答外，还可以怎样做？生18：连接BD。用同样的方法，我们也可以证明它是一个平行四边形。师：通过刚才的探索，我们证明了一个什么命题呢 ？生19：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。师：这就是我们今天得到的平行四边形的判定定理1。以后的解题过程中同学们可以直接使用这个定理判定平行四边形。同学们想一想，以后在证明过程中要应用这个定理，结合图，应该怎样写？生20：因为AB=CD，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形。师：到现在为止，我们有几种方法能够判定一个四边形是平行四边形？生21：两种。师：判定四边形是平行四边形我们的思路更宽了。看过第三组的展示后，你们会发现还有一种判定方法。好，让我们一起来看第三组同学的展示。 （3）第三组展示。师：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。如果一组对边平行且相等，能否证明此四边形是平行四边形呢？生23：我认为能证明这个四边形是平行四边形。如图3，在四边形ABCD中，ABDC，AB=DC，因为ABDC，所以1=2。ABCD1324图3在ABC和CDA中，AB=DC，1=2，AC=CA，所以我们能够证明ABC CDA。这里的根据是“边角边”定理，这两个三角形全等，我们就可以得出3=4，进而有ADBC。在四边形中，ABDC，ADBC，所以四边形ABCD是平行四边形。生24：我们已经验证：已知ABDC，AB=DC，就可以判定四边形ABCD是平行四边形。那么已知ADBC，AD=BC时，是否能得出同样的结论呢？生25：首先连接AC，已知ADBC，所以3=4。由已知AD=BC，3=4，AC=CA，我们可以得到ABC CDA 。生26：既然ABC CDA，那么我们就可以得到1=2。利用内错角相等，两直线平行，得到ABDC。已知ADBDC，这样由定义我们就可以得到这个四边形是平行四边形。师：通过刚才同学们的猜想、验证，我们发现，一个四边形，当它满足“一组对边平行且相等”时，这个四边形就是平行四边形，这就是平行四边形的判定定理2。谁能归纳一下判定定理2的内容？生28：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。师：现在能证明四边形是平行四边形的方法有三种了。我们证明四边形是平行四边形的思路更宽了。在证明判定定理2时，同学们用的是定义。还有其他方法吗？（4）第四组展示。生29：请同学们看这个图。我们使用的方法和第三组同学的方法有所不同。刚才已经证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形，我们可以应用这个定理来证明四边形ABCD是平行四边形。在题目中，我们已知AB=CD，我们想根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形来进行证明，所以我们需要证明AD=BC。如何证明AD=BC呢？由生23的证明可知ABCCAD，由此我们就得到AD=BC。生30：我们已知AB=CD，又得出了AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形。生31：做这个题最关键的就是连接四边形ABCD的对角线AC。师：同学们想一想，如果我把“一组对边平行且相等”改成“一组对边相等，另一组对边平行”。那么这个命题还是不是真命题？下面我们来看第五组的展示。（5）第五组展示。生32：下面我们以举反例的方法来看看它是不是平行四边形。同学们请看这个图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=32厘米，它符合题目的要求，但它不是一个平行四边形。因此我们可以得出：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。师：生32用的这个词我非常欣赏，哪个词？生众：不一定。师：对。“不一定”说明有可能是，也有可能不是。通过刚才第五组的展示我们学到了一种说明一个命题是假命题的方法，那就是举反例。相反，验证一个命题是真命题，必须利用推理的方法。刚才我们一起探讨了判定定理2的两种证法，现在我们有三种思路可以证明四边形是平行四边形。下面我们来看第六组同学是如何应用判定定理来处理解决问题的。（6）第六组展示。例 如图4，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD上的点，且AECG，BFDH。求证：四边形EFGH是平行四边形.ADCBFFEHG 图4生33：题中要求我们证明四边形EFGH是平行四边形。刚才我们学了三种方法，可以利用对边分别相等来证明这个四边形是一个平行四边形。先看一组对边EF和GH，它们分别在AEF和CGH中。要想证明EF=GH，可以尝试证明AEFCGH。我们先来看题中给我们的条件，从题目中我们可以知道，四边形ABCD是一个平行四边形。生34：刚才我们已经知道了AB=DC，AD=BC。又因为题目中的AE=CG，BF=DH，可以得出AF=CH，又因为A=C，AE=CG，所以就可以证明AEFCGH。生35：证明了这两个三角形全等以后，就能得出EF=GH，同理可得，FG=HE，所以四边形EFGH是平行四边形。师：通过第六组的展示，我们要体会一点。现在我们有了三种方法可以证明一个四边形是平行四边形。但是在选择方法的时候，同学们一定要根据题目中给出的已知条件选择合适的方法，并不是说每一种方法都适用。这里同学们要根据题目给的条件灵活选择。随着同学们学习的深入，我们还将要学习其他的判定四边形是平行四边形的方法，同学们证明平行四边形的思路会更加开阔。下课！教学反思在本节课上，学生变成了课堂的主人，他们画图，板演，分析，讲解，总结方法，归纳解题技巧，不仅收获着知识，还收获着成功与快乐。数学课成了学生预习成果的交流课，成了他们数学才能的展示课。教师由传统模式下的“主演”变为“导演”，成为学生学习的伙伴，成为课堂的组织者，引导者，参与者。当学生出现不到位现象时教师及时进行追问，从而使学生的理解更加深刻，增强展示的效果。 本节课也存在一些不足。例如，学生的数学语言的规范性不够，有部分同学在叙述定理或定义时语言不够严谨。又如，学生与学生的互动缺少价值性，有好多互动的问题只是停留在解决问题的表面层次。再如，学生在展示期间应该多给他们一些反思消化的时间，利用好帮扶小组，查缺补漏，提高课堂的学习效果。本节课体现了如下教育教学理念。（1）学生是学习的主人，而教师则是学习的组织者、引导者和合作者。教师要确认在教学过程中，学生是认识、探索、自学、发展的主体，把学习主动权交给学生。使学生在教师的引导下，在观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理的过程中，理解问题的提出、概念的形成和结论的获得，以及所学知识的应用。从而达到课程标准提出的：“既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；既要关注学生学习的水平，更要关注他们在实践活动中表现出的情感与态度”（2）由“关注知识”转向“关注学生”，以人为本，致力于培养学生的可持续发展的基本素质。更加关注学生的学习过程。因此，在教学知识的过程中，教师应尽量多地为学生提供自主探索的时间和空间，使学生有较多的独立获取知识的机会，做到“学生能独立思考的，教师不揭示；学生能独立操作的，教师不替代；学生能独立解决的，教师不示范。”【总评】本节课的教学给人以震撼和启迪。具体地，本节课有如下几个特点，值得借鉴、关注和研究。1.较好地实现了“三维目标”的整合与落实教者在引导学生复习平行四边形概念的基础上，提出问题：还有其他的判定方法吗？让学生带着问题开始学习活动。学生在教师的引导下，通过剪、拼和组内合作，提出猜想，在展示、置疑、补充中完成证明过程，然后继续探索发现并证明新的判定办法，并用所学判定方法和定义解决较为复杂的数学问题，让全体学生经历合情推理和演绎推理的全过程，使“双基”得到有效落实，推理能力得到锻炼。与此同时，情感、态度、价值观等伴随着知识技能的学习与运用过程而得到相应的发展，较好地解决了“三维目标”的虚化问题。2. 显示了良好的课堂文化课堂上，由于已建构了自由、平等、宽松、向上的课堂文化，学生积极、踊跃参与学习活动的全过程，热情高涨而持久。教师适时地组织、引导学习活动，倾听而不干预地关注学生的学习活动，以平等的态度与学生交流对话，帮助学生解决学习中的困难，鼓励学生表达自己的见解，体现了新型的和谐师生关系。从而使学习成为学生想去做、乐于做的事情，使教学成为教师展示自己与促进学生发展的舞台，使课堂成为师生的互动乐园。3.展现了新的教师角色定位教师既是学习活动的组织者、合作者，又是学生发展的引导者、促进者。一方面，教师对教学的各个环节、学生学习活动过程进行了全面合理的设计，先将学习任务分解给各个小组，然后组织分组展示学习活动成果；另一方面，教师在必要时进行到位的启发和讲解，使学生对内容的理解更加深刻、更加清晰。4.学生的学习方式有了根本转变本节课中，学生争先恐后的学习行为，积极参与自学、交流、合作、展示、补充、互评、提问、质疑、反思等的学习过程，“自主、合作、探究”的学习方式，给人留下了深刻的印象，学生主体地位得到了充分的落实。另一方面，仅就本节课有个问题值得探讨，就是过早地将任务分配给各个小组，是否会存在每个小组学生仅对自己小组所承担的任务有较深入的思考，而对其他小组任务涉及较少或仅停留于表面的现象呢？即对每个学生而言，学习目标是否都能得到全面有效的实现？虽然其他小组的展示能在一定程度上有所弥补。当然，这个问题也许他们已经解决了。
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