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第21部分轴对称课标要求（1）图形的轴对称。 通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。 能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。 探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。 欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。 （2）等腰三角形.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质2和一个三角形是等腰三角形的条件3；了解等边三角形的概念并探索其性质。（3）线段的中垂线和角的平分线了解线段垂直平分线及其性质1。 了解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。 注解 1 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 2 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。 3 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 第一讲 等腰三角形中考考点1. 等腰三角形（1）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角” 注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合。 注意：等腰是前提条件，一条线段为顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高线）是必要条件，这两个条件必须同时具备，才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上的高线（其他两条）的结论。 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45。（2）等腰三角形的判定：“等角对等边”2. 等边三角形（1）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60（2）等边三角形的判定有三条边相等的三角形是等边三角形。有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。典型例题解析例1 （1）等腰三角形的一个角是32，求底角. （2）等腰三角形的一个角是100，求底角. 分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角 . 解：（1）当32是底角时，底角即为32； 当32是顶角时，底角为，即为74. （2）因100只能是顶角，所以底角是，即为40. 例2 有一个等腰三角形，三边分别是3x2,4x3,62x,求等腰三角形的周长. 分析：已知等腰三角形三边长，说明必有两边相等，但必须分三种情况分析 . 解：（1）当3x24x3时，即x1， 则三边为1，1，4， 由于114，所以不成立； （2）当3x262x时， 即，则三边为由于，所以成立； （3）当4x362x时，即x1.5， 则三边为2.5，3，3， 由于2.533，所以成立. 由上可知等腰三角形周长为9或8.5. 注意 涉及到边的问题时，可以按腰、底边分类讨论。例3.如图的三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂。调整架身，使点A恰好在重锤线上。这时BC处于水平位置，为什么？解： AB=AC，BD=CD ADBC(三线合一) 使点AD恰好在重锤线上BC处于水平位置例4. 上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北航行，9时45分到达B处。从A测得灯塔C在北偏西26，从B测得灯塔C在北偏西52 ,求B、C两点的距离.解：据题意得，A26，DBC52 DBCA+C AC 26AB=BC AB= BC26.25（海里）答：B、C两点的距离为26.25海里.注意 “如果一个三角形的外角等于和它不相邻的一个内角的2倍，那么这是一个等腰三角形”，这是判定一个三角形为等腰三角形的重要方法。例5 已知：如图， DAC是 ABC的 外角， 1= 2,且AEBC。求证: AB=AC证明: AEBC 1= B(两直线平行,同位角相等) 2= C(两直线平行,内错角相等) 1= 2 B= C AB=AC(等角对等边)例6 如图，ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC，CE平分ACB，CE与BD交于点O，求图中所有的等腰三角形. 分析：识别等腰三角形关键寻找该三角形是否有两边相等或两个内角相等，一般用到三角形内角和与外角定理及等腰三角形性质与角平分线、平行线等性质 . 解： ABAC， ABCACB BD、CE平分ABC、ACB ABDCBDACEBCE36 AACE, AABD, OBCOCB ABD、ACE、OBC是等腰三角形. 又BECAACE72 BDCAABD72 BOECODOBCOCB72 BECABC，BDCACB BEOBOE，ODCCOD BOE、COD、BCE、BCD是等腰三角形. 图中等腰三角形共有8个，分别是ABC、ABD、ACE、OBC、BOE、COD、BCE、BCD. 例7 如图，在等边ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CECD，AB10cm. （1）求BE的长； （2）BDE是什么三角形，为什么？ 分析：（1）欲求BE，即求BC与CE的和，而BCAB10cm，即求CE. CE在DCE中，寻找关系CECD，即求CD，D为AC的中点，则CD5cm. （2）利用等边三角形的三线合一的性质，求DBEE. 解：（1）ABC是等边三角形， ABACBC10cm 又D是AC的中点， CDAC5cm 又CDCE CE5cm BEBCCE10515cm. （2）BDE是等腰三角形，理由： 等边ABC，D是AC的中点， ABCACB60 DBC 又CDCE CDECED 又ACBCDECED DEC DBECED BDED BDE是等腰三角形. 例8 求证：等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两端点距离相等。分析：这是一个文字叙述的几何证明题。因此首先要分清题设和结论。根据题设和结论画出图形，并标上字母，再根据图形写出已知、求证，然后证明。已知：如图，在ABC中，ABAC，BD、CE是两条角平分线，并且BD、CE交于点O。求证：OBOC。分析：要证两条线段相等，我们目前有三种方法：一是证这两条线段所在的两个三角形全等；二是利用角平分线的性质定理；三是利用等腰三角形的判定定理。由于要证的两条线段OB、OC在同一个三角形中，故可考虑利用“等角对等边”。将问题转化为证明这两条线段所对的两个角相等.证明: AB=AC(等角对等边)ABC= ACB BD、CE是两底角的平分线 OBC= ABC，OCB= ACB OBC=OCBOBOC。强化训练一、填空题 1.若等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，则另外两边长为_. 2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的底角为_. 3.在等腰三角形中，若一个内角是另一个内角的2倍，则它们的顶角为_. 4.如图所示，A20，ABBCCDDEEF，则FEM_. 5.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分为两部分的差为2cm，则该三角形的腰长为_. 二、选择题1.底和腰不相等的等腰三角形，其角平分线、中线和高一共有（ ）条. A.3 B.5 C.7 D.92.等腰三角形的底角与相邻角的关系是（ ）A.底角大于等于相邻外角；B.底角小于等于相邻外角 C.底角大于相邻外角 ； D.底角小于相邻外角3.如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，那么这个三角形的底角为（ ）度. A.45B.67.5 C.90 D.1354.已知：如图，在ABC中，D、E是BC上两点，AD、AE分别平分BAE、DAC，若B=C，ADE=AED=2B，则图中共有（ ）个等腰三角形 A.3 B.4 C.5 D.65.下列命题正确的是（ ）A.顶角相等的两个等腰三角形全等B. 等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半C.ABC中，C=2B，则AB=2ACD.等腰三角形底边上的高不会等于底边的一半 .6.下列语句正确的有（ ）个；（1）等腰三角形的高一定平分底边；（2）等腰三角形的角平分线垂直平分对边；（3）等腰三角形底角平分线垂直一腰；（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。 第2题第3题第4题A 1 B 2 C 3 D 4.三、解答下列各题1.已知ABC中，C=90，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请你写出三种不同的添加条件）（2）选择（1）中的某一个添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由。解（1）添加条件： ； ； 。（2）说明：2.已知:如图,在ABC中， AB=AC, BO、CO分别平分ABC、ACB并交于点O,过点O作 DEBC.问图中有多少个等腰三角形?3.如图：已知ABC中，AD=CD=DB。求证：ACB=904.如图所示，在ABC中，A100，BDBE，CDCF，求EDF的度数. 第二讲 轴对称 线段的垂直平分线、角平分线中考考点1.轴对称和它的性质（1）如果一个图形沿着一条直线折叠，能够和另一个图形相互重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它的对称轴。（2）关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等. 如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。2. （1）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的一点，到这条线段的两端的距离相等。反过来，到线段的两端的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（2）角平分线的性质在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等 典型例题解析例1 填空题（1）下列数字中，0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9，是轴对称的有 。 请找出3个轴对称的汉字 。（2）.下列图形中，是对称图形的且只有一条对称轴的是 ，有两条对称轴的是 ，有三条对称轴的是 ，有无数条对称轴的是_。例2 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）作法：1.作A关于a的对称点A;2.连结AB交a于点P.则点P即为所求.例3 已知ABC中，ABAC8cm，A50，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，BC6cm。求：(1)EBC的度数；(2)BEC的周长解:A=50 ABC+C=130AB=AC ABC=C=65 ( ) DE是AB的垂直平分线EA=EB( ) A= ABE=50 EBC =15 EA=EB BC+EC+CE=BC+EA+CE=AC+BC=8+6=14(cm)即 BEC的周长为14cm例4.ABC中，ADBC于D，ABBDDC求证：B2C 证法1：在DC上截取DEBD则DCBDDCDEEC而ABBDDC即DCBDABECABADBC于DAD是BE的垂直平分线ABAE（垂直平分线定理）BAEB（等边对等角）AEECEACC又AEBCEAC2CB2C证法2：延长DB到E，使BEAB则ABBDDEADBCABBDDCAD是EC的垂直平分线（垂直平分线定义）AEAC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）EC（等边对等角）又EEAB（等边对等角）ABDEEAB2C即B2C 【注意】有关线段和或差的问题，或者已知有关线段和或差的条件常常采取“截长”或者“补短”的办法来解决。“截长”就是在较长的线段上截取一条线段等于其中较短的线段，从而添上辅助线，如本题中的证法1。类似的，证法2即为“补短”。强化训练一、判断题 （1）关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.( )（2）等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.( )（3）若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称，则两个三角形关于该直线轴对称.( )（4）轴对称图形的对称轴有且只有一条.( )（5）正方形的对称轴有四条. ( )二、选择题1.ABC中C=Rt，有一点既在BC的对称轴上，又在AC对称轴上，则该点一定是( )A.C点 B.BC中点 C.AC中点 D.AB中点2.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.下列说法正确的是( )A.等边三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高C.直线AB不是轴对称图形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）5.点O为锐角ABC的C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则POQ一定是( )A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.下列图形中，既是轴对称，也是中心对称的图形是 （ ）A、 B、 C、 A、 B、 C、 D、三、填空题1. 一个等腰三角形中，角平分线、高线和中线的总数最多有_条.2.下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由答：图形 ；理由是 ：3.如图2（3），ABC中，DF是边AC的垂直平分线，AC=6cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为_.4.已知：如图2（4），把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O写出一组相等的线段_（不包括ABCD和ADBC）5.如图，AD是ABC的中线，ADC45，把ADC沿AD对折，点C落在点的位置，则与BC之间的数量关系是 四、解答题1. 如图，在正方形网格上有一个ABC. （1）作ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求ABC的面积.2、如图所示，P在AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F.若PEF的周长是20cm，求MN的长. 若AOB=30，试判断MNO的形状，并说明理由3.在ABC中，B2C，AD为A的平分线。第1题第2题第3题求证：ACABBD。第21部分复习测试题一、填空1.（2003年湖北省宜昌）三角形按边的相等关系分类如下：2.（深圳市2004年）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长为_.3. （四川资阳2004）如图，在ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PDAB，PEAC，则PDE的周长是_ cm.4. (2003年湖北省娄底)等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是_cm.图1（5）5.（河南省2003年）如图，在等腰梯形ABCD中AD/BC，AB=DC，CD=BC，E是BA、CD延长线的交点，E=40，则ACD=_度.6. (南宁市2003年) 将一张长方形的纸对折，如图5所示可得到一条折痕（图中虚线）续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕如果对折n次，可以得到 条折痕7.（宁夏2003）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合.那么，得到的图形是_边形,它的内角和（按一层计算）是_度.8.（北京市石景山区2004）在你学过的几何图形中，是轴对称图形的有_（写出两个即可）。9.（连云港市2004年）如图，平面镜A与B之间夹角为110，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若，则的度数为 第9题第10题10（浙江省温州市2003年）如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 二、选择题1 哈尔滨市2003年如图2(1)，ABC中，ABAC，点D在AC边上，且BDBCAD，则A的度数为（ ）（A）30 （B）36 （C）45 （D）702.(青海省2003)若等腰三角一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）（A）或（B）或（C）（D）3.（重庆市2003年）如图：ABP与CDP是两个全等的等边三角形，且PAPD。有下列四个命题：PBC150；ADBC；直线PC与AB垂直；四边形ABCD是轴对称图形。其中正确结论的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、44.（2004年南通市）已知等腰三角形的一个底角等于30，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）A、150B、120C、75D、305.（长春市2004年）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个6.（2003年陕西）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（ ）A 矩形 B 三角形 C 梯形 D 菱形7.（2003上海闵行）如图，在RtABC中，C900，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果ABD是等腰三角形，那么A等于（ ） A、600 B、450 C、300 D、22.50三、完成下列各题1（2003年山西）请用1 个等腰三角形，2个矩形，3个圆，在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简炼的文字说明你的创意。2.（2003湘潭市）如图，107国道OA和320国道OB在我市相交于O点，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC=PD，画出货站的位置（不写画法，保留作图痕迹，写出结论）.3（长春市2004年）如图，RtABC中，C=90. （1）请以AC所在的直线为对称轴，画出与ABC成轴对称的图形；（2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由.E图4DBCAFACB图2图34（河南省2003年）已知：如图8，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D是BC的中点，CEAD，垂足为点E，BF/AC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF. 5.（2003年无锡市）做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.6. （2003年山西）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得RtABE，如图（2）；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图（3）。ABCDE图四图五利用展开图（4）探究：（1）AEF是什么三角形？（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。四、(2004泰州市)已知：如图，点D、E在ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证：AB=AC五、（河南省2001年）如图，在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC，求BC的值
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