浙大第二章随机变量及其分布.ppt

应用数理学院 第二章随机变量 一 随机变量概念的产生 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 第一节随机变量 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 七月份郑州的最高温度 每天从郑州下火车的人数 昆虫的产卵数 2 在有些试验中 试验结果看来与数值无关 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样 二者建立了一种对应关系 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数 e X e R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗 1 它随试验结果的不同而取不同的值 因而在试验之前只知道它可能取值的范围 而不能预先肯定它将取哪个值 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 称这种定义在样本空间上的实值函数为 随 量 机 变 简记为r v randomvariable 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 二 引入随机变量的意义 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 X1 没有收到呼叫 X 0 三 随机变量的分类 通常分为两类 如 取到次品的个数 收到的呼叫数 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个一一列举 例如 电视机的寿命 实际中常遇到的 测量误差 等 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 这两种类型的随机变量因为都是随机变量 自然有很多相同或相似之处 但因其取值方式不同 又有其各自的特点 学习时请注意它们各自的特点和描述方法 设X是一个离散型随机变量 它可能取的值是x1 x2 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个值的概率 第二节离散型随机变量 其中 k 1 2 满足 2 用这两条性质判断一个函数是否是概率分布 一 离散型随机变量概率分布的定义 二 常见的离散型随机变量的概率分布 I 两点分布 设E是一个只有两种可能结果的随机试验 用 1 2 表示其样本空间 P 1 p P 2 1 p 来源 X 1 10 2 每次试验成功的概率都是p 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验 简称贝努里试验或贝努里概型 用X表示n重贝努里试验中事件A 成功 出现的次数 则 称r v X服从参数为n和p的二项分布 记作 X B n p II 二项分布 注 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求 但有下述要求 1 每次试验条件相同 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 成功 次数X的概率分布 2 每次试验只考虑两个互逆结果A或 且P A p 3 各次试验相互独立 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 1 2 且概率分布为 其中 0是常数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X P III 泊松分布 由泊松定理 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件 如地震 火山爆发 特大洪水 意外事故等等 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 第三节连续型随机变量 一 连续型r v 及其概率密度函数的定义 1o 2o 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某r vX的概率密度函数的充要条件 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 对f x 的进一步理解 要注意的是 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 若不计高阶无穷小 有 它表示随机变量X取值于的概率近似等于 二 随机变量的分布函数 设X 是一个随机变量 称函数F x P X x x 为随机变量X的分布函数 分布函数的性质 1 a b 总有F a F b 单调非减性 2 F x 是一个右连续的函数 3 x R1 总有0 F x 1 有界性 且 定义 即 设离散型随机变量X的分布律为pk P X xk k 1 2 X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 分布函数F x 是一个右连续的函数 在x xk k 1 2 处有跳跃值pk P X xk 如下图 图2 2 1 所示 连续型r v 的分布函数 即分布函数是密度函数的可变上限的定积分 由上式可得 在f x 的连续点 三 常见的连续型随机变量 正态分布 均匀分布 指数分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由高斯 Gauss 加以推广 所以通常称为高斯分布 德莫佛 德莫佛 DeMoivre 最早发现了二项分布的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 I 正态分布 1 正态分布的定义 若r v X的概率密度为 记作 f x 所确定的曲线叫作正态曲线 其中和都是常数 任意 0 则称X服从参数为和的正态分布 Normal 2 正态分布的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 故f x 以 为对称轴 并在x 处达到最大值 令x c x c c 0 分别代入f x 可得 f c f c 且f c f f c f 这说明曲线f x 向左右伸展时 越来越贴近x轴 即f x 以x轴为渐近线 当x 时 f x 0 用求导的方法可以证明 为f x 的两个拐点的横坐标 x 这是高等数学的内容 如果忘记了 课下再复习一下 若r v X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 X U a b II 均匀分布 Uniform 注 X U a b 均匀分布常见于下列情形 如在数值计算中 由于四舍五入 小数点后某一位小数引入的误差 例如对小数点后第一位进行四舍五入时 那么一般认为误差服从 0 5 0 5 上的均匀分布 则称X服从参数为的指数分布 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命 III 指数分布 若r vX具有概率密度 常简记为X E