轴向拉伸与压缩教学教案.doc

第2章 轴向拉伸与压缩2.1 轴向拉伸与压缩的概念 在工程结构中，承受轴向拉伸或压缩的构件相当多。例如图21所示的联接螺钉，当拧紧螺帽时，被拧紧的工件对螺钉有反作用力，其合力将通过螺钉横截面的形心，并且沿螺钉轴线的方向使螺钉受拉。图22所示的内燃机连杆，在燃气爆发冲程中受压。这类杆件的受力特点是：外力合力的作用线与杆的轴线相重合；其变形特点是，杆件产生沿杆轴线的伸长或缩短。本章只研究直杆的拉伸与压缩，因此可将这类杆件的形状和受力情况进行简化，得到如图23所示的受力简图。图中的实线为受力前的形状，虚线表示变形后的形状。 2.2 轴向拉伸或压缩时的应力一、横截面上的内力 取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反，作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图24a所示。为了显示拉杆横截面上的内力，沿横截面假想地把拉杆分成两部分。杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为，如图24b和24c所示。由左段的静力平衡条件得因为外力F的作用线与杆轴线相重合，所以内力合力的作用线也一定与杆轴线相重合，故称为轴力（normal force）。为了使左右两段同一截面上的轴力，不仅大小相等而且正负符号也相同，必须联系变形，对轴力的符号作如下规定：使杆产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负。 二、横截面上的应力 仅仅知道杆件横截面上的轴力并不能解决杆的强度问题。例如，两根材料相同而横截面面积不同的直杆，受到同样大小的轴向拉力作用，两杆横截面上的轴力也相同。当轴向拉力逐渐增大时，横截面面积小的直杆，必定先被拉断。这说明杆件强度不仅与轴力大小有关，而且与横截面面积有关。所以必须用横截面上的应力来度量杆件的强度。 在拉(压)杆横截面上，与轴力相对应的是正应力。要确定该应力的大小，必须了解在横截面上的分布规律。由于内力与变形之间存在一定的关系，因此可通过实验的方法观察其变形规律，从而确定正应力的分布规律。 取一等直杆，在其侧面上画两条垂直于轴线的横线ab和cd，如图25a所示。然后在杆两端施加轴向拉力，使杆产生拉伸变形。可以发现，ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别平移到了和。这一现象是杆件变形在表面的反映。由此推测，杆内部的变形情况也是如此。因此可作如下假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。这个假设称为平面假设。由平面假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。根据材料均匀性假设，每根纵向纤维受力相同，所以横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力相等，如图25b所示。 若杆的横截面面积为，则微面积上的法向内力元素组成一垂直于横截面的平行力系，其合力为。于是由静力关系得 = 由于横截面上各点处的正应力相等，则= (21)式（21）为拉杆横截面上正应力的计算公式。式中为横截面上的正应力，为横截面上的轴力，为横截面面积。公式(21)也同样适用于轴向压缩的情况当为拉力时，为拉应力，规定为正，当为压力时，为压应力，规定为负。应该指出，在载荷作用点附近的截面上，正应力均匀分布的结论有时是不成立的。在实际构件中，载荷以不同的加载方式施加于构件。不同的加载方式，对截面上的应力分布是有影响的。但是，实验研究表明，杆端加载方式的不同，只对杆端附近截面上的应力分布有影响，其影响长度不超过杆的横向尺寸。这一论断，称为圣维南（Saint-Venant）原理。根据这一原理，在拉压杆中，离外力作用点稍远的横截面上，应力分布便是均匀的了。 例2-1 一变截面圆钢杆ABCD，如图26a所示。已知F=20kN，F=35kN，F=35kN，d=12mm，d=16mm，d=24mm，试求： 1.各截面上的轴力，并作轴力图： 2杆的最大正应力。 解：(1)求轴力及轴力图 用截面分别在II、截面处将杆截开，保留右边部分，各截面上的轴力分别以、表示，并均假定为拉力，各部分的受力简图分别如图26b所示。由各部分的静力平衡方程可得 其中负号表示轴力与假定方向相反，即轴力为压力。由于钢杆受到两个以上的轴向外力作用，因而杆的各部分横截面上的轴力将不相同。杆的各横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可用轴力图表示。 选取一坐标系，其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面的轴力，然后根据AB，BC和CD段内的轴力的大小与符号，可绘出表示钢杆轴力与截面位置关系的图线，即所谓轴力图(diagram of normal force)。习惯上将拉力画在x轴的上侧，压力画在x轴的下侧。这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小，而且还可看出各段的变形是拉伸还是压缩。根据AB、BC、CD段内轴力的大小和符号，画出的轴力图，如图26c所示。(2)求最大正应力 由于圆截面钢杆为一阶梯形，故AB、BC及CD三段内不仅内力不同，而且横截面面积亦不同，这就需要分段求出各横截面上的正应力。利用式(21)可分别求得AB、BC和CD段内的正应力为 可见，最大正应力发生在AB段内，其值为 三、斜截面上的应力 设一等直杆受到轴向拉力的作用，其横截面的面积为，要求任意斜截面上的应力。设该斜截面的外法线与轴的夹角为，图27a所示。采用截面法可求得截面上的内力为 如图27b所示。仿照证明横截面上应力均匀分布的方法，也可得出斜截面上应力均匀分布的结论。若以表示斜截面的面积，表示其上的应力，则有 因，故 =式中的，即横截面上的正应力。将应力分解成垂直于斜截面的正应力和相切于斜截面的剪应力，如图27c所示。应力的符号规定为：正应力符号规定如前所述；剪应力对截面内侧任意点的矩为顺时针转向时规定为正，反之为负。的符号规定：由轴转到外法线为逆时针转向时，规定为正，反之为负。按上述符号规定，图27c中、和皆为正。由图27c可知 (22)从上式看出，和均随角度而改变。当时，斜截面即为垂直于杆轴线的横截面，达到最大值，其值为 当时，达到最大值，其值为这就是说：轴向拉(压)杆的最大正应力发生在横截面上，最大剪应力发生在与轴线成45角的斜截面上。2.3材料在拉抻时的力学性质 构件的强度，除与其横截面上的应力有关外，还和材料的力学性质有关。例如，横截面面积相等的二直杆，一根为木材，另一根为钢材，二杆抵抗破坏的能力显然是不同的。因此，需要研究材料的力学性质。所谓材料的力学性质是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特征。材料的力学性质，是通过各种试验测定得出的。材料的力学性质和加载方式、温度等因素有关。本节主要介绍材料在静载(缓慢加载)、常温(室温)下的力学性质。常温静载拉伸实验是测定材料力学性质的基本试验。其方法和要求，在国家标准金属拉力试验法中有详细规定。为了便于对不同材料的试验结果进行比较，应按国家标准规定将材料做成标准试件。对于金属材料，通常采用圆柱形试件，其形状如图28所示。长度为标距。标距一般有两种，即5d，=10d。前者称为短试件，后者称为长试件。式中的d为试件的直径。 低碳钢和铸铁是两种不同类型的材料，而且是工程实际中被广泛使用，它们的力学性质比较典型。因此，以这两种材料为代表，来说明材料在常温静载条件下拉伸时的力学性质。 一、低碳钢拉伸时的力学性质 将低碳钢试件两端装入试验机的夹头内，然后缓慢加载，使其产生拉伸变形。加在试件上的拉力F可通过试验机的测力装置读出。试件标距段的伸长可用引伸仪测得。利用试验机的自动绘图装置，可以画出试件在试验过程中标距段的伸长和拉力F之间的关系曲线。该曲线的横坐标为，纵坐标为F，称之为试件的拉伸图。图29为低碳钢的拉伸图。 拉伸图与试件的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，将拉力F除以试件的原横截面面积，以横截面上的应力作纵坐标，将伸长量除以标距的原始长度，以试件标距内的应变(=)作为横坐标，从而获得曲线，如图210所示，称为应力应变图或曲线(stress-strain curve)。 由低碳钢的曲线可见，整个拉伸过程可分为下述的四个阶段： 1弹性阶段 在这个阶段内，材料的变形完全是弹性的。亦即是说，当应力小于点所对应的应力时，如果卸去外力，变形全部消失，这种变形称为弹性变形(elastic deformation)。因此，这一阶段称之为弹性阶段。相应于点的应力用表示，它是材料只产生弹性变形的最大应力，故称为弹性极限(elastic limit)。 在弹性阶段内，开始为一斜直线。然后是曲线。这表示当应力小于点相应的应力时，应力与应变成正比，即 或者写为 (23)这就是拉伸或压缩时的虎克定律(Hookes law)。式中的E称为材料的弹性模量(modulus of elasticity)，其量纲与相同，常用单位为GPa。由(23)式可知 即E为斜线的斜率。与点相应的应力用表示，它是应力与应变成正比的最大应力，故称之为比例极限(proportional limit)。在曲线上，与极为接近，因此工程中对弹性极限和比例极限并不严格区分。Q235的比例极限。 当应力超过弹性极限后，若卸去外力，材料的变形只能部分消失，另一部分将残留下来。残留下来的那部分变形称为残余变形或塑性变形(plastic deformation)。 2屈服阶段 当应力达到点的相应值时，应力几乎不再增加，仅有微小的波动，而变形却增长，在曲线上出现一条近似水平的小锯齿形线段，这种应力几乎保持不变而应变显著增长的现象，称为屈服或流动(yield)。阶段称之为屈服阶段。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。由于上屈服极限受试验的某些因素影响较大，一般不如下屈服极限稳定，故规定下屈服极限为材料的屈服极限(yield limit)，用表示。 Q235的屈服极限为。 若试件表面经过磨光，当应力达到屈服极限时，可在试件表面看到与轴线约为成的一系列条纹，如图211所示。这是由于材料内部晶格间相对滑移而形成的，故称为滑移线。由前面的分析知道，轴向拉压时，在与轴线成的斜截面上有最大的剪应力。可见，滑移现象是由于最大剪应力达到某一极限值而引起的。 3强化阶段 在屈服阶段，材料不能抵抗变形的增长。过了点后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力，这种现象称为材料强化。从点到曲线的最高点，即阶段为强化阶段。点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，故称强度极限(strength limit)，用表示。Q235的强度极限=380470。在这一阶段中，试件横向尺寸有明显地缩小。 如果在这一阶段中的任意一点处，逐渐卸掉拉力，此时应力应变关系将沿着斜直线回到点，且近似平行于。这时材料产生大的塑性变形，横坐标中的表示残留的塑性应变，则表示弹性应变。如果重新加载，应力应变关系大体上沿卸载时的斜直线变化，到点后又沿曲线变化，直至断裂。从图中看出，在重新加载过程中，直到点以前，材料的变形是弹性的，过点后才开始有塑性变形。比较图中的和两条曲线可知，重新加载时其比例极限即得到提高，故材料的强度也提高了，但塑性变形却有所降低。这说明，在常温下将材料预拉到强化阶段，然后卸载，再重新加载时，材料的比例极限提高而塑性降低，这种现象称为冷作硬化。在工程中常利用冷作硬化来提高材料的强度，例如用冷拉的办法可以提高钢筋的强度。可有时则要消除其不利的一面，例如冷轧钢板或冷拔钢丝时，由于加工硬化，降低了材料的塑性，使继续轧制和拉拔困难，为了恢复塑性 则要进行退火处理。 4局部变形阶段 在点以前，试件标距段内变形是均匀的。当到达点后，试件变形开始集中于某一小段内，横截面面积出现局部迅速收缩，形成颈缩现象(neking)，如图212所示。由于局部的截面收缩，使试件继续变形所需的拉力逐渐减小，因此，用原横截面面积A去除拉力F所得出的应力随之下降，直到f点试件断裂。 从上述的实验现象可知，当应力达到时，材料会产生显著的塑性变形，而构件的塑性变形，将影响机械或结构物的正常工作，当应力达到时，材料会由于颈缩而导致断裂。屈服和断裂，均属于破坏现象。因此，和是衡量材料强度的两个重要指标。 材料产生塑性变形的能力称为材料的塑性性能。材料的塑性性能好坏是工程中评定材料质量优劣的重要方面，衡量材料塑性的指标有延伸率和截面收缩率延伸率(percentage elongation)定义为 (24)式中:试件断裂后的标距长度，原标距长度。截面收缩率(percentage reduction in area of cross-section)定义为 (25)式中：试件断裂处的最小横截面面积，A试件原横截面面积。 工程中常根据材料塑性性能的好坏，将材料分为塑性材料(ductile materials)和脆性材料(brittle materials)两类。一般将5的材料归为塑性材料，5的材料为脆性材料。Q235的延伸率=2030，截面收缩率60，所以是塑性性能很好的材料。 二、铸铁拉伸时的力学性质 铸铁拉伸时的应力应变曲线如图213所示。由图可知，其力学性质有如下几个特点： 1整个拉伸过程没有明显的直线阶段，其应力应变关系为一微弯的曲线。2没有明显的塑性变形，直至拉断，变形很小，是典型的脆性材料。 3由于铸铁没有屈服现象，因此强度极限是衡量强度的唯一指标，而且数值比较低，大约为120150MPa。由于应力应变曲线没有明显的直线部分，严格说来，虎克定律不再适用。但在工程中，在较低的拉应力下可以近似地认为变形服从虎克定律。通常用一条割线来代替曲线，如图213中的虚线所示，并用它确定弹性模量E。这样确定的弹性模量称为割线弹性模量(secant modulus) 三 其它材料拉伸时的力学性质图214a中给出了几种材料的应力应变曲线。它们有一共同特点是拉断前均有较大的塑性变形，即均为塑性材料。然而这几种材料的应力应变规律却大不相同。除16Mn钢和低碳钢一样有明显的弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段外，其它材料并没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，我国及世界上大多数国家规定，以产生 0.2的塑性应变值所对应的应力值作为屈服极限，并称为条件屈服极限(conditional yield limit)，用来表示，如图214b所示。由图214a可以看出，16Mn钢的屈服极限和强度极限均比Q235钢有显著提高，而这种低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，因而目前在国内得到广泛使用。 2.4 材料在压缩时的力学性质材料的压缩试件一般做的短而粗，这是为了避免产生压弯的缘故。金属材料的压缩试件为圆柱形，柱高约为直径的1.53倍，混凝土、石料等试件为立方块。低碳钢压缩时的应力应变曲线如图215所示。图中的虚线表示拉伸时的应力应变曲线。可以看出，在屈服阶段以前两条曲线基本重合，这表明：低碳钢压缩时的弹性模量E，屈服极限等都与拉伸时基本相同。在屈服阶段以后，随着外力的增加，试件越压越扁，横截面积不断增大而试件并不断裂，如图216所示，测不出压缩时的强度极限，故对低碳钢一般不做压缩实验，主要力学性质可由拉伸实验确定，其它金属材料也有上述类似的现象。因此，在工程中一般认为塑性金属材料在拉伸、压缩时的性质相同，因而不一定需要做压缩实验。但有的塑性金属材料，如铬钼硅合金钢，压缩时的屈服极限与拉伸时的有所不同，所以对这些材料还应做压缩试验，以测定压缩时的屈服极限。 与塑性材料相反，脆性材料拉伸时的力学性质与压缩时有较大区别。例如铸铁，其压缩和拉伸时的应力应变曲线分别如图217中的实线和虚线所示。由图可见，铸铁压缩时的强度极限比拉伸时高得多，约为拉伸时强度极限的25倍。铸铁压缩时有较大的塑性变形，且沿与轴线约成的斜面断裂，如图218所示，说明是剪应力达到极限值而破坏。拉伸破坏时是沿横截面断裂，说明是拉应力达到极限值而破环。其它脆性材料，如混凝土和石料，其抗压强度也远高于抗拉强度。因此，对于脆性材料，应注意它的抗压性能远比抗拉性能好的特点，并合理地加以利用。 现将工程中几种常用材料的主要力学性质列于表2.1中。表2.1 常用金属材料的力学性能材 料 名 称牌 号(MPa)(MPa)(不小于)普通碳素钢(GB70079)Q235Q2742162352552743734614906082620优质碳素结构钢(GB69965)40453333535695981916低合金结构钢(GB159179)12Mn16Mn235 294275343392 44147151019211921合金结构钢(GB307782)40 50 Mn278578598193299球墨铸铁 (GBl34878)QT4017QT60-2392588172灰铸铁(GB567585)HTl50HT300-150300- 注：表中指的标准试件的延伸率综上所述，塑性材料与脆性材料的力学性质有以下区别： 1塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，而脆性材料直至断裂，变形却很小，这是二者基本的区别。因此，在工程实际中，对需经锻压、冷加工的构件或承受冲击载荷的构件，宜采用塑性材料。2脆性材料抗压强度远高于其抗拉强度。因此，可用作承受压力的构件，例如建筑物的基础、机器的底座等。塑性材料抵抗拉压的强度基本相同，其价格比脆性材料要贵，因而适用于作承受拉力的构件。2.5 轴向拉伸或压缩时的强度计算 前面已经讨论了轴向拉伸或压缩时，杆件的应力计算和材料的力学性质，因此可进一步讨论杆的强度计算问题。 一、许用应力 由材料的拉伸或压缩试验可知：对于塑性材料，当应力达到屈服极限(或)时，会发生显著的塑性变形，影响构件的正常工作，对于脆性材料，当应力达到强度极限时，会发生断裂。在工程实际中，这两种情况显然都是不能允许的。因此，屈服和断裂都是破坏现象。材料破坏时的应力称为极限应力(ultimate stress)，用表示。塑性材料的极限应力为(或)，脆性材料的极限应力为。 为了保证构件有足够的强度，要求构件在载荷作用下的应力(工作应力)必须小于材料的极限应力。为此，在强度计算中，把极限应力除以一个大于1的因数，其结果称为许用应力(allowable stress)，用表示，对于塑性材料 = (26) 对于脆性材料 = (27) 式中称为安全因数。 确定安全因数时，应考虑以下几个主要因素：材质的均匀、载荷估计的准确性、简化过程及计算方法的近似性、构件的重要性及工作条件等。可见，安全因数的选取涉及多方面的问题，是一件复杂的工作。 目前，在机械设计和建筑结构设计中，倾向于根据构件材料和具体工作条件，并结合过去制造同类构件的实践经验和现时的技术水平，规定不同的安全因数。对于各种不同构件的安全因数和许用应力，有关设计部门在规范中有具体规定。一般构件，在常温、静载下，对塑性材料取n=1.52.5，对脆性材料取n=23.5。 二、强度条件 为了保证构件安全正常地工作，把许用应力作为构件实际工作应力的最高限度，即要求构件的最大工作应力不超过材料的许用应力。于是，得到强度条件 (28) 对于轴向拉伸和压缩的等直杆，其强度条件则为 (29) 式中：为杆件横截面上的最大工作应力，为杆件的最大轴力，为横截面面积；为材料的许用应力。 根据强度条件，可以解决三种类型的强度计算问题： 1强度校核 若已知构件的尺寸、载荷大小以及材料的许用应力，即可用式(29)验算是否满足强度要求。 2设计截面 若已知构件承受的载荷和材料的许用应力，则根据公式(29)确定构件所需要的横截面面积，即 A3确定许可载荷 若已知构件的尺寸和材料的许用应力，则根据公式(29)确定构件所能承受的最大轴力，即 根据构件的最大轴力，由静力平衡条件可进一步确定机器或工程结构的许可载荷。 例22 铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面为矩形，尺寸b=50mm，h=25mm，如图 219所示，吊杆的许用应力=80MPa。铁水包自重为8kN，最多能容30kN重的铁水。试校核吊杆的强度。解：(1)计算吊杆的轴力 总载荷由两根吊杆所承担，故每根吊杆的轴力应为 （2）校核强度 吊杆横截面上的最大工作应力为 故吊杆满足强度条件。 由计算看出，虽然吊杆满足强度条件，但强度有较大的余量。为此，应重新设计吊杆的横截面尺寸。 例2-3 在上例中，其它条件不变，试根据强度条件，重新设计吊杆的截面尺寸b。 解：(1)计算吊杆轴力 , 利用上例结果，=19kN(2)选择截面尺寸, 由式(29)可得，吊杆横截面面积为 又因 故有 最后可选择吊杆的横截面为2510mm的矩形。 例2-4 图220a为简易吊车的示意图，AB和BC均为圆形钢杆。，钢的许用应力。试确定吊车的最大许可起重量。 解：(1)计算杆AB、BC的轴力，设AB杆的轴力为，BC杆的轴力为，根据结点B的平衡(图220b)，有 解得 上式表明，AB杆受拉伸，BC杆受压缩。在强度计算时，可取绝对值。 (2)求许可载荷, 由式(29)可得 当AB杆达到许用应力时 则 当BC杆达到许用应力时 则 因此该吊车的最大许可载荷只能为W=28.3kN。 2.6 轴向拉伸或压缩时的变形 杆件在轴向拉伸或压缩时，其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变。前者称为纵向变形，后者称为横向变形。 设一等直杆的原长为，横截面面积为，如图221所示。在轴向拉力的作用下，杆件的长度由变为，其纵向伸长量为 (a) 称为绝对伸长。将除以得杆件纵向线应变为 (b)由虎克定律公式(23)可知，当应力不超过材料的比例板限时，应力与应变成正比，即 (c)式中的E是弹性模量。 由于轴向拉伸时横截面上的应力，将它和(b)式代入(c)式，可得虎克定律的另一种表达式为 (210)上式也适用于轴向压缩的情况。只需将轴向拉力改为轴向压力，把伸长改为缩短(负值)就行了。 由式(210)可看出，若杆件的长度及受力相同，则EA值愈大，变形愈小，因此，EA值反映了杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称之为杆件的抗拉刚度（tensile rigidity）。 设拉杆变形前的横向尺寸为和，变形后的尺寸为和(图221)。杆件横向绝对变形为 由试验可知，二横向线应变相等，故为 (d)而且，当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值是一常数。该常数用表示，称为材料的横向变形因数或泊松比(Poisson ratio)，它是一个无量纲的量。可表示为 (211) 以上公式同样适用于轴向压缩的情况。因为横向线应变与纵向线应变的符号总是相反的，它们之间的关系也可表示为 (212) 泊松比是材料的弹性常数，随材料的不同而不同。几种常用材料的值，列于表2-2中。 表2-2 弹性模量和泊松比的数值材 料 名 称弹性模量 (GPa)泊 松 比 碳 钢1962160.240.28合 金 钢1862060.250.30灰 铸 铁 78.51570.230.27铜及其合金 72.61280.310.42铝 合 金700.33例25 如图222a所示的柱形杆，其长度为，横截面面积为，材料的比重为，弹性模量为。试求杆的总伸长。解：(1)计算杆的内力 在距下端面为x处，截取下面部分为研究对象(图222b)，得杆内任意横截面上的轴力为 (2)计算杆的变形 因为杆的轴力并非一常量，故可在x处截取微段来研究，其上受力情况如图222c所示。略去高阶微量后，微段dx的伸长为 则杆的总伸长为 例2-6 图223a所示一简易托架。BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢。若两杆的=160MPa，E=200GPa，设F=60kN。试校核该托架的强度，并求B点的位移。 解：(1)计算杆的内力 绕结点B截开BC和BD两杆。设BC杆的轴力为，BD杆的轴力为，如图223b所示。根据平衡条件可得轴力为 (2)校核两杆的强度 对于BC杆，其横截面面积，故杆的工作应力为 虽然工作应力大于许用应力，然而 在工程中是允许的，认为强度符合要求。对于BD杆，由型钢表查得其横截面面积为 则杆的工作应力 计算结果表明，托架的强度是足够的。(3)计算B点的位移 由虎克定律公式(210)，可求出BC杆的伸长为 BD杆的缩短为 假想把托架从结点拆开，那么杆伸长变形后成为，杆压缩变形后成分别以点和点为圆心，以和为半径作弧相交于处，该点即为托架变形后点的位置。由于是小变形，和是两段极微小的短弧，因而可分别用和的垂线来代替，两垂线的交点为，即为点的位移。这种作图法称为“切线代圆弧”法。现用解析法计算位移。为了清楚起见，可将多边形放大，如图223c所示。由图可知 点的垂直位移为点的水平位移为 点的总位移为 由本例看出，变形和位移是两个不同的概念。2.7 直杆在轴向拉伸或压缩时的变形能 弹性体在受力变形过程中，外力在相应的位移上所作的功将转变为能量储存于弹性体内。在弹性极限内，当外力逐渐卸去时，变形随之消失，弹性体内储存的能量将释放出来对外作功。弹性体的这种性质在工程中得到广泛应用。例如钟表机构中的发条，当它被外力拧紧以后，在放松的过程中可以带动钟表运转，此时发条作了功。弹性体因外力作用而发生变形时所储存的能量，称为变形能或应变能(strain energy)。 根据能量守恒原理可知，在静荷作用下(动能无显著变化)，如不计变形过程中能量的损失(热能的微小变化等)，储存在弹性体内的应变能U在数值上等于外力所做的功W，即 (213)设一拉杆如图224a所示，拉力缓慢地由零增加到，杆件变形逐渐由零增至。根据虎克定律，在应力小于比例极限的范围内，拉力与伸长成线性关系，如图224b所示。在逐渐加力的过程中，当拉力为时，杆件的伸长为。若增加一个，杆件相应的变形增量为，于是作用于杆件上的外力对位移作了功，其值为 (a)则拉力F所作的总功W为 (b)上式积分结果为曲线下面的面积。并由(213)式可知，杆内的变形能为 (214 a)由于拉杆的轴力，将虎克定律代入，则上式又可写为 (214 b)式(214b)同样适合于轴向压缩。变形能的国际单位制单位为焦耳(J)。由于拉、压杆的整个体积内各点处的应力均相同，则单位体积内变形能相同。因此，可将杆的变形能除以杆的体积，得到单位体积的变形能为 (215) 或 (216)u称为比能，其单位为焦耳米(Jm)。利用变形能的概念可以计算构件或结构的变形和位移，这种解决问题的方法称为能量法，将在本书第11章作详细的讨论。 2.8 拉、压超静定问题 一、超静定问题的概念 前面所讨论的问题中，约束反力和杆件的内力都可以用静力平衡方程式求得。这种能用静力平衡方程式求解的问题，称为静定问题。相反，仅用静力平衡方程不能求解的问题，称之为超静定或静不定问题。例如图225a所示的悬臂吊车，其受力如图225b所示，根据AB杆的平衡条件可列出三个独立的平衡方程，即、0，然而未知力却有4个，即,和，显然，仅用静力平衡方程式不能求出全部的未知量，故该问题为超静定问题。未知力数比独立平衡方程数多出的数目，称为超静定次数。上述问题为一次超静定问题。 二、超静定问题的解法 图226a所示的结构，假设1、2、3杆的弹性模量为，横截面面积为，杆长为。横梁AB的刚度远远大于1、2、3杆的刚度，故可将横梁看成刚体，在横梁上作用的载荷为。若不计横梁的自重，试确定1、2、3杆的轴力。 设在载荷作用下，钢梁移动到位置(图226b)，则各杆皆受拉伸。设各杆的轴力分别为、和且均为拉力(图2-26c)。由于该力系为平面平行力系，只可能有两个独立平衡方程，然而未知力却有三个，故为一次超静定问题。先列出静力平衡方程 (a) (b)要求出三个轴力，必须还要列出一个补充方程。在力作用下，三根杆的伸长不是任意的，它们之间保持相互协调的几何关系。这种几何关系称之为变形协调条件。由于横梁AB可视为刚体，故该结构的变形协调条件是,三点仍在一直线上(如变形图226- b所示)。设、分别为1、2、3杆的变形，根据变形的几何关系可以列出谐调条件为 (c) 杆件的变形和内力之间存在着一定的关系，称之为物理关系，例如拉压时的虎克定律，当应力不超过比例极限时，由虎克定律可知 ， ， (d) 将物理关系代入变形协调条件，即可建立内力之间应保持的相互关系，这个关系就是所需的补充方程。也就是说，将(d)式代入(c)式得 整理后得 (e)这就是要建立的补充方程。将(a)、(b)、(e)式联立求解，得 由该例题可以看出：所设各杆的轴力是拉力还是压力，要以图形中所反映的变形是伸长或是缩短为依据，两者必须一致。经计算可知，1、2杆的轴力为正，说明与假设一致，变形为伸长。而为负，说明与假设相反，实际的变形为缩短。 综上所述，求解超静定问题须从三个方面进行考虑，即静力学关系、几何关系及物理关系。利用这些关系列出静力平衡方程和补充方程，即可求解。若对拉压超静定问题作强度计算，应先解出各杆的轴力，然后进行强度计算，其方法与静定问题的解法相同。 三、温度应力 构件在工作条件下当温度或季节的变化时，杆件就会伸长或缩短。对于静定结构，由于可以自由变形，温度变化时不会使杆内产生应力。但在超静定结构中，变形受到部分或全部限制，温度变化时就会使杆内产生应力，这种应力称为温度应力。计算温度应力的方法与超静定问题的解法相似，不同之处在于杆内变形包括两个部分，一是由温度引起的变形，另一部分是外力引起的变形。 图227a所示的杆件，两端与刚性支承面联接。当温度变化时，因固定端限制了杆件的自由伸长或缩短，因而支承面两端就产生了约束反力，两约束反力用和表示(图227b)。由静力平衡方程得出 （a） 由于未知支反力有两个，而独立的平衡方程只有一个，因此是一次超静定问题。要求解该问题必须补充一个变形谐调条件。假想拆去右端支座，这时杆件可以自由地变形，当温度升高T时，杆件由于升温而产生的变形(伸长)为 (b)式中为材料的线膨胀因数。然后，由于作用而产生的变形(缩短)为 (c)式中，E为材料的弹性模量，A为杆横截面面积。事实上，杆件两端固定，其长度不允许变化， 因此必须有 (d) 即为该问题的变形协调条件。将(b)、(c)两式代入(d)式得 (e) 则 由于轴力，故杆中的温度应力为 当温度变化较大时，杆内温度应力的数值是十分可观的。例如，一两端固定的钢杆，12.510，当温度变化40时，杆内的温度应力为 在工程实际中，为了避免过大的温度应力，往往采取某些措施以有效地降低温度应力。例如，在管道中加伸缩节(图228)，在钢轨各段之间留伸缩缝，这样可以削弱对膨胀的约束，从而降低了温度应力。 例2-7 刚性无重横梁AB在O点处铰支，用两根抗拉刚度相同的弹性杆悬吊着，如图229a所示，当两根吊杆温度升高时，求两杆内所产生的轴力。解：(1)列静力平衡方程 截取图229b所示的研究对象，设1杆的轴力为，2杆的轴力为。由静力平衡方程可得 ， (1)(2)列变形几何方程 假想拆除两杆与横梁间的联系，允许其自由膨胀。这时，两杆由于温度而产生的变形均为。把已经伸长的杆与横梁相连接时，两杆内就分别引起了轴力和并使两杆再次变形。由于两杆变形使横梁绕O点转动，最终位置如图229b中虚线所示，图中的和分别为1、2杆所产生的总变形，包括温度和轴力所引起的变形。由变形协调条件得 = 2 (2)(3)列出物理方程 ， (3) 将(3)式代入(2)式得 (4) 上式即为补充方程。联立求解式(1)和式(4) 为负值，说明1杆是受压力，轴力与所设的方向相反。 四、装配应力 构件制造上的微小误差是难免的。在静定结构中，这种误差只会影响结构几何形状的微小改变，不会使构件产生应力。如图230所示结构，若杆AB比预定的尺寸作短了一点，则与杆AC联接后，只会引起A点位置的微小偏移，如图中虚线所示。但在超静定结构中，杆件几何尺寸的微小差异，还会使杆件内产生应力。在图231a所示的杆系结构中，设杆3比预定尺寸作短了(与杆件长度相比是一极小量)，若使三杆联结，则需将杆3拉长，杆1、2压短，强行安装于点处。此时，杆3中产生拉应力，杆1、2中产生压应力。这种由于安装而引起的应力称为装配应力。计算装配应力的方法与解超静定问题的方法相似，仅在几何关系中考虑尺寸的差异。 例2-8 在图231a所示的杆系结构中，设杆3的设计长度为，加工误差为，其实际长度为()。已知杆3的抗拉刚度为，杆1和杆2的抗拉刚度为。求三杆中的轴力、和。 解：三杆装配后，杆1、2受压，轴力、为压力，杆3受拉，轴力为拉力。取结点为研究对象，受力图如图231b所示。由于该结点仅有两个独立的静力平衡方程，而未知力数目为3，故是一次超静定问题。 根据结点的平衡条件 (1) (2)由此可得 (3) 由图231a可知，其变形的几何关系为 (4) 根据物理关系可得 (5) (6) 将式(5)、(6)代入(4)式可得补充方程为 (7)联立求解(3)、(7)两式可得 由计算结果为正可知，轴力的方向与所设方向相同。由本例的结果看到，在超静定问题中，各杆的轴力与各杆间的刚度比有关，刚度越大的杆，承受的轴力也越大。用各杆横截面面积分别去除各杆中的轴力，即可得到各杆的装配应力。 装配应力是结构未承受载荷前已具有的应力，故亦称为初应力。在工程实际中，如果装配应力与构件工作应力相叠加后会使构件内应力更高，则应避免它的存在。但有时也可利用它以达到某些预期要求，例如机械工业中的紧配合就是对装配应力的一种应用。 2.9 应力集中的概念 承受轴向拉伸、压缩的构件，只有在与加力区域稍远且横截面尺寸又无急剧变化的区域内，横截面上的应力才是均匀分布的。然而工程中某些零件常有切口、切槽、螺纹等，因而使杆件上的横截面尺寸发生突然改变，这时，横截面上的应力不再均匀分布，这已为理论和试验所证实。如图232a所示的带圆孔的板条，使其承受轴向拉伸。由试验结果可知：在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大，而在离开这一区域稍远处，应力迅速减小而趋于均匀(图232b)。这种由于截面尺寸突然改变而引起的应力局部增大的现象称为应力集中（stress concentration）。在II截面上，孔边最大应力与同一截面上的平均应力之比，用表示 (217)称为理论应力集中因数(factor of stress concentration)，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。而且试验结果还表明：截面尺寸改变愈剧烈，应力集中因数就愈大。因此，零件上应尽量避免带尖角的孔或槽，在阶梯杆截面的突变处要用圆弧过渡。在静荷作用下，各种材料对应力集中的敏感程度是不相同的。像低碳钢那样的塑性材料具有屈服阶段，当孔边附近的最大应力达到屈服极限时，该处材料首先屈服，应力暂时不再增大。如外力继续增加，增加的应力就由截面上尚未屈服的材料所承担，使截面上其它点的应力相继增大到屈服极限，该截面上的应力逐渐趋于平均，如图233所示。因此，用塑性材料制作的零件，在静荷作用下可以不考虑应力集中的影响。而对于组织均匀的脆性材料，因材料不存在屈服，当孔边最大应力的值达到材料的强度极限时，该处首先断裂。因此用脆性材料制作的零件，应力集中将大大降低构件的强度，其危害是严重的。这样，即使在静载荷作用下一般也应考虑应力集中对材料承载能力的影响。然而，对于组织不均匀的脆性材料，如铸铁，其内部组织的不均匀性和缺陷，往往是产生应力集中的主要因素，而截面形状改变引起的应力集中就可能成为次要的了，它对构件承载能力不一定会造成明显的影响。 2.10 联接件的实用计算在工程实际中，常用联接件将构件相互联接。例如：铆钉联接(图234a)，销钉联接(图235a)、键联接(图2-36a)等。这些联接件的受力特点是：作用于构件两侧且垂直于轴线的两横向力大小相等、方向相反，作用线相距很近。其变形特点是：二力间的各横截面沿外力方向产生相对错动。构件的这种变形称为剪切变形。 联接件在外力作用下，在发生剪切变形的同时，往往伴随有挤压。所谓挤压就是受力面上所产生的局部受压现象。因此，联接件破坏形式可能有两种，一是沿二力间横截面被剪坏，称为剪切破坏。二是在联接件与被联接件间的接触面处相互挤压而产生显著的局部塑性变形或被压碎，称之为挤压破坏。因此，需要对联接件进行剪切和挤压的强度计算。然而这些联接件并非细长构件，其内部应力的性质和分布规律比较复杂，要进行精确的理论分析是困难的。所以对这类构件通常采用实用计算的方法。 一、剪切的实用计算 以图234a所