广州市高二数学竞赛试卷(含答案及解析).doc

2008年广州市高二数学竞赛试卷考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内1若集合有4个子集，则实数的取值范围是（ ） A BR CR D且R2. 已知函数 则等于( )A B C D3在空间直角坐标系中，点的坐标分别为、，则三棱锥的体积是（ ）A2 B3 C6 D104. 已知直线与圆R有交点, 则 的最小值是 ( ) A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分把答案填在题中横线上5. 的三个内角所对的边分别为, 若, 则 . 6已知直角梯形的顶点坐标分别为，则实数的值是 . 7. 在数列中，2，N，设为数列的前n项和，则的值为 . 8已知三点在同一条直线上，为直线外一点，若0， R，则 . 9一个非负整数的有序数对，如果在做的加法时不用进位，则称为“奥运数对”，称为“奥运数对”的和，则和为的“奥运数对”的个数有_个. 10.如图1所示, 函数的图象是圆心在点,半径为1的两段圆弧, 则不等式的解集是 . 三、解答题：本大题共5小题，共90分要求写出解答过程 图111（本小题满分15分）已知函数(R，)的部分图象如图2所示(1) 求的值；（2）若关于的方程在内有解,求实数m的取值范围 图212（本小题满分15分）如图3所示, 在三棱柱中, 底面，.（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）. 图313（本小题满分20分）已知点，是椭圆：上不同的两点，线段的中点为.（1）求直线的方程；（2）若线段的垂直平分线与椭圆交于点、，试问四点、是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.14（本小题满分20分）已知在数列中，(R,R 且0,N). （1）若数列是等比数列，求与满足的条件；（2）当，时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第次运动的位移是，第次运动后，质点到达点,求数列的前项和.15（本小题满分20分）已知函数R，且.（1）当时，若函数存在单调递减区间，求的取值范围；（2）当且时，讨论函数的零点个数.2008年广州市高二数学竞赛参考答案一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分1D 2C 3A 4B二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分5 6 7 80 927 10 三、解答题：本大题共5小题，共90分要求写出解答过程11（本小题满分15分）解：(1) 由图象可知函数的周期为()=， 函数的图象过点，且. 解得：. . （2）由（1）得. 当时，得. 令，则.故关于的方程在内有解等价于关于的方程在上有解. 由，得. ，.实数m的取值范围是. 12（本小题满分15分）（1）证法一：以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，依题意得、 . ， ， . . . 平面，平面，. 平面. 证法二：连结，底面，平面，. ，分别为棱的中点，.，Rt Rt.,. ，平面. ，平面. 平面，. 同理可证. ，平面. （2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16. 图甲 图切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为. 图乙 图13（本小题满分20分）解一：（1）点，是椭圆上不同的两点，.以上两式相减得：， 即，线段的中点为，. ，当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，. 直线的方程为，即. 由 消去，得，解得或.所求直线的方程为. 解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意. 故可设直线的方程为, . 由 消去，得 (*). 的中点为,.解得. 此时方程(*)为,其判别式.所求直线的方程为. （2）由于直线的方程为，则线段的垂直平分线的方程为，即. 由 得， 由消去得，设则. 线段的中点的横坐标为，纵坐标. .， 四点、在同一个圆上，此圆的圆心为点，半径为，其方程为. 14（本小题满分20分）解:（1），0， 当时，显然是等比数列； 当时，.数列是等比数列，即，化简得. 此时有，得， 由 ，0, 得（N)，则数列是等比数列. 综上，与满足的条件为或（）. （2）当，时， 依题意得：， . . . 令 -得 . . . 15（本小题满分20分）解：（1）当时，函数，其定义域是，. 函数存在单调递减区间，在上有无穷多个解.关于的不等式在上有无穷多个解. 当时，函数的图象为开口向上的抛物线， 关于的不等式在上总有无穷多个解. 当时，函数的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为.要使关于的不等式在上有无穷多个解.必须，解得，此时. 综上所述，的取值范围为. 另解：分离系数：不等式在上有无穷多个解， 则关于的不等式在上有无穷多个解， ，即，而. 的取值范围为. （2）当时，函数，其定义域是，.令，得，即， ， ，则， 当时，；当1时，.函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，函数取得最大值，其值为. 当时，若, 则, 即.此时，函数与轴只有一个交点，故函数只有一个零点； 当时，又,函数与轴有两个交点，故函数有两个零点； 当时，函数与轴没有交点，故函数没有零点.