远期和期货定价和估值ppt课件

金融工程学,1,第二章 远期和期货的定价和估值,主要内容： 讨论远期价格和期货价格与其标的资产价格之间的相互关系。,（1）分别对无收益的投资资产、提供已知现金收益的投资资产、提供已知红利收益率的投资资产的远期合约给出定价公式,（2）利用得出的公式对股票指数期货、外汇期货和黄金白银的期货合约进行理论定价,说明： 因为当同一资产的远期和期货两种合约的到期日相同时，该资产的远期价格和期货价格是非常近似的，所以本章将以分析相对容易一些的远期合约为研究对象，得到的结论也适用于期货价格。,2. 本章将明确区分两类资产：一是投资者仅为了进行投资而持有的资产；二是为了进行消费而持有的资产。,复习连续复利,假设数额 A以年利率 R 投资了 n年。 如果利率按每一年计一次复利计算（年复利），则以上投资的终值为： 如果每年计m次利息，则终值为：,复习连续复利,当m趋于无穷大时，则称为连续复利（continuous compounding） 终值为： 通常认为连续复利与每天计复利等价,连续复利与年计m次复利的转换,解得：,复习远期合约,远期合约 是一个在确定的将来时刻按确定的价格购买或出售某项资产的协议。 远期合约中购买标的资产的一方称为多头，出售标的资产的一方称为空头。,交割价格（delivery price）,远期合约中指定的价格称为交割价格 交割价格的选择 在远期合约签署的时候，所选择的交割价格应该使得远期合约的价值对双方都为0,远期价格（forward price）,某个远期合约的远期价格就是期初设定的交割价格 远期价格是使得期初该合约价值为零的交割价格 远期价格是有时间属性的，我们只能说某一远期合约在特定时间的远期价格 远期价格随时间变化 某一时刻 t 的远期价格等于，t 时刻新签约合约的交割价格 任意时刻远期合约的价值 当前的远期价格和期初的远期价格的差，即是当前远期合约的价值。,远期合约,远期合约对冲的主要作用是 锁定价格（lock a price） 远期合约的重要性质 期初没有现金流发生 No money changes hands at the start,远期合约的交割和结算,两种方式 交割 现金结算 注意事项 履约方式并不是在到期日才选择的，而是在期初就确定了的。当交割很困难的情况下，大多选择现金结算。,违约风险,远期合约的结构决定了只有应付额较大的一方才可能违约,远期合约的种类,按照标的资产的不同来区分远期合约 证券远期（equity forward） 单个股票的远期合约 股票组合的远期合约 股票指数远期合约 债券和利率远期（固定收益证券的远期） 实物远期,红利的影响,远期合约不对股票的红利给与补偿,区分定价（pricing）和估值（valuation）,估值（valuation） 价值（value）是购买或出售远期合约所获得的收益 远期合约的价值大致等于，远期价格与交割价格的差值 定价（pricing） 远期合约的价格是合约预先确定的、在到期日的价格或汇率 一般称为远期价格（forward price）或者远期汇率（forward rate） 定价就是要确定这种价格或者汇率 确定期初的交割价格,定价方法,本章将利用无套利方法进行定价 基本思路： 构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值也一定相等，不然的话，就存在套利机会,假设条件,无交易费用； 所有的交易净利润使用同一税率； 市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金； 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。,再回购利率,期货和远期市场中所使用的无风险利率 再回购利率（repo rate） 再回购协议（repo or repurchase agreement） 证券的出售方承诺在规定的未来时刻按照规定的价格重新购回该证券 相当于债券的购买者向出售者提供了短期贷款 根据贷款的利息成本、出售价格和回购期，可以计算出隐含利率，这种隐含利率称作再回购利率（repo rate） 利用再回购协议融资的优势是利率比银行借款低,符号说明,T：远期和期货合约到期的时刻，单位为年,S：标的资产的即期价格,K：远期合约中的交割价格,f ：当前远期合约多头的价值,F：当前时刻远期合约和期货合约中标的资产 的远期价格和期货价格，分别简称为远 期价格和期货价格,r ：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连 续复利计算的无风险利率。,远期价格F 完全不同于远期合约的价值f,任何时刻的远期价格都是使得远期合约价值为0的交割价格 （相当于重新签订新的远期合约） 合约开始生效时， F=K 且 f=0 随着时间的变化，f 和F 都在变化,第一节 远期和期货定价,一、不支付收益的投资资产的远期价格,最容易定价的远期合约是基于不支付收益的投资资产的远期合约 不支付红利的股票和贴现债券（无息票利息的债券）就是诸如此类的投资资产,例1,考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约，3个月后到期。 假设现在股价为40元，3个月期无风险利率为年利率5%。 如何确定这份远期合约现在的价格？,极端情况下的套利策略,假定远期价格偏高为43元，套利者可以以5%的无风险利率借入40元，买一只股票，并在远期市场上作空头 用来归还贷款的总数额为 40 e 0.053/12 = 40.50 收益 ： 4340.5= 2.50,表3-1,极端情况下的套利策略,假定远期价格偏低为39元。 套利者可以卖空股票，将所得收入购买3个月期的远期合约 卖空股票3个月后所得收益为： 3个月末，套利者支付39元（远期价格），交割远期合约规定的股票，再将其送到股票市场平仓 净收益为： 40.5元39.00元=1.50元,表3-2 不付红利股票的远期价格太低时的套利机会,市场情况 期限为3个月的股票远期合约的远期价格为39元，3个月期无风险利率为年利率5%，当前股价为40元，不付红利。 套利机会 远期价格相对于当前股价偏低，套利者可以 1、即期卖空股票，将收益作3个月期的无风险投资 2、持有3个月期远期合约的多头 收益 3个月后，卖空股票所得的收益增加到元。套利者根据远期合约条款以39元买入股票，用来在股票市场上平仓。所以，3个月后套利者的净盈利为 40.5元39元=1.50元,推论,表3-1策略只有当远期价格高于40.5元时才会赢利 表3-2策略只有在远期价格低于40.5元时才会盈利 在无套利的前提下，价格一定是精确的40.50元,一般结论,我们考虑一个不支付收益的投资资产的远期合约，资产即期价格为 S T 是远期合约到期的时刻 r 是以连续复利计算的无风险年利率 F 是远期价格,套利策略,即期买入1单位资产 卖出一张远期合约,现金流分析,远期合约开仓时价值为 0，所以该策略的起始成本为S 远期合约规定的标的资产在时刻 T 以远期价格成交，资产提供的收益为 0 （无红利） 投资者当前付出了S，在未来T 时刻得到无风险收益F F 必须等于如果将S 进行无风险投资而得到的收益,远期合约定价的一般性方法,分析的目的 确定远期价格： 远期合约的价值：,分析过程,期初的现金流选择,远期合约定价公式,二、支付已知现金收益的投资资产的远期价格,远期合约的标的资产将为持有者提供 可完全预测的现金收益 例如支付已知红利的股票和支付息票的债券 远期合约不对股票的红利给予补偿,例2,考虑购买一份付息票债券的远期合约，债券的当前价格为900元。 假定远期合约期限为一年，债券在5 年后到期， 该远期合约实际上是相当于一份一年之后购买4 年期债券的合约。 我们假设6个月和12个月后，债券会支付40元的利息 其中第二次付息日恰好是远期合约交割日的前一天。 6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别是9%和10%。,套利策略,首先假设当前远期价格偏高，例如为930元。 一个套利者可以借900元，购买债券，卖空远期合约。,现金流分析,首次付息的现值为40 e -0.090.5 = 38.24元。 在900元中，有38.24元可以以9%的年利率借入6个月，在第一次付息日偿还。 剩下的861.76元以10%的年利率借入1年，年底所支付的本息和为861.76 e 0.11 = 952.39元 第二次付息可收到40元 以远期合约规定价格卖出债券可获得930元 净盈利为： 40元+930元952.39元=17.61元,表3-3 附息票债券的远期价格偏高时的套利机会,市场情况 一年后交割的附息票债券远期合约的价格为930元。债券的即期价格为900元。预期债券在6个月后、12个月后各支付40元的利息。6个月和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。 套利机会 远期价格相对偏高，套利者可以： 1、即期借900元，买一份债券 2、卖空一份债券的远期合约,表3-3 附息票债券的远期价格偏高时的套利机会,收益分析 在即期所借得的900元中，其中40 e-0.090.5 = 38.24元以9%的年利率借入6个月，另外861.76元以10%的年利率借入1年。 首次利息支付所收到的40元利息正好用来偿还6个月期38.24元贷款的本金和利息。 一年之后，收到了第二次付息的40元，根据远期合约条款卖出债券收到930元。 861.76元的贷款到期共需偿还本金和利息861.76 e0.11 = 952.39元。 该策略的净盈利为：40元+930元-952.39元=17.61元,表3-4 附息票债券的远期价格偏低时的套利机会,市场情况 1年后交割的附息票债券远期合约的价格为905元。债券的即期价格为900元。预期债券在6个月后、12个月后各支付40元的利息。6个月和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。 套利机会 远期价格相对偏低，套利者可以： 1、卖出一份债券。 (卖空债券需要承担支付利息的义务) 2、签署一年后购买一份债券的远期合约。,表3-4 附息票债券的远期价格偏低时的套利机会,现金流分析 卖出债券得到900元，其中38.24元做6个月无风险投资，861.76元做一年期无风险投资。 此策略在6个月和12个月后分别产生40元和952.39远的现金流入。 前面的40元用来支付6个月后的债券利息；后面952.39元中的40元用来支付1年后的债券利息，905元用来根据远期合约条款购回债券。 即期出售债权而远期将该债券购回的策略所产生的净收益为： 952.39元40元905.00元=7.39元,推论,表3-3中的策略表明，当F 912.39元时，投资者会产生净收益。 表3-4种的策略表明，当F 912.39元时，投资者会产生净收益。 只有当远期价格等于912.39元时，才不存在套利机会,一般结论,考虑一个投资资产的远期合约，该投资资产给出的收入现值为 I（收益）。投资者可采取如下策略： 1、即期买入该项资产 2、持有远期合约空头,现金流分析,开仓时，远期合约价值为 0，所以该策略的即期成本是资产的即期价格 S。 投资者在即期得到现值为I 的资产，T 时期得到等于远期价格为F 的收益。 初始现金流出等于T 期的现金流入：,与持有标的资产相比，持有远期合约无法从红利的支付中获益,例子,考虑一个股价为50元的股票的10个月期远期合约。我们假设对所有的到期日，无风险利率（连续复利）都是年利率8%。同时我们假设在3个月、6个月以及9个月后都会有每股0.75元的红利付出。 问远期合约的价格是多少,计算,首先计算红利的现值 远期价格,三、支付已知红利率投资资产的远期合约,货币和股票指数是提供已知红利收益率的投资资产 已知的红利收益率意味着表示为资产价格百分比的收益是已知的 我们假设红利收益率按照年率 q 连续支付,投资者的套利策略,即期买入价值为 Se qT ，且收益还可以再投资的资产 卖空远期合约,现金流分析,此项资产以比率 q 增长，在 T 时刻资产价格为 Se qT eqT，恰好等于S 单位资产 在时间 T 以 F 的价格卖出该资产 初始现金流出为 Se-qT T 期现金流入为 F 流入和流出的现值应该相等 S e-qT =F e-rT F = S e( r- q ) T,例子,考虑一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率为4%的连续红利收益率。无风险利率（连续复利）为每年10%。股价为25元。此时，S = 25，r =0.10，T =0.5，q =0.04。 F = 25 e(0.10 - 0.04)0.5 =25.76元,4、远期合约的价值,远期合约价值： f = ( FK ) e -rT 其中K为最初议定的交割价格，F是当前的远期价格,推导过程,将交割价格为 F 的远期合约多头与交割价格为 K的远期合约多头进行对比分析 两者唯一的差别就是 T 期购买标的资产所付出的金额不同 第一份合约为F 第二份合约为K T 时期（FK）的现金流出之差的现值为 （FK）e -rT,推导过程,交割价格为 F 的合约价值和交割价格为 K 的合约价值的关系： 交割价格为 F 的合约价值等于交割价格为 K 的合约价值减去 （FK）e -rT 交割价格为 F 的合约价值等于零 f -（FK）e -rT = 0 交割价格为K的合约价值就等于 （FK）e -rT,远期合约的估值,远期合约估值公式,两个公式的比较,远期合约估值公式（1） 远期合约估值公式（2）,例题,当一种不支付红利股票价格为40元时，签订一份一年期的基于该股票的远期合约， 无风险年利率为10%（连续复利计息） （1）远期价格为多少？远期合约的初始价值为多少？ （2）假定6个月后，股票价格为45元，无风险利率仍为10%。远期价格为多少？远期合约价值为多少？,解答,（1） （2）,衍生公式,不支付收益的投资资产的远期合约价值 f = SK e -rT （F = S e rT） 已知收益的现值为I的投资资产远期合约的价值 f = SIK e-rT 得到已知红利率为q的投资资产远期合约的价值 f = Se-qTKe-rT,5、远期价格和期货价格的关系,当无风险利率恒定时，且对所有到期日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有着相同的价格,利率变化无法预测时,但当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格从理论上讲就不一样了 结算方式不同,举例说明,标的资产价格 S 与利率高度正相关 当S上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因每日结算而立即获利 由于S 的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润可以以高于平均利率水平的利率进行投资 当 S下跌时，投资者立即亏损。但亏损可以以低于平均利率水平的利率融资,结论,当 S 与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高 当 S与利率的负相关性很强时，远期价格比期货价格高 远期合约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是可以忽略不计的,6、股票指数的期货价格,大多数的股票指数可以看成是支付红利的投资资产 投资资产就是用来计算指数的股票组合 投资资产所支付的红利就是该组合的持有人收到的红利 股票指数的期货价格 F = Se(r -q)T q 为红利收益率,对红利收益率的说明,q 值应该代表合约有效期内的平均红利年收益率 用来估计 q 的红利应是那些除息日在期货合约有效期之内的股票的红利 也可以估计指数中股票组合将要收到的红利金额总数及其时间分布 这时股票指数可以被看成是提供已知收入的投资资产,例子,假设无风险年利率为9%（连续复利计息），某股票指数的红利支付率在年内经常发生变化。在2月份、5月份及11月份红利年支付率为5%，其他年份红利年支付率为2%。假设1997年7月31日的指数价值为300。那么1997年12月31日交割的期货合约的期货价格为多少？,答： 计算平均年红利支付率：（2%*4+5%）/5 = 2.6%,指数套利（index arbitrage）,F Se(r -q)T 情况 购买指数中的成分股票，卖空指数期货合约 指数套利操作则通常由拥有短期资金的投资公司来进行 F Se(r -q)T 情况 卖空指数中的成分股票，买进指数期货合约 指数套利通常由拥有指数成分股票组合的养老基金来进行,7、货币的远期和期货价格,变量 S 代表以本币表示的一单位外汇的即期价格 外汇的持有人能获得货币发行国的无风险利率的收益 我们设 r f 为外汇的无风险利率，连续计复利,套利策略,购买 单位的即期外汇 卖空1单位外汇的一个远期合约 现金流分析： 期初现金流出为 期末现金流入为 F 流入和流出的现值相等,说明,货币的远期定价公式实际上也是国际金融中的利率平价关系 外汇与支付已知红利收益率的投资资产是一样的 外汇的无风险收益率也可看作是 “红利收益率” 可以用 代替 q,外汇汇率与本国汇率的关系,外汇的利率大于本国利率时 F 始终小于 S 随着合约到期日T 的增加，F 值减小 当外汇的利率小于本国利率时 F 始终大于 S,8、商品期货,为投资目的而持有的商品 得出准确的期货价格 为消费目的所持有的商品 只能给出期货价格的上限,投资资产（黄金和白银）,S 是黄金或白银当前的现货价格 黄金和白银类不提供收益 如果不考虑存储成本 如果考虑存储成本（设U 为期货合约有效期间所有存储成本的现值 ）,存储成本可看作负收益,投资资产（黄金和白银）,若任何时刻的存储成本与商品价格呈一定比例，存储成本可看作是负的红利收益率 假定 u 是每年的存储成本与现货价格的比例,例子,考虑黄金的一年期货合约。假设黄金的存储成本是每年每盎司2美元，在年底支付。假设现价为450美元，无风险利率始终是每年7%。 r = 0.07，S= 450，T= 1,8. 2 消费资产,持有的主要目的不是为了投资的商品 如石油、铜等,推导,假定前推导的定价公式不成立 有以下两种情形,第一种情形的套利策略,套利策略： 以无风险利率借金额为 S+ U 的资金，用来购买一单位的商品和支付存储成本 卖出一单位商品的期货合约 时刻 T 时获利： 结论： 不成立,第二种情形的套利策略,如果投资者持有的目的仅仅是为了投资 套利策略： 卖出商品，节约存储成本，以无风险利率将所得收入进行投资 购买期货合约 到期日的无风险利润： 结论： 不成立,第二种情形的套利策略,对于持有目的主要不是投资的商品 个人或公司保留商品的库存是因为其有消费价值，而非投资价值 不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为期货合约不能消费 可以长期存在 不可以长期存在,便利收益：持有商品比持有期货具有的好处 从暂时的当地商品短缺中获利或者具有维持生产线运行的能力 便利收益 y 满足,便利收益（convenience yield ）,便利收益的意义,消费性商品的价格上限是 便利收益简单地衡量了 不等式左边小于右边的程度 便利收益反映了市场对未来商品可获得性的预期,持有成本 （cost of carry ）,描述总结了期货价格与现货价格之间的关系 定义： 包括存储成本加上融资购买资产所支付的利息，再减去该资产的收益 用c 来表示持有成本,投资性资产的持有成本,不支付收益的投资资产： c = r 股票指数： c = r q 货币资产： c = r - rf 投资性商品： c = r + u,持有成本,投资性资产 消费性资产,交割选择,远期合约正式规定交割的具体的特定日期 期货合约允许空头方选择在一个特定的时间段里的任何一天进行交割 期货合约的到期日应是交割期的开始，中间还是末尾呢？,交割选择,根据消费性资产期货定价公式 c y ，期货价格为到期时间的增函数 由持有资产所获得的好处（包括便利收益和净存储成本）小于无风险利率 空头方越早交割越有利，因为收到的现金所获得的利息超过了持有资产的好处 期货价格的计算应以交割发生在交割期的开始时刻为基准,风险和收益,一项投资的风险越高，投资者要求的期望收益将越高 系统风险和非系统风险 非系统风险可以通过持有高度分散化的组合来消除 投资者承担非系统风险不应要求更高的收益,投资者承担系统风险,系统风险不能通过分散化消除 由特定资产的投资收益与股票市场整体收益的相关性决定 若承担的系统风险为正值，投资者通常要求高于无风险利率的收益 若承担的系统风险为负值，投资者也会接受低于无风险利率的收益,期货头寸的风险,考虑一个做期货多头的投机者 他希望在到期日时资产的现货价格能高于期货价格 套利策略： 将期货价格的现值在当前时刻以无风险利率投资；同时买入期货合约 无风险投资的所得将在交割日用来购买资产，然后立即以市场价格将该资产卖掉,现金流分析,时刻 0 ： 时刻 T：,系统性风险和收益,K 值取决于投资的系统风险 若ST 与股票市场整体不相关 投资的系统风险为 0 ，只能获得无风险收益率 k = r ，可知F = E(ST) 若ST 与股票市场整体水平正相关 该投资的系统风险为正 k r，可知F E(ST),F = E(ST) 长期持有期货合约多头头寸的平均利润应为0 F E(ST) 交易者长期持有期货合约空头头寸将带来正的利润 投资的现值为： k 为与此项投资相对应的贴现率 E代表期望值 证券市场上所有的投资机会的净现值均为0：,期货价格和预期未来现货价格之间的关系,取决于现货价格与股票市场总体水平是正相关还是负相关 正相关的关系将使得期货价格低于预期未来现货价格 负相关将使得期货价格高于预期未来现货价格 当相关性为0时，理论上的期货价格等于预测的未来现货价格,合约方程,原始工具与有关的合成工具之间的等价关系,外汇远期实例,外汇远期的例子 在 t0 时刻购买一份外汇远期，远期合约规定在到期时刻 t1 ，可以按照价格 F 购买美元 实务角度 分析的角度,合成步骤,画出现金流图 现金流的分解,复制技术的关键,根据已知条件来加上或减去新的现金流，使其成为市场中可交易的金融工具 确保在合并现金流之后，新加入的现金流能被抵消掉，能还原为原来的现金流,获得本币贷款,将美元存入银行,利用人民币买入美元现货,合成过程,外汇远期合约的合成过程如下： 获得本币贷款 利用人民币买入美元现货 将美元存入银行 这一组合的现金流与外汇远期完全一致，所以是对外汇远期的复制。,合约方程,案例1：合成贷款,随着北海道Takushoku 银行的倒闭，上周出现了“日本溢价”，即日本银行在欧洲美元市场融资的附加成本突然增加。在美元贷款市场，据说日本银行现在对美元贷款相对要多支付大约40个基点，而一周前还不到30个基点。 面对较高的美元融资成本，日本银行试图寻找一种美元资金的替代资源，借入日元，并且在即期市场用日元买入美元，在远期市场用美元购买日元。由此导致美元/日元的远期汇率突然增长。（IFR，1997年11月22日）,说明,日本银行在银行间市场贷款欧洲美元受阻，转而在本国市场贷款日元再用日元购买美元。但同时，要卖出美元对日元的远期来对冲未来货币的风险敞口。,案例2：平行贷款,资本管制，无法直接购买美元,小结,在大多数情况下，具有某个确定交割日期的期货合约的价格与具有同样到期日的远期合约的价格可视为一致 当利率变化完全可预测时，两者应精确相等 当利率变化不可预测时，对于期限较短的期货合约和远期合约来说，两者的价格也非常接近,小结,将期货合约标的资产分为两类 众多投资者拥有，其目的仅是投资的标的资产 拥有的目的主要是为消费的标的资产,投资性资产,资产没有提供收益 资产具有已知的现金收益 资产具有已知的红利收益率,价格为S，到期日为T的某个投资资产合约小结,消费性资产,使用套利分析仅可以得到消费性资产的期货价格的上限 资产便利收益 衡量得是商品使用者感到拥有现货实际资产比仅持有期货合约更有好处的程度,持有成本,标的资产的存储成本加上融资成本，再减去该资产收到的收益 投资性资产 期货价格高于现货价格 差额反映了持有成本 消费性资产 期货价格小于现货价格 差额等于持有成本减去便利收益,习题,一家银行让一家公司客户从以下两个方案中选择：按11%的年利率借现金或按2%的年利率借黄金（如果借黄金，利息及本金要用黄金支付。因此今天借100盎司黄金一年后要交付102盎司的黄金）。 无风险年利率为9.25%，储存费用为每年0.5%。 请分析黄金贷款的年利率与现金贷款的年利率相比是太高了还是太低了。其中两个贷款的利率都是年复利表示。无风险利率和储存成本用连续复利表示。,