实二次型及其标准形.ppt

6 1实二次型及其标准形 一 二次型及其矩阵 二 合同变换 三 用配方法化二次型为标准形 四 用正交变换化二次型为标准形 一 二次型及其矩阵 称为n元二次型 若aij为实数 则称为实二次型 若aij为复数 则称为复二次型 则f x1 xn XTAX A 二次型f x1 xn 的矩阵 例1f x1 x2 x3 2x12 3x22 4x32 2x1x2 3x2x3 A f x1 x2 x3 的矩阵 若令 则有 f x1 x2 x3 XTBX 但BT B 故B不是f x1 x2 x3 的矩阵 二次型 也记为f X XTAX AT A 二次型f X 的秩 A的秩 在例1中 f x1 x2 x3 的矩阵 R A 3 故f x1 x2 x3 的秩为3 解 例2 求对称矩阵所对应的二次型 解 例3 已知二次型的秩为2 求参数c 解 可逆线性替换 定义8 2 设是两组变量 我们将下列关系式称为从变量组到的一个线性替换 变换 2 系数矩阵 则线性变换 2 可记作 若C可逆 则称 2 为非退化 可逆 满秩 线性变换 若C正交 则称 2 为正交线性变换 非退化线性替换的性质 1 非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证 2 连续施行线性替换的结果还是一个线性替换 证 3 连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换 连续施行正交替换的结果还是正交替换 矩阵的合同 经过非退化线性变换 可化为 则 矩阵的合同 所以 通过非退化线性变换 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 矩阵合同的性质 1 反身性 矩阵A与自身合同 2 对称性 若A与B合同 则B与A合同 3 传递性 若A与B合同 且B与C合同 则A与C合同 A与B等价 PAQ B P Q可逆 A与B相似 P 1AP B P可逆 请思考 矩阵合同与等价 相似有何关系 三 用配方法化二次型为标准形 只含平方项的二次型d1y12 d2y22 dryr2 di 0 称为标准形 形如z12 zp2 zp 12 zr2的二次型称为规范形 p 正惯性指数 r p 负正惯性指数 r 2p 符号差 例用配方法化二次型为标准形 f x1 x2 x3 x12 2x22 3x32 2x1x2 6x2x3 2x1x3 x12 2x1x2 2x1x3 x22 x32 2x2x3 x22 2x32 4x2x3 x1 x2 x3 2 x22 4x2x3 4x32 2x32 x1 x2 x3 2 x2 2x3 2 2x32 则f x1 x2 x3 y12 y22 2y32 法1 f x1 x2 x3 x12 2x22 3x32 2x1x2 6x2x3 2x1x3 x12 2x1x2 2x1x3 2x22 3x32 6x2x3 x1 x2 x3 2 x22 4x2x3 2x32 x1 x2 x3 2 x2 2x3 2 2x32 则f x1 x2 x3 y12 y22 2y32 法2 即 1 从x1 x2 x3到y1 y2 y3的线性变换 2 从y1 y2 y3到x1 x2 x3的线性变换 1 与 2 所表达的x1 x2 x3与y1 y2 y3的关系是相同的 利用配方法与归纳法可以证明 定理1任一实二次型f X XTAX都可用配方法化为标准形 例f x1 x2 x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3 令 则 f x1 x2 x3 2y12 2y22 4y1y3 8y2y3 2 y12 2y1y3 y32 2y22 2y32 8y2y3 2 y1 y3 2 2 y22 4y2y3 4y32 6y32 2 y1 y3 2 2 y2 2y3 2 6y32 2z12 2z22 6z32 法1 上式最后一步使用的变换是 则f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32 f x1 x2 x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3 令 则 f x1 x2 x3 2y12 2y22 4y1y3 8y2y3 法2 2 y12 2y1y3 2y22 8y2y3 2 y1 y3 2 2 y22 4y2y3 2y32 2 y1 y3 2 2 y2 2y3 2 6y32 2z12 2z22 6z32 上式最后一步使用的变换是 则 f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32 特点 二次型中至少有一个平方项系数不为零 特点 二次型中平方项系数全为零 即无平方项 定理2任何一个实二次型的规范形都是惟一的 证 将实二次型f X XTAX经合同变换化为标准形后 将正项集中在前 负项集中在后 d1y12 dpyp2 dp 1yp 12 dryr2 得f X XTAX的规范形为 z12 zp2 zp 12 zr2 由于合同变换不改变二次型的秩 所以r是惟一确定的 进一步还可证明正惯性指数p是惟一的 因此 负惯性指数r p与符号差 r 2p 也是惟一的 四 用正交变换化二次型为标准形 定理3任一n元实二次型f X XTAX都可用正交变换X CY化为标准形 1y12 2y22 nyn2其中 1 2 n是A的特征值 证 因A为n阶实对称矩阵 所以存在正交矩阵C 使 CTAC C 1AC diag 1 2 n 令X CY 则 f X YTCTACY 1y12 2y22 nyn2 例4用正交变换化二次型为标准形 f x1 x2 x3 x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 解 f x1 x2 x3 的矩阵 特征值 1 2 二重特征值 2 7 求 1 2的特征向量 x1 2x2 2x3 0 特征向量 1 2 1 0 T 2 2 0 1 T 将 1 2正交化 1 1 2 1 0 T 求 1 7的特征向量 3 1 2 2 T 将 1 2 3单位化 X x1 x2 x3 T Y y1 y2 y3 T 则X CY为正交变换 且 f 2y12 2y22 7y32