高等数学上册总复习.doc

第一章 总复习内容：极限与连续基本要求：1理解极限定义，了解极限性质。 2理解无穷小、无穷大定义，掌握其性质。 3熟练掌握各类极限的计算方法。 4理解函数连续性的定义，会找函数的间断点、并分类。 5了解函数连续性的运算性质及闭区间上连续函数的性质。内容与方法精讲：一 极限的基本概念1 极限定义（无论多小），总存在一个时刻，当这个时刻以后，恒有. 实质：可以任意小。2 无穷小定义（无论多小），总存在一个时刻，当这个时刻以后，恒有.实质：可以任意小。3 无穷大定义（无论多大），总存在一个时刻，当这个时刻以后，恒有.实质：可以任意大。注：以上“总存在一个时刻，当这个时刻以后”指的是：对，意味着：“一个正整数，当以后”。对，意味着：“一个正实数，当以后”。对，意味着：“一个正实数，当以后”。4 单侧极限定义左极限 ，当时，恒有. 右极限 ，当时，恒有. 二 极限的性质1 惟一性：如果极限存在，则极限值是惟一的2 有界性：若数列收敛，则有界。局部有界性：若存在，则函数在局部有界。3 局部保号性：若（或），则在局部有（或）.反之，若，且在局部有（或），则（或）.4 子列收敛性：若数列收敛于，则的任何子列也收敛于.5 沿点列收敛性：若，则沿以为极限的点列（）函数也收敛于 即6 夹逼准则：若，且，则存在，且为7 单调有界原理：单调有界数列必有极限。8 极限与单侧极限关系：.三 无穷小与无穷大性质 1 2无穷小的和、差、积仍为无穷小。 3无穷小与有界变量之积为无穷小。 4无穷小与无穷大互为倒数。 5正（负）无穷大之和为正（负）无穷大。 6无穷大之积为无穷大。 7无穷大与极限非零变量之积为无穷大。 8 9若在极限过程中，且极限存在或为，则四 几个重要极限2 （）.3（型）在极限过程中，如果函数，则 ； ； ； ； ； . 4（型）当时，有理函数极限为 （其中）5（型）在极限过程中，如果函数，则 在极限过程中，如果函数，则五 几组常用的等价无穷小1 当时，以下无穷小两两等价： 2 当时，3 当时，4 当时，5 当时， （）.六 极限计算方法（一） 定式极限1 若函数在点连续，则2 利用无穷小与无穷大的运算性质。（二） 未定式极限 1型： 分子分母同除一个适当的无穷小（通常是约分）。 先将函数恒等变形（通常是有理化、三角变形等），然后再约分。 凑重要极限3. 利用等价无穷小进行替代。 2型： 分子分母同除一个适当的无穷大。 利用重要极限4. （注意局限性） 3型：通过通分、有理化或由对数运算性质等手段将其化为或型。 4型： 将无穷小部分利用等价无穷小进行替代。 由将其化为或型。 5型： 凑重要极限5. 进行换底：. （化为型） 利用取对数法：设，则，如果，则 注：以上方法、也适用于型和型。 （三）项和与项积的数列极限 1先求出和或积的简化式，再求极限。 2用夹逼准则。 （四）分段函数在分界点的极限 1若 则 2若 先求左、右极限； ， 如果这两个极限存在且相等，则（或），否则不存在。七 函数连续性的概念1 连续性定义 函数在点连续是，其中 函数在点连续是2 连续函数的运算性质 连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）是连续函数。 单调连续函数的反函数是连续函数。 连续函数的复合函数是连续函数。 初等函数在定义区间内连续。3 闭区间上连续函数的性质 最值定理：若函数在闭区间上连续，则在闭区间上必取得最大值与最小值. 有界性定理：若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。 零点定理：若函数在闭区间上连续，且，则在开区间（）内至少有一点使得 介值定理：若函数在闭区间上连续，且，则函数必取得介于与之间的任何值；也可以取得介于最小值与最大值之间的任何值。八 间断点的找法分类1 间断点的找法 对初等函数找无定义的点（它一定是间断点）。 对分段函数要讨论分界点（它可能是间断点，也可能不是间断点）。2 间断点的分类（以下都是间断点） 若存在，则是第一类中可去间断点，重新定义，则函数在点连续。 若，则是第二类中无穷型间断点。 若与存在且相等，则是第一类中不可去（或跳跃）间断点。 若在时，函数值在某两个不同的数值之间作无穷次摆动，则是第二类中振荡型间断点。第二章 总复习内容：导数与微分基本要求：1理解导数与微分定义，掌握导数的几何意义，了解微分的几何意义。 2掌握函数可导、可微、连续之间的关系。 3熟练掌握各类函数的一阶导数与微分的求法，会求高阶导数。 4掌握导数的几何应用，了解微分在近似计算和误差估计中的应用。内容与方法精讲：一 基本概念1 导数的定义 在一点的导数：. 左导数. 右导数. 导函数2 微分定义 函数在点可微.（其中，常数与无关） 函数在点微分，（即：是的线性主部）。3 导数的意义 实际意义：是函数在点关于自变量的变化率。 几何意义：是曲线在点的切线斜率。4 微分的几何意义函数在点微分曲线在处的切线，当自变量改变时，纵坐标的改变量。5 高阶导数的定义 递推定义：，或. 分析定义：.特别：.6 导数与微分的性质 可导与可微的关系：函数在点可微在点可导，且 可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。（即：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。） 导数与单侧导数的关系：在点可导与存在，且相等。 奇、偶函数的导数性质：可导的奇（偶）函数的导数是偶（奇）函数。 周期函数的导数性质：可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变。二 导数与微分公式及法则1 基本初等函数的导数与微分公式（略）2 函数求导法则 导数的四则运算法则： 反函数求导法则：若与互为反函数，则 ，即. 复合函数的求导法则：设，则（其中），即. 高阶导数求导法则：. （莱布尼茨公式） 注：莱布尼茨公式多用于或型的函数求高阶导数。 3函数微分法则 微分的四则运算法则： 一阶微分形式不变性：.三几个高阶导数公式 1 2 3当不是正整数时， 当为正整数时， 4 5 四函数求导方法 1初等显函数 用基本初等函数导数公式及求导法则，并注意以下三点。 复合函数求导时用“扒皮法”，不要漏项，要扒到底。 对含有抽象函数的导数，要注意导数记号的使用。 对某一些函数，在求导前要将函数化简，写成利于求导的形式。2由方程确定的隐函数 通过方程两边同时对变量求导，得到一个含有的方程，从中解得.(注意求导过程中要将看作的函数，按复合函数进行求导)3幂指函数 用对数求导法：对两边求导，从中解出. 将函数改写为，按复合函数进行求导。 4由参数方程确定的函数 ； ； ；等5分段函数 在分界点以外，按初等函数进行求导，在分界点处用导数定义按下面方法求导。 对型分段函数， 对型分段函数，要求左、右导数， ； . 如果，则（或。否则，函数在 点不可导。6高阶导数 逐次求导。 利用高阶导数求导法则及几个函数的高阶导数公式。7函数在一点的导数 利用导函数： 利用导数定义：8函数的微分 利用导数：. 利用函数的微分运算法则。五导数与微分的应用1求变化率如：在变速直线运动中，速度；加速度. 2求切线及法线方程导数条件切线方程法线方程 3函数增量的近似计算 4函数值的近似计算 （其中是点附近的特殊点，且及好计算） 特别，当很小（即接近0）时，有如下几个常用的近似公式： ； ； ； ； ； ； 5误差估计； 设量的计算公式为，且量有绝对误差，则 的绝对误差为； 的相对误差为.6相关变化率 若变量与之间有关系，且变量关于变量的变化率为，则变量 关于变量的变化率为第三章 总复习内容： 中值定理与洛必达法则基本要求：1 理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。会应用定理解决一些简单的问题。 2 了解泰勒中值定理及几个简单函数的麦克劳林展开式。 3 会用洛必达法则求未定式极限。 4掌握函数单调性的判定，极值的求法。5掌握曲线凹凸性的判定，拐点的求法。6会求函数的最值，并解决简单的实际问题。7了解不等式常用的证明方法，会证明一些简单的不等式。8会讨论简单方程根的个数。9会作简单的函数图形。10会求弧微分、曲率及曲率半径。内容与方法精讲：一 中值定理及其应用1 中值定理定理名称定理条件定理结论定理关系罗尔定理(1)在区间上连续(2)在区间上可导(3) 在开区间内至少有一点，使得去掉条件为拉格朗日定理拉格朗日定理(1)在区间上连续(2)在区间上可导在开区间内至少有一点，使得当时，为罗尔定理柯西定理(1)在区间上连续(2)在区间上可导(3)时，在开区间内至少有一点，使得当时为拉格朗日定理2 中值定理的意义中值定理的重要意义在于：用等式将函数与导数联系在一起，如： 为用导数研究函数（或用函数研究导数）奠定了基础。（尽管式中的没有给出具体位置，它不影响应用，只要存在就足够了。）3中值定理常见题型与应用有如下类型 对给定函数验证定理成立：检验条件并求满足结论的（求是主要内因）。 证明恒等式：由拉格朗日定理推论，若，则（常数）。 证明不等式：对拉格朗日公式中的进行放缩得到不等式，关键是构造函数及选取区间（或用于含的不等式）。 证明方程有根：由罗尔定理证明方程有实根。 证明含有的等式：关键是构造函数（此类问题较难）。 通过导数研究函数的性态。 二泰勒中值定理（泰勒公式） 1泰勒公式 如果函数在含的一个开区间内有直到阶导数，则对，有 . （介于与之间） 2麦克劳林 如果函数在含的一个开区间内有直到阶导数，则对，有 . （） 3带有皮亚诺余项的泰勒公式 如果函数在含的一个开区间内有直到阶导数，且有界，则对，有 . 4几个简单函数的麦克劳林展开式（下列各式中都满足（） ； ； ； ； 5泰勒公式应用 用次多项式逼近函数，进行函数值的近似计算。误差不超过，其中是函数的阶导数的界，即 用带有皮亚诺余项的泰勒公式求极限：将分子、分母分别展开为用带有皮亚诺余项的泰勒公式，展开次数到出现系数非零的幂次为止。 证明不等式：在带有拉格朗日余项的泰勒公式中对进行放缩（偶尔也有对其它部分进行放缩的）得到不等式。 研究函数的性质：如果在中已知的个函数的性质，可用的阶泰勒展开式研究另一个函数性质。 三洛必达法则 1洛必达法则：若函数、满足条件 （1）； （2）在的某一个去心邻域内，、存在，且； （3）存在或为无穷大， 则 3 未定式极限求法（续习题课（一） 极限类型极限形式极限求法型用洛必达法则分子分母同除一个适当的无穷小（通常是约分）将函数恒等变形（如有理化、三角变形等），然后再约分凑几个常用的型重要极限利用等价无穷小进行替代凑导数定义利用带有皮亚诺余项的泰勒公式 型用洛必达法则分子分母同除一个适当的无穷大利用时，有理函数的重要极限型通过通分、有理化或对数运算性质等手段化为或型型将无穷小部分利用等价无穷小进行替代由将其化为或型其中函数的取法要遵循下列原则：三角函数优先，幂函数与指数函数次之，最后考虑其它函数、及型对型，一般凑重要极限用换底，（化为型）取对数，若，则4 用洛必达法则求极限要注意的几个问题 洛必达法则可以连续使用，直到定式极限为止； 定式极限绝对不能使用洛必达法则； 不存在且不为无穷大，也不能使用洛必达法则，要考虑用其它方法； 对数列极限若要使用洛必达法则，必须先变为，转化为函数极限，然后再用洛必达法则 若连续使用洛必达法则，永远为未定式极限，应立即改用其它方法； 洛必达法则只能直接用于或型，其它五种未定式极限，要转化为或这两种基本类型后再用洛必达法则； 为更好地使用洛必达法则，还要注意以下细节： i）能用等价无穷小替代的部分，要用简单的无穷小作替代进行化简； ii）随时对函数进行化简，并及时求出非零因子部分的极限。四 函数单调性及极值1 函数单调性的判定：在区间内，如果（等号只在个别点成立），则在内单调增加。在区间内，如果（等号只在个别点成立），则在内单调减少。2 函数在点取极值的必要条件：（即为驻点），或不存在（即为不可点）。3函数在点取极值的充分条件： 函数在点连续，且在点左、右两侧附近异号。 若从点左侧到右侧的符号从正变到负，则为极大值。 若从点左侧到右侧的符号从负变到正，则为极小值。 函数在点有二阶导数，且， 若，则为极大值。 若，则为极小值。 4求函数单调区间及极值的步骤： 确定函数的定义域； 求，找驻点及不可点； 列表（用驻点及不可点将定义域分成若干个区间，在每个区间内确定的符号； 下结论（指出单调区间，给出极值）。五 曲线凹凸性及拐点1曲线凹凸性的判定：在区间内，若（等号只在个别点成立），则曲线在内上凹（下凸）。在区间内，若（等号只在个别点成立），则曲线在内上凸（下凹）。2 曲线在点取拐点的必要条件：，或不存在。3 曲线在点取拐点的充分条件： 函数在点连续，且在点左、右两侧附近异号。4求曲线凹凸区间及拐点的步骤： 确定函数的定义域； 求，找出使得为零的点及不存在点； 列表（用上述点将定义域分成若干个区间，在每个区间内确定的符号； 下结论（指出凹凸区间，给出拐点）。 六函数最大、小值求法 1闭区间上连续函数的最值求法： 由找出在开区间内的所有驻点及不可点， 并计算函数值，则 最大值；最小值. 2有惟一极值点函数的最值求法：设是函数在区间内惟一的极值点，有 如果是函数的极大值点，则是函数在内的最大值； 如果是函数的极小值点，则是函数在内的最小值。 3实际问题中的最值求法的步骤： 建立目标函数（即建立数学模型）； 求，找出驻点及不可点； 判定并下结论（常常可以由实际意义判定）。 七不等式证明方法 1利用中值定理或泰勒展开式。 2利用函数的单调性。 为证明：可先判定函数的单调性，从而得到不等式； 为在区间是证明：可先判定函数的单调性，再与函数值（或）进行比较，从而得到不等式。 3利用函数的最大值及最小值。 当在区间是证明时，如果函数不是单调的，可以转化为求的最大值，若，则，从而得到不等式。其它情况类似。 4利用曲线凹凸性定义。 如果在证明的不等式中出现了和的形式，应当考虑用曲线凹凸性定义证明。先判定曲线的凹凸性， 如果曲线上凹，则育不等式；如果曲线上凸，则育不等式. 八方程实根个数的讨论方法 1用零点定理和单调性。用零点定理证明方程至少有一个实根：若函数在区间是连续，且与异号，则方程在区间内至少有一个实根；用单调性证明方程至多有一个实根：若函数在区间上单调，则方程在区间内至多有一个实根综上：方程在区间内有且仅有一个实根。2用作函数图形法。如果讨论方程的实根个数，可以先作函数，然后通过曲线与直线的交点个数，得到方程的实根个数。 九曲线的渐近线求法（注：以下极限都可以换为单侧无穷极限或单侧极限）1水平渐近线求法：考察极限，如果，则直线是曲线的水平渐近线。2铅直渐近线求法：如果是函数的间断点，应考察极限，若，则直线是曲线的铅直渐近线。3斜渐近线求法：考察极限，如果，则曲线一定有斜渐近线。再由求，则直线是曲线的斜渐近线。 十函数的作图步骤1确定函数的定义域及奇、偶性和周期性（如果具有的话）。2求，找出它们为零的点及不存在的点。3列表确定的符号，讨论函数的单调性、极值；曲线的凹凸性、拐点。4求曲线的渐近线及特殊的变化趋势。5综合上述讨论，进行描图。（为描图更准确，可以适当补充一些点，特别是与坐标轴的交点） 十一弧微分、曲率、曲率半径求法方程形式弧微分公式曲率公式曲率半径直角坐标参数方程极坐标第四章 总复习内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1理解原函数与不定积分的概念。 2掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。 3掌握不定积分的积分方法。 4会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一 原函数与不定积分的概念1 原函数定义：在区间上，若（即），称函数是函数在区间上的一个原函数。2 原函数存在的条件：若函数在区间上连续。则在区间上有原函数。3 不定积分：函数在区间上的所有原函数称为在区间上的不定积分，记作.4 不定积分与导数的关系：（1） 先积分再求导（或微分） ，或 ；（2） 先求导（或微分）再积分 ，或 .5 不定积分的线性性：（1）；（2）. 二基本积分公式（略）三不定积分的方法1 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。2 凑微分法：.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。要熟练常用的几个凑微分式子： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11） 多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：换元名称被积函数特点具体换元公式换元目的三角换元含有去根号化为有理函数或三角函数有理式的积分含有含有根式换元根式换元含有含有倒代换分母幂次比分子幂次较高降低分母幂次4 分部积分法： 或 主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好与的选取，原则是好找原函数，的导数简单，积分积分容易（至少不难）。要掌握以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型条件取作取作目的幂函数三角函数正整数次幂幂函数三角函数降低幂次幂函数指数函数正整数次幂幂函数指数函数降低幂次幂函数对数函数实数次幂对数函数幂函数去掉对数函数幂函数反三角函数实数次幂反三角函数幂函数去掉反三角函数指数函数三角函数与任取，用两次分部积分，出现“打回头”四几类特殊函数的积分第五章 总复习内容： 定积分基本要求：1 理解定积分定义，掌握定积分几何意义及定积分性质。 2 理解定积分变限函数概念，会求其导数。 3 熟练掌握定积分的计算方法，会用换元法证明定积分等式。 4会计算反常积分，了解反常积分收敛的概念。内容与方法精讲：一 定积分的概念1 定积分定义：.当函数在区间上可积时，.特别当函数在区间上可积时，定积分的实质：对在区间上求“无穷和”。2 分的几何意义：曲边梯形面积代数和。3 定积分的性质：（1） 线性性 ；（2） 可加性：；（3） ；（4） 在区间（）上，若函数，则.特别 当时，, 当时， ； 当函数在区间（）上连续，且不恒等于时，有.（5） 定积分估值定理：在区间（）上，若函数的最小值为，最大值为，则特别：在区间（）上，若函数连续，的最小值为，最大值为，且，则 .（6） 定积分中值定理：若函数在区间上连续，则在上至少有一点，使注意：这里的可以在开区间内取得。（7） 定积分第一中值定理：若函数在区间上连续，且函数在区间上不变号，则在上至少有一点，使 注：微积分中三大公式，即拉格朗日中值公式、定积分中值公式、微积分基本公式，构成了微积分理论的基本框架，它们之间的关系可以由下面图形给出： 4 积分变限函数的导数（其中函数连续，可导）：5 反常积分：（1）收敛 收敛，且；（2）收敛 收敛，且；（3）收敛 与都收敛，且 .（4）当上限为瑕点时，收敛收敛，且；（5）当下限为瑕点时，收敛收敛，且；（6）当上、下限都是瑕点，或内有瑕点时， 收敛与都收敛，且.6 两个反常积分的收敛性：（1）（2）二 定积分的计算1 基本方法：（1） 用微积分基本公式.注意： 条件是函数在区间上连续，是在区间上的（任意）一个原函数。（2）凑微分法 注意： 换元条件，函数在区间上连续，换元函数单调、可导，且. 提醒：牢记“换元要换限”。（4）分部积分法 或.2 特殊方法：（1） 用几何意义曲边梯形面积代数和。（2） 利用函数的奇、偶性：若是区间上可积的奇函数，则；若是区间上可积的偶函数，则.（3） 利用函数的周期性：若函数是以为周期的可积函数，则 （其中为整数）.（4） 利用一些特殊公式：（其中函数连续） ； ； ； ； ；三 反常积分的计算反常积分可以按照定积分的方法用微积分基本公式进行计算，如 ； 当下限为瑕点时，反常积分也可以用换元积分法和分部积分法进行计算。第六章 总复习内容： 定积分基本要求：1 理解定积分定义，掌握定积分几何意义及定积分性质。 2 理解定积分变限函数概念，会求其导数。 3 熟练掌握定积分的计算方法，会用换元法证明定积分等式。 4会计算反常积分，了解反常积分收敛的概念。内容与方法精讲：四 定积分的概念1 定积分定义：.当函数在区间上可积时，.特别当函数在区间上可积时，定积分的实质：对在区间上求“无穷和”。2 分的几何意义：曲边梯形面积代数和。3 定积分的性质：（1） 线性性 ；（2） 可加性：；（3） ；（4） 在区间（）上，若函数，则.特别 当时，, 当时， ； 当函数在区间（）上连续，且不恒等于时，有.（5） 定积分估值定理：在区间（）上，若函数的最小值为，最大值为，则特别：在区间（）上，若函数连续，的最小值为，最大值为，且，则 .（6） 定积分中值定理：若函数在区间上连续，则在上至少有一点，使注意：这里的可以在开区间内取得。（7） 定积分第一中值定理：若函数在区间上连续，且函数在区间上不变号，则在上至少有一点，使 注：微积分中三大公式，即拉格朗日中值公式、定积分中值公式、微积分基本公式，构成了微积分理论的基本框架，它们之间的关系可以由下面图形给出： 4 积分变限函数的导数（其中函数连续，可导）：5 反常积分：（1）收敛 收敛，且；（2）收敛 收敛，且；（3）收敛 与都收敛，且 .（4）当上限为瑕点时，收敛收敛，且；（5）当下限为瑕点时，收敛收敛，且；（6）当上、下限都是瑕点，或内有瑕点时， 收敛与都收敛，且.6 两个反常积分的收敛性：（1）（2）五 定积分的计算1 基本方法：（1） 用微积分基本公式.注意： 条件是函数在区间上连续，是在区间上的（任意）一个原函数。（2）凑微分法 注意： 换元条件，函数在区间上连续，换元函数单调、可导，且. 提醒：牢记“换元要换限”。（4）分部积分法 或.2 特殊方法：（1） 用几何意义曲边梯形面积代数和。（2） 利用函数的奇、偶性：若是区间上可积的奇函数，则；若是区间上可积的偶函数，则.（3） 利用函数的周期性：若函数是以为周期的可积函数，则 （其中为整数）.（4） 利用一些特殊公式：（其中函数连续） ； ； ； ； ；六 反常积分的计算反常积分可以按照定积分的方法用微积分基本公式进行计算，如 ； 当下限为瑕点时，反常积分也可以用换元积分法和分部积分法进行计算。