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第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理例1解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；训练1： 当时， ， 当时， ，例2解：设 则有，从而=又，所以=2达标训练 BAADD 630 7 8解析:A=60,C=45, B=180-60-45=75,故c边最小.=,c=2-2.9解:=,sinA=.A=60或120. 当A=60时,C=90, SABC=ab=; 当A=120时,C=30,SABC=absinC=.10解：，于是设在ADC与BDC中，由正弦定理得， 。1.1.2 余弦定理例1解：=cos= 训练1（1）由余弦定理得，且 ， （2）将代入，得 ， 例2解：由余弦定理的推论得：cos； cos ； 训练2（1）；。 （2）； 。达标练习：DDAACB 7. 钝角三角形 8. 60 9. -10解：由c4-2(a2b2)c2a4a2b2b40，得(a2b2)2-2(a2b2)c2c4a2b2，(a2b2-c2)2a2b2，a2b2-c2ab，cosC，C120或C6011证明：由余弦定理得，12解：a2-a-2b-2c0，a2b-2c30由上述两式相加，相减可得c(a23)，b(a-3)(a1)c-b(a3)a30，cb c-a(a23)-a(a2-4a3)(a-3)(a-1)b(a-3)(a1)0，a3 (a-3)(a-1)0cac边最大，C为最大角cosC ABC的最大角C为1201.1.3 正、余弦定理综合应用例1解：，即，。训练1解：（1）得b=1。由余弦定理得 则（2）由正弦定理及acosA=bcosB得sinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B或2A=2B 即A=B或A+B= ABC为等腰三角形或直角三角形例2解：由SABCbcsinA，得1248sinA sinAA60或A120a2b2c2-2bccosA(b-c)22bc(1-cosA)4248(1-cosA)当A60时，a252，a2；当A120时，a2148，a2训练2解：由得，则=3，即，从而达标练习：DBBA 5. 6. 等腰或直角三角形7解：设， 8解：Sa2-(b-c)2又SbcsinA bcsinAa2-(b-c)2 (4-sinA)cosA (4-sinA)sinA4(1-cosA)2sintansinAcb4时，S最大为9解：（）由余弦定理得 故（）解法一： 解法二：由余弦定理及（）的结论有: 1.2 应 用 举 例（一）例1解：（1）在BCD中，CBD=1800-300-1050=450, 则BC=。在ACD中，AC=CD=.在ABC中， ， AB=（km）训练1： 训练2：AB=20.例2解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=, 则sinC =1- cosC =, sinC =, 所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中，由正弦定理得 MC =35. 从而有MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。训练3： nmile训练4解：在ACD中， 根据正弦定理有: 同理：在BCD中， ，根据正弦定理有：在ABD中， 所以：炮兵阵地到目标的距离为。达标练习 CBAAA 660 7解：ABC中，ABC=15，ACB=120，BAC=45，AB=8, 故不改变航向继续前进无触礁危险。8解：CBD=1807545=60， BD= ABD中，ADB=45+60=105， AB=2.91（km）9解：连接BD， ，sinBDC=, BDC=30, 则ADB=120 AB=km.1.2 应 用 举 例（二）例1解：RtAOP中，OA=h, RtBOP中，OB=h, AOB中:，即 ，训练1：468m； 训练2：20+(m)例2解：设乙船行驶了x海里即甲船行驶了x海里后两船在C处相遇。ABC中，ABC=120，AB=10，BC=x，AC=x，则：，即，解得x=10或x=-5（舍去）。 所以ABC是顶角为120的等腰三角形，BAC=30。故甲船应向北偏东30方向行驶才能追上乙船。训练3：30 训练4解：ABC中，BAC=120，AB=10，AC=6, 则=14， sinCBA=，所以CBA=22，航速=21. 故乙船应以21海里每小时的速度、沿东偏北67方向航行.达标练习 BACDAA 7308150 910解：米 11解：由题可知ABC和ACD都是等腰三角形。 AC=30，CD=AD=，cosACD=. ACD=30, =15.AE=ADsinADE=sin60=15. =15，建筑物AE的高为15m.12解：设在C处追上走私船，需用时间t小时， 在ABC中，B=120，BC=10t，AC=14t.由正弦定理得：，sinA= A=38 由余弦定理得： 解得：t=2. 故我艇应以方位角83方向追击，经2小时可追上走私船。1.2 应 用 举 例（三）例1解：由已知有： 又， 5248cosC=20-cosA, 因为cosC=cosA，sinC=sinA 故cosC=, sinC=. 四边形ABCD的面积为训练1解：BCD中，由余弦定理：BD=。DBC=30DBA=90训练2解：由正弦定理：sinC=，C=60或120.当C=60时， A=90，;当C=120时，A=30，例2证明：由正弦定理得：,即sin2A=sin2B。A=B或A=B. 舍去A=B。 C= 故ABC是直角三角形。训练3证明：左=由正弦定理：， 左=右。训练4证明：由已知有2sinBcosC=sinA=sin(B+C)，展开得：sin(B-C)=0，B=C即ABC是等腰三角形。达标练习 ACCDBB 7 8 912010解：由已知可得：sinB= ，又B为锐角，B=45由得c=. . 即A=B=45ABC为等腰直角三角形。11解：由余弦定理得49=64+8c，即8c+15=0. 解得c=3或c=5.所以当c=3时，； 当c=5时，.12解：（1）由已知得，由余弦定理得：cosA=，A=60(2)由正弦定理得：sinB=，A=602.1 数列的概念与简单表示法（第一课时）例2解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 将数列变形为10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；达标练习 A BBBDD 7. an=2+2(-1)n+1 8. 5 9. 10.（1）an=（2）an=11解：（1）设,则,解得,（2）又,即为5,9,13,17,2.1 数列的概念与简单表示法（第二课时）例1解：据题意可知：，例2法一： ，观察可得 法二： 即 训练2： 达标练习AACBDD 7-30 8 an= 9 -110.,猜得11解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.a+2nan-1=0.an=，又an0，an=-n.2.2 等差数列（第一课时）例1解： （1）通项公式为； ； （2）； 训练1解：（1） ，通项公式为（2）由，得这个数列的通项公式为由题意知：2011=，故选D。例2解：设这5个数分别为，由题意，得：这5个数分别为训练2解：设这四个数分别为，则，当时，四数为 当时，四数为 达标练习： BDCCC6. 7 8.9解：由题意知：梯子的级数是9+2=11，由等差数列的通项公式得:，中间各级的宽度分别为37，44，51，58，65，72，79，86，93.10解：成等差数列 ，即 ，11解：(1)因为为等差数列，所以，或；(2) 当时， ，当时， ， 通项公式或.2.2 等差数列（第二课时）例1解： an 是等差数列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32 =2, =32训练1. 解：（1），即 ，（2）由，得： ，故选B。例2解：由题意知：， 数列是以为首项，2为公差的等差数列。 训练2解：由题意知：，数列是以为首项，为公差的等差数列。 达标练习：BCBBDB 7 . 8. 0 9解：设等差数列的公差为d.由即d=1. 所以即10解:a1+a4=14, a2+a3=14.由解得或d0, d=4, an=5+(n-2)4=4n-3. 11解： 即 数列是首项为，公差为的等差数列 由已知可得 2.3 等差数列的前n项和（第一课时）例1解：(1) (2)设题中的等差数列为，前n项为 则由公式可得 . 解之得：（舍去） 等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54训练1：（1）3或-1 （2）60 训练2：336 达标练习：CBCC 5. 170 6.393 7解：由得 正整数共有14个即中共有14个元素 即：7，14，21，98 是等差数列 答：略8， 所以，说明：若等差数列与的前项和分别为和，则9解：设首项是，公差为d 则：同理可得成等差数列.2.3 等差数列的前n项和（第二课时）例1解：当n1时， 当n=1时， 也满足式. 所以数列的通项公式为.由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。训练1解：（1）是公差为的等差数列，其首项为，（2）当时， 当时，所以，（）。 例2解：由题意知，等差数列的公差为，所以 = 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.训练2.解：(1)由an243n知当时，当时，前8项或前7项的和取最大值.(2)由bn2n17n知当时，当时，前8项的和取最小值.达标练习： ACCBA 6. . 7.38解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中 ，d=50 那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为（万元）答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.9解法一: 点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数的图象上,其对称轴距离x=15.7最近的整数点(16,S16), 解法二: 10解：（1）an2an1an1an，可知an成等差数列，d2 an102n（2）由an102n0得n5当n5时，Snn29n 。当n5时，Snn29n40故Sn （nN）（3）bn() Tn b1b2bn (1)()()()(1)Tn1Tn2T1.要使Tn总成立，需T1恒成立，即m0, 5; 训练1解： a, 1, c成等差数列, ac2, 又a, 1, c成等比数列, a c1, 有ac1或ac1, 当ac1时, 由ac2得a1, c1,与ac矛盾， ac1, .例题2 证明：由题设：b2=ac 得 也成等比数列 达标练习 1.20 2.-2 3.B 4.A5（1）解：，前七项之积（2）解： 另解：是与的等比中项，6解： an为等差数列，bn为等比数列， a2a42a3,b3b4b32,而已知a2a4b3,b3b4a3, b32a3,a3b32. b30, b3,a3由 a11,a3 知an的公差d an1-（n-1）由b11,b3 知bn的公比为q或q当q时，bn = 当q时，bn = 7证一：关于的二次方程有实根， ，则必有：，即，成等比数列设公比为，则，代入 ，即，即证二： ，且 非零，2.5 等比数列前n项和（第一课时）例1： 训练1： 例2：也成等比数列，解得 训练2：63达标练习：BCD 4. 5.0或8或 6. 5年 7（1）（2） 8 .100 9.（1） （2）2.5 等比数列前n项和（第二课时）例1： 训练1：略 例2解；（1）（2）： 训练2:达标练习CDC 4.1 5.3 6.7.8. 9.（1）（2） 10（1） （2） 3.1.1 不等关系及不等式例1问题1解： 9t16问题2：解问题3解：3.2 一元二次不等式及其解法（第一课时）例1（1）原不等式可化为0。因为方程=0的两根是-2，3，所以原不等式的解集是x|x-2或x3。（2）原不等式可化为0。 因为=-80，所以方程=0无实根，而y=的图象开口向上， 所以原不等式的解集为空集。训练1：（1）x|x-1或x（2）x|0x9（3）实数集（4）空集例2解：原不等式等价于所以原不等式的解集为x|x-3或x2训练2：x|3x4 例3解：据表可知，且=0的两根为2，3。 由韦达定理得解得 所以 故原不等式的解集是。训练3：x|2x3 达标练习BCCBBA 7、5或 8、R 9、，10、（1）或（2）， 11、（0，3） 12、7，8，9月。3.2 一元二次不等式及其解法（第二课时）例1解：因为不等式0的解集为|34， 所以0，且3和4是方程=0的两根，由韦达定理得， 即，所以不等式0可化为0，即0故所求不等式的解集为|35 训练1 ：、的值分别为12和2例2解法一：设方程的两根为、，且均为负。则，解得或，故的取值范围是|或。解法二：设，依题意，的图象与轴的交点都在原点左侧，由于的图象的对称轴为且图象的开口向上，故， 解得或，故的取值范围是训练2：|01 例3解：原不等式等价于0， 令=0，得其根为，。当即01时，原不等式的解集为|当=即=0或1时，原不等式的解集为空集当即0或1时，原不等式的解集为|训练3：1时，原不等式的解集为或，1时，原不等式的解集为R， 1时，原不等式的解集为或。达标练习：BCDCB 6、m或n 7、|4或2 8、1，19） 9、， 10解：当0即1时，原不等可化为0， 其解集为当时，原不等式可化为0 当0即1时，原不等可化为0，而，故当0即0时，0所以原不等式的解集为当0即01时，0所以原不等式的解集为当即时，原不等式的解集为。3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域例1：C 训练1：B 达标练习：CCACCCB 8. 9. 10. a=93.3.2 简单的线性规划问题例1：在交点处取得最大值2 训练1. 135 例2：15，25 最高学分175 训练2：200，400，获得最大利润428达标练习：CCCBACB 8.6 9. 10.5 11.(1) (2) 3.4 基本不等式（第一课时）例1 即 两边同时除以4得：，即训练1：证明:a0,b0, +b2=2a. 同理,得+c2b,+a2c. 三式相加得+a+b+c2a+2b+2c, 即+a+b+c.例2由所以 即 故，即，选择B达标练习：1 2., 3. , 4. , , ,; 6 3.4 基本不等式（第二课时）例1 对于A，当且时的值可正可负，故A不正确；对于B，当时，当时等号成立；对于C，时的值为1，与条件不符；对于D，当时，是增函数，故当时它有最大值，不正确。训练1解:f(x)=(x-1)+,-4x1,x-10,f(x)=-(x-1)+-1, 当且仅当x-1=,即x=0时,取“=”.f(x)-1,即f(x)有最大值-1. 答案:D例2 ， 解得 当时有 解得 或所以时，；时，训练2解析:P(x,y)在y=4-2x的图象上运动,2x+y=4,9x+3y=32x+3y2=2=18.当2x=y,即x=1,y=2时,“=”成立.达标练习 1小 2.大 3. D 4. 0 , 1 5. 2 6. 当且仅当时等号成立7 的最大值为3.4 基本不等式（第三课时）例1 设为流出的水中杂质的质量分数，则，其中是大于0的比例系数，要使最小，只需求出的最大值。由，即， 当且仅当时等号成立 所以当米，米时满足要求训练1解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元，根据题意，有可得等号当且仅当所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元例2 （1）当且仅当，即时等号成立；（2）仿上述做法，最小值是训练2解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）m由 ，可得 2（）等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，由 可得 ,可得等号当且仅当 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81达标练习1 2. D 3. (1) (2) 4. 20 5. 4 7. 依题意须恒成立，即恒成立 即正数的最小值为4
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