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习题11解答 1 设f(x,y)=xy+x11x1，求f(-x,-y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)11xy1xyyxxy22解f(-x,-y)=xy+xy；f(,)=+;f(xy,)=x+y;1f(x,y)=yxy2+x 2 设f(x,y)=lnxlny，证明：f(xy,uv)=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)f(xy,uv)=ln(xy)ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v) 3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f(x,y)=-x2+2y-1;2（2）f(x,y)=4x-y2ln(1-x-y)xa222;（3）f(x,y)=1-yb22-zc22;（4）f(x,y,z)=x+2y+2z2.-x-y-z解（1）D=(x,y)x1,y1 （2）D=(x,y)0x2+y21,y 222xy （3）D=(x,y)2+2+ab（4）D=(x,y,z)x0,y0,z0,x2+y2+z21 4求下列各极限： （1）lim1-xyx+y221-00+1=1x0y1=（2）limln(x+ex+y2-2y)2x1y0=ln(1+e)+0(2- =ln2（3）limxy+4xyx0y0=limxy+4)(2+xy(2+xy+4)x0y0xy+4)=-14 （4）limsin(xy)yx2y0=limsin(xy)xyx2y0x=25证明下列极限不存在： （1）limx0y0x+yx-y; （2）limxy22222x0y0xy+(x-y) （1）证明 如果动点P(x,y)沿y=2x趋向(0,0) 则limx+yx-yx+2xx-2x=-3；x0y=2x0=limx0如果动点P(x,y)沿x=2y趋向(0,0)，则limx+yx-yy0x=2y0=lim3yyy0=3所以极限不存在。（2）证明 如果动点P(x,y)沿y=x趋向(0,0)xy22222则limx0y=x0xy+(x-y)=limxx44x0=1；如果动点P(x,y)沿y=2x趋向(0,0)，则lim所以极限不存在。6指出下列函数的间断点： （1）f(x,y)=y+2xy-2x2xy22222x0y=2x0xy+(x-y)=lim4x442x04x+x=0； （2）z=lnx-y。解 （1）为使函数表达式有意义，需y2-2x0，所以在y2-2x=0处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需xy，所以在x=y处，函数间断。 习题12 1（1）z=zxxy+yx,zx=1y-yx2，zy=1x-xy2.(2)=ycos(xy)-2ycos(xy)sin(xy)=ycos(xy)-sin(2xy)zy=xcos(xy)-2xcos(xy)sin(xy)=xcos(xy)-sin(2xy)(3)zx=y(1+xy)y-1y=y(1+xy)2y-1,1zzyx1+xy,lnz=yln，两边同时对y求偏导得=ln(1+xy)+yzy=zln1(+xy)+xy1+xy=(1+xy)ln1(+xy)+yxy1+xy;(4)zx1-=x+2yxxy31y2=x-2yx(x+y)33z,y=xx+2yx2=;3x+y1u(5)x=yzxz-1,uy=1zyxzlnx,uz=-yz2yxzlnx;(6)ux=z(x-y)z-12z1+(x-y),uy=-z(x-y)z-12z1+(x-y),uz=(x-y)ln(x-y)1+(x-y)2zz;2.(1)zx=y,zy=x,zxx=0,zxy=1,zyy=;(2) zx=asin2(ax+by),zy=bsin2(ax+by),zxx=2acos2(ax+by),zxy=2abcos2(ax+by),zyy=2bcos2(ax+by).223 fx=y+2xz,fy=2xy+z,fz=2yz+x,fxx=2z,fxz=2x,fyz=2z,fxx(0,0,1)=2,fxz(1,0,2)=2,fyz(0,-1,0)=0.2224zx=-2sin2(x-t2),zt=sin2(x-t2yt2),zxt=2cos2(x-t2)=0.t2),ztt=-cos2(x-t2)2ztt+zxt=-2cos2(x-)+2cos2(x-5.(1) zx=-12yx2ye, zy=x1xex,dz=-yx2yedx+x1xyexdy;(2) z=ln(x2+y),zx=2xx+y22,zy=yx+y22,dz=xx+y22dx+yx+y22dy;(3)zx2yx=-2 , zy=2y2x+y1+()1+x-y1-ydx+xdyxx=2dz= ,; 222y2x+yx+y()xyz(4) ux=yzxyz-1,uy=zxyz-1yzlnx,uz=yxyzlnx, lnxdz.du=yzxdx+zxlnxdy+yxyz6. 设对角线为z,则z=22x+y,zx=xx+y22,zy=yx+y22, dz=xdx+ydyx+y22 当x=6,y=8,Dx=0.05,Dy=-0.1时,Dzdz=60.05+8(-0.1)6+822=-0.05(m).7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则z=zx=xx+y22x+y,22，zy=yx+y22, dz=xdx+ydyx+y22,设x、y、z的绝对误差分别为dx、dy、dz,当x=7,y=24,Dxdx=0.1,DydDzdz70.1+240.17+2422y=0.1时, z=7+2422=25=0.124,z的绝对误差dz=0.124z的相对误差Dzz0.12425=0.496%.8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则V=prh,Vr=2prh,Vh=pr,dV=2prhdr+prdh,222当r=4,h=20,Dr=0.1,Dh=0.1时,DVdV=23.144200.1+3.1440.1=55.264(cm).23习题13yx+ )21.dudx=fdxxdx+fdyydx+fdzzdx=1+(zxyzax41+(22zxyz-xyzxyz2ae)2ax+1+(2a(ax+1)2=yz+axz-2axy(ax+1)z+xy=fxxx3222=(ax+1)e(1+ax)22ax(ax+1)+xe.342.zx+fhhx=h-x222-x-x-y22+arcsinx4x4x+y=4xarcsin4-x-y4x+yzy=fxxy+-xln(x+y)(1-x-y)(x+y)222244 4y434fhhy2=h-x2-y-x-y422+arcsinxx+y=4yarcsin43-x-y42x+y-yln(x+y)(1-x-y)(x+y)22224.3. (1)uxuxux=2xf1+yexyf2,uy=-2yf1+xe1zxyf2.(2) =1yf1,uy=-xy2f1+f2,uz=-yz2f2.(3)=f1+yf2+yzf3,uy=xf2+xzf3,uz=xyf3.(4)uxzx2=2xf1+yf2+f3uy=2yf1+xf2+f3,uz=f3.4 .(1)=yf1,zy=xf1+f2,zx22=yf11,2zxy2=f1+y(xf11+f12)=f1+xyf11+yf12,zy2=x(xf11+f12)+xf21+f22=xf11+2xf12+f222(2)zx=yf1+2xyf2,2zy=2xyf1+xf2,2zx22=y(yf11+2xyf432212)+2yf2+2xy(yf21+2xyf22222).=2yf2+yf11+4xyf12+4xyf22zxy2=2yf1+y(2xyf3211+xf12)+2xf2+2xy(2xyf322221+xf22)2 =2yf1+2xf2+2xyf11+2xyf22+5xyf12zy22=2xf1+2xy(2xyf2211+xf12)+x(2xyf42221+xf22)2 =2xf1+4xyf11+4xyf12+xf2235 Qus2=uxxs+uyys=1u2x+3uuuxuy3u1u, ,=+=-+2ytxtyt2x2y(usus)=1u23uu3u2u23u23uu1u2()+(),()=()-+(), 4x2xy4yt4x2xy4yut)2()+(2=(ux)+(2uy).26 (1) 设F(x,y,z)=x+y+z-eFz=1+e-(x+y+z)-(x+y+z)-(x+y+z), Fx=1+e,Fy=1+e-(x+y+z),zyFyFzzx=-FxFz=-1,=-=-1(2)设F(x,y,z)=z-xx-y22x-yz22tanzx-y22,zx-y22Fx=-tanx-y22-x-y22sec2(-12)(x-y)22-322xz=-xx-y22tanzx-yzx-y2222+xzx-y2222sec2zx2,2-yFy=yx-y22tan-x-ysec22zx-y2(-12)(x-y)22-32(-2yz)=-yx-y22tanzx-y22-yzx-y22sec2zx2,2-yFz=1-FxFzFyFzx2-y2sec2zx212-yx-yz+22=-tan22zx-y2,zx=-=-xx-y22cotxzx-yyzx222x-ycotxz222(1+cot22zx-y2),zy=-=-xy2-y2-y2-y2(1+cot2zx2-y2).(3) 设F(x,y,z)=x+2y+z-2xyz,Fx=1-FxFzyz-xyzFyFzyzxFy=2-xzyFx=1-xyz,zx=-=xyz-xyyxz-lnzy=,z=-=xz-2xyzxyz-xy.(4) 设F(x,y,z)=xz-lnz+lny,Fx=21z,Fy=1yFz=-xz2-1z,zx=-FxFz=zx+zy,z=-FyFz=zy(x+z),7.设F(x,y,z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z),Fx=1-2cos(x+2y-3z),QFy=2-4cos(x+2y-3z),Fz=-3+6cos(x+2y-3z),zx =-FxFz=Fy1z2-=, =,Fz33yzx+zy=1.8.设F(x,y,z)=f(cx-az,cy-bz),Fx=cf1,Fy=cf2,Fz=-af1-bf2,zx=-FxFz=cf1af1+bf2+b,zy=-FyFz=cf2af1+bf2, azxzy=c.9. (1)方程两边同时对x求导得x(6z+1)dydydz=-,=2x+2y,dx2y(3z+1) dx解之得dxdydzdyx2x+4y+6z=0,=dxdx3z+1dx(2) 方程两边同时对z求导得 dxdydz+dz+1=0, 解之得dydx2x+2y+2z=0dzdzy-zdx=,dzx-ydyz-x=.x-ydz(3) 方程两边同时对x求偏导得 u1=e 0=euusinvu=,+sinv+ucosv,uxe(sinv-cosv)+1xxx解之得 uuuvvcosv-e-cosv+usinv,=.uxxxue(sinv-cosv)+1xuv同理方程两边同时对y求偏导得 u0=e 1=eu-cosvu=,+sinv+ucosv,uxe(sinv-cosv)+1yyy解之得 uuuvvsinv+e-cosv+usinv,=.uyyyue(sinv-cosv)+1xuuv习题1-41。求下列函数的方向导数222ulp0(1)u=x+2y+3z,p0(1,1,0),l=(1,-1,2)u解xuyuz0p0p0p0=2x=4y=6zp0p0=2,=4,=0,1=-2p0p0l=ul-1=2*+4*(-yz(2)u=(),p0(1,1,1),l=(2,1,-1);xu解xuyuz0p0p0p0yz-1y=z()(-2)xxyz-11=z()()xxyzy=()ln()xxp0p0p0=-1,=1,=0,p0l=ul-21*1=-1=(-1)*22(3)u=ln(x+y),p0(1,1),l与ox轴夹角为u解xuyulp0p0p3；p0=2xx+y2yx+y=cos22p022p0=1,=1,p3+sinp3=2 uuuur(4)u=xyz,p0(5,1,2),p1(9,4,14),l=p0p1.u解xuyuzp0p0p0=yz=xz=xyp0=2,=10,=5,0p0p0l=(4,3,12),l=(ulp0312,),131313,313+5*1213=9813.4=2*4132+10*2.求下列函数的梯度gradf.(1)f(x,y)=sin(xy)+cos(xy);f222解=cos(xy)*(2xy)-sin(xy)y,xfy=cos(xy)*y-sin(xy)*(2xy),2222222222gradf=(cos(xy)*(2xy)-sin(xy)y,cos(xy)*y-sin(xy)*(2xy).(2)f(x,y)=yxxe.xxxyfyyy11yyy解=(-2)e+e=e(1-),xxxyxxfyx=e+yyxyxe(-xyxyxy)=e(21x-1y),1y1gradf=(),e(-).xxy3.山坡的高度z由公式z=5-x-2y近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。z解xzy33(-)242233(-)24=-2x33(-)24=3,=-4y33(-24=4,按最陡的道路上登,应当沿(3,4)方向上登。 蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈螀肄莃螃蚆肃蒅薆羅膂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃节蚆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莁薅蚅羅蒄莈羃羄膃薄衿羄莆莇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂罿蒅虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇葿蒀羈肆膈螅袄肅芁薈莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆衿羃薅螆羁艿蒁螅肄肁莇螄螃芇芃螃袆肀薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃荿蒇羂肆芅蒆肄莂薄蒅螄膅蒀蒄袆莀莆蒃罿膃节薃肁羆薁薂螁膁蒇薁袃羄蒃薀肅艿荿蕿螅肂芅薈袇芈薃薇羀肀葿薇肂芆莅蚆螂聿芁蚅袄芄膇蚄羆肇薆蚃螆莃蒂蚂袈膅莈蚂羀莁芄蚁肃膄薂蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀
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