数电第3章逻辑代数基础.ppt

1 第3章逻辑代数基础 内容提要 1 逻辑代数的基本概念 2 逻辑代数的运算规则 3 逻辑函数的代数化简法 4 逻辑函数的标准形式 5 最小项与最大项 6 逻辑函数的卡诺图化简法 2 3 1概述 主要内容 逻辑函数的基本概念逻辑函数的表示方法 3 3 1 1逻辑函数的基本概念 4 5 3 1 2逻辑函数的表示方法 1 逻辑表达式 2 真值表 3 逻辑电路图 4 卡诺图 6 7 8 9 10 真值表是用来判断两个函数是否相等的有力工具 11 3 2逻辑代数的运算规则 主要内容 逻辑代数的交换律 结合律和分配律逻辑代数的基本公式摩根定理及其不同形式逻辑代数的代入规则 反演规则和对偶规则 12 3 2 1逻辑代数的基本定律 交换律 结合律 分配律 1 A B B A 2 A B B A 4 A B C A B C A B C 3 ABC AB C A BC 5 A B C AB AC 6 A BC A B A C 13 公式1A 0 0A 1 1公式2A 1 AA 0 A 3 2 2逻辑代数的基本公式 公式4 公式5 公式6 公式7 公式3A A AA A A 14 3 2 3摩根定理 1 2 15 3 2 3摩根定理 16 17 18 例3 1应用摩根定理求 解 反复应用摩根定理可得 19 3 2 4逻辑代数的三个规则 1 代入规则任何一个含有变量A的逻辑等式 如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F 则等式仍然成立 这个规则称为代入规则 2 反演规则对于任何一个逻辑式F 若将其中所有的 变成 换成 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 则得到的结果就是 这个规则叫做反演规则 20 使用反演规则时应注意遵守以下两个原则 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变 不属于单个变量上的反号应保留不变 或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理 例3 2已知逻辑函数 试求其反函数 解 而不应该是 21 例3 3已知 求 解法一 解法二 22 对偶规则对于任何一个逻辑表达式F 如果将式中所有的 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 而变量保持不变 原就可以得到一个新的表达式 称为F的对偶式F 这个规则叫做对偶规则 23 例3 4已知 求 解 例3 5已知 求 解 24 基本公式中 下面的公式基本是上面公式的对偶式 快速记忆 结合律 分配律 A B C A B C A B C ABC AB C A BC A B C AB AC A BC A B A C 25 26 27 3 3逻辑函数的代数化简法 主要内容 并项化简法吸收化简法消去化简法配项化简法各种化简方法的综合运用 28 3 3 1并项法 例3 6化简 解 例3 7化简解 利用的公式 29 3 3 2吸收法 例3 8化简解 利用公式和 例3 9化简解 30 3 3 3配项法 利用公式配项 例3 10化简解 31 利用公式 为某项配上其所能合并的项 例3 11化简 解 使用配项的方法要有一定的经验 否则越配越繁 32 3 3 4消去冗余项法 利用公式7 例3 12化简 解 实际应用中综合运用各种方法 33 例3 13化简 解 34 例3 14化简 解 1 先求出F的对偶函数 并对其进行化简 35 3 4逻辑函数的标准形式 最小项与最大项的定义 性质和相互关系把逻辑函数转换为标准与或表达式把逻辑函数转换为标准或与表达式两种标准形式的互相转换标准形式与真值表的互相转换 主要内容 36 3 4 1最小项与最大项 最小项的定义 设有n个变量 它们所组成的具有n个变量的 与 项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次 且仅出现一次 这个乘积项称为最小项 37 38 最小项的性质 39 40 41 性质4 性质5 某一个最小项不是包含在逻辑函数F中 就是包含在反函数中 最小项的性质 42 3 4 1最小项与最大项 最大项的定义 设有n个变量 它们所组成的具有n个变量的 或 项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次 且仅出现一次 这个 或 项称为最大项 43 a 对于任何一个最大项 只有对应的一组变量取值 才能使其值为 0 其余情况均为 1 例如变量ABCD 只有ABCD 0000时 才有A B C D为 0 最大项的性质 b 相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑 或 为 1 c n个变量的全部最大项之逻辑 与 为 0 即 e n个变量构成的最大项有n个相邻最大项 相邻最大项是指除一个变量互为相反外 其余变量均相同的最大项 d 某一个最大项不是包含在逻辑函数F中 就是包含在反变量中 44 最小项与最大项的关系下标i相同的最小项与最大项互补 即 如 即为 45 3 4 2标准与或表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式 称为标准与或表达式 例3 15 展开为最小项之和的形式 解 46 47 3 4 3标准或与表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成最大项之积的形式 称为标准或与表达式 解 48 解 49 3 4 4两种标准形式的相互转换 对于一个n变量的逻辑函数F 若F的标准与或式由K个最小项相或构成 则F的标准或与式一定由个最大项相与构成 并且对于任何一组变量取值组合对应的序号i 若标准与或式中不含mi 则标准或与式中一定含Mi 50 3 5逻辑函数的卡诺图化简法 2变量 3变量和4变量卡诺图与或表达式的卡诺图表示与或表达式的卡诺图化简或与表达式的卡诺图化简含无关项逻辑函数的卡诺图化简多输出逻辑函数的化简 主要内容 51 3 5 1卡诺图 卡诺图是一种描述逻辑函数的方格矩阵 每个方格代表一个最小项或最大项 它和真值表相似 包含了输入变量的所有可能取值组合以及每种取值组合下的输出结果 它相当于真值表的一种特殊输出列 卡诺图中 方格的数目等于最小项或最大项的总数 即等于2n n为输入变量数 所有方格按照格雷码顺序进行行和列的排列 使得每行和每列的相邻方格之间仅有一位变量发生变化 52 53 54 55 3 5 2与或表达式的卡诺图表示 对于标准形式的与或表达式来说 卡诺图的表示方法是 把表达式中的每一个最小项所对应的方格中填入1 其余方格填入0 56 3 5 3与或表达式的卡诺图化简 57 例3 19 用卡诺图化简逻辑函数 画出四变量的卡诺图 把函数 所具有的最小项为 的填入相应的小方格中 将函数式中没有出现最小项的位置填 圈取值为1的小方格 个数为2n 小方格尽可能地多取 消去取值不同的变量 将得到的三个最小项相加 得 58 例3 20 化简 Y A B C D 0 2 3 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 59 3 5 4或与表达式的卡诺图化简 对于标准形式的或与表达式来说 卡诺图的表示方法是 把表达式中的每一个最大项所对应的方格中填入0 其余方格填入1 就得到了该逻辑函数的卡诺图 60 例3 27用卡诺图化简下面或与表达式 解 首先将上式转换为标准或与形式 根据该式画出卡诺图 故最后可得到最简 或与 表达式 61 3 5 5含无关项逻辑函数的卡诺图化简 解 例3 22化简下列函数 F A B C D m 0 3 4 7 11 d 8 9 12 13 14 15 62 63 3 5 6多输出逻辑函数的化简 使这类逻辑电路达到最简的关键在于函数化简时找出各输出函数的公用项 以便在逻辑电路中实现对公用项逻辑部件的共享 从而使电路整体最简 例3 23化简下面多输出函数 F1 m 2 3 6 7 10 11 12 13 14 15 F2 m 2 6 10 12 13 14 解 1 分别作出它们的卡诺图 2 观察两个卡诺图 找出两者相同的部分 并化简 64 F1 m 2 3 6 7 10 11 12 13 14 15 F2 m 2 6 10 12 13 14 虽然F1不是最简 但整体达到了最简 65 本章小结 1 逻辑变量和逻辑函数如果一个事物的发生与否只有完全对立的两种可能性 则可将其定义为一个逻辑变量 若一个逻辑问题的条件和结果可分别用条件逻辑变量和结果逻辑变量表示 通常称为结果逻辑变量为条件逻辑变量的函数 2 逻辑函数的描述描述逻辑函数常用的方法有逻辑表达式 真值表 逻辑图 卡诺图和波形图 3 逻辑代数的基本定律 公式和定理三个定律 七个公式和一个定理 详见3 2节 66 4 逻辑代数的三个重要规则 1 代入规则 2 反演规则 3 对偶规则 6 逻辑函数有两种标准形式 任何逻辑函数都可以变换为标准形式 1 标准与或表达式 最小项之和的形式 2 标准或与表达式 最大项之积的形式 且它们之间可相互转换 5 最小项和最大项 n个变量有2n个最小项和2n个最大项 最小项表示为mi 最大项表示为Mi 并且 67 7 逻辑函数的化简是指将逻辑函数化为最简与或表达式或最简或与表达式 化简的常用方法有代数法和卡诺图法 代数法没有固定的步骤可以遵循 主要取决于逻辑代数中公式 定律和规则的熟练掌握及灵活运用的程度 卡诺图法是一种比较简单易行的的化简方法 有比较严格的规则和步骤 适合任何逻辑函数的化简