山东省2019年中考数学题型专题复习题型5探索延伸与应用问题课件.ppt

题型5探索 延伸与应用问题 类型 与三角形有关的探索 延伸与应用 例1 2018 永州 如图1 在 ABC中 矩形EFGH的一边EF在AB上 顶点G H分别在BC AC上 CD是边AB上的高 CD交GH于点I 若CI 4 HI 3 AD 矩形DFGI恰好为正方形 1 求正方形DFGI的边长 2 如图2 延长AB至P 使得AC CP 将矩形EFGH沿BP的方向向右平移 当点G刚好落在CP上时 试判断移动后的矩形与 CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形 为什么 3 如图3 连接DG 将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF G I 正方形DF G I 分别与线段DG DB相交于点M N 求 MNG 的周长 规范解答 1 如图1 HI AD CD 6 ID CD CI 2 正方形的边长为2 4分 2 如图2 设点G落在PC上时对应的点为G 点F对应的点为F CA CP CD PA ACD PCD A P HG PA CHG A CG H P CHG CG H CH CG IH IG DF 3 6分 IG DB DB 3 DB DF 3 点B与点F 重合 移动后的矩形与 CBP重叠部分是 BGG 移动后的矩形与 CBP重叠部分的形状是三角形 8分 满分技法 解答探索 延伸与应用类题目时 解答好第 1 问是基础 往往前面第 1 问中的方法思路为第 2 问的解决提供解题方向 解答后续的 延伸 时 要特别注意运用类比 数形结合 分类讨论等数学思想 对于应用环节 就是把实际问题的背景 抽象成已探索出结论或规律的几何模型 3 如图3 将 DMI 绕点D顺时针旋转90 得到 DF R 此时N F R共线 MDN NDF MDI NDF FD R NDR 45 又 DN DN DM DR NDM NDR MN NR NF RF NF MI MNG 的周长 MN MG NG MG MI NG NF 2I G 4 12分 满分必练 1 2018 扬州 问题呈现如图1 在边长为1的正方形网格中 连接格点D N和E C DN和EC相交于点P 求tan CPN的值 方法归纳求一个锐角的三角函数值 我们往往需要找出 或构造出 一个直角三角形 观察发现问题中 CPN不在直角三角形中 我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题 比如连接格点M N 可得MN EC 则 DNM CPN 连接DM 那么 CPN就变换到Rt DMN中 问题解决 1 直接写出图1中tan CPN的值为 2 如图2 在边长为1的正方形网格中 AN与CM相交于点P 求cos CPN的值 思维拓展 3 如图3 AB BC AB 4BC 点M在AB上 且AM BC 延长CB到N 使BN 2BC 连接AN交CM的延长线于点P 用上述方法构造网格求 CPN的度数 3 如图 取格点O 连接AO NO PC ON CPN ANO AO ON AON 90 ANO OAN 45 CPN 45 解 1 如图1 EC MN CPN DNM tan CPN tan DNM DMN 90 tan CPN tan DNM 2 故答案为 2 2 如图2 取格点D 连接CD DM CD AN CPN DCM DCM是等腰直角三角形 DCM D 45 cos CPN cos DCM 2 如图2 点D是边CB上任意一点 连接AD 作等边 ADE 且点E在 ACB的内部 连接BE 试探究线段BE与DE之间的数量关系 写出你的猜想并加以证明 3 当点D为边CB延长线上任意一点时 在 2 条件的基础上 线段BE与DE之间存在怎样的数量关系 请直接写出你的结论 2 2018 日照 问题背景 我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 即 如图1 在Rt ABC中 ACB 90 ABC 30 则 AC AB 探究结论 小明同学对以上结论作了进一步研究 1 如图1 连接AB边上中线CE 由于CE AB 易得结论 ACE为等边三角形 BE与CE之间的数量关系为 拓展应用 如图3 在平面直角坐标系xOy中 点A的坐标为 1 点B是x轴正半轴上的一动点 以AB为边作等边 ABC 当C点在第一象限内 且B 2 0 时 求C点的坐标 解 1 BE CE 由 1 结论可知 CPA为等边三角形 CAP 60 CA PA ADE为等边三角形 DAE 60 AD AE CAP DAE CAP DAB DAE DAB CAD PAE 在 ACD和 APE中 ACD APE SAS APE ACD 90 EP AB P为AB的中点 AE BE DE AE BE DE 2 BE ED 证明 如图2 连接EP 3 BE DE 拓展应用 方法一 如图3 连接OA OC 过点A作AH x轴于点H 方法二 提示 如图3 AHB BDC AAS DB AH 1 CD BH 2 OD 2 1 1 C点的坐标是 1 2 点A的坐标为 1 AOH 30 由探究结论 3 可知 CO CB O 0 0 B 2 0 点C的横坐标为1 设C 1 m CO2 CB2 12 m2 AB2 12 2 2 AB CB 12 m2 12 2 2 m 2 C点的坐标是 1 2 图3 3 1 问题如图1 在四边形ABCD中 点P为AB上一点 DPC A B 90 求证 AD BC AP BP 2 探究如图2 在四边形ABCD中 点P为AB上一点 当 DPC A B 时 上述结论是否依然成立 说明理由 3 应用请利用 1 2 获得的经验解决问题 如图3 在 ABD中 AB 6 AD BD 5 点P以每秒1个单位长度的速度 由点A出发 沿边AB向点B运动 且满足 DPC A 设点P的运动时间为t 秒 当以D为圆心 以DC为半径的圆与AB相切时 求t的值 解 1 证明 DPC A B 90 ADP APD 90 BPC APD 90 ADP BPC ADP BPC AD BC AP BP 2 结论AD BC AP BP仍然成立 理由 BPD DPC BPC BPD A ADP DPC BPC A ADP DPC A B BPC ADP ADP BPC AD BC AP BP AD BD 5 AB 6 AE BE 3 由勾股定理 得DE 4 以点D为圆心 DC为半径的圆与AB相切 DC DE 4 BC 5 4 1 又 AD BD A B DPC A B 由 1 2 获得的经验可知AD BC AP BP 5 1 t 6 t 解得t1 1 t2 5 t的值为1秒或5秒 3 如图3 过点D作DE AB于点E 类型 与四边形有关的探索 延伸与应用 例2 2018 山西 综合与实践问题情境 在数学活动课上 老师出示了这样一个问题 反思交流 1 上述证明过程中的 依据1 依据2 分别是指什么 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上 请直接回答 不必证明 自主解答 1 依据1 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 或平行线分线段成比例 依据2 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线及底边上的高互相重合 或等腰三角形的 三线合一 点A在线段GF的垂直平分线上 2 创新小组受到勤奋小组的启发 继续进行探究 如图2 连接CE 以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG 发现点G在线段BC的垂直平分线上 请你给出证明 图2 自主解答 2 证明 如图2 过点G作GH BC于点H 四边形ABCD是矩形 点E在AB的延长线上 CBE ABC GHC 90 1 2 90 四边形CEFG是正方形 CG CE GCE 90 1 3 90 2 3 GHC CBE HC BE 四边形ABCD是矩形 AD BC AD 2AB BE AB BC 2BE 2HC HC BH GH垂直平分BC 点G在BC的垂直平分线上 图2 探索发现 3 如图3 连接CE 以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG 可以发现点C 点B都在线段AE的垂直平分线上 除此之外 请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边 你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上 请写出一个你发现的结论 并加以证明 自主解答 3 结论 点F在BC边的垂直平分线上 证明 如图3 过点F作FM BC于点M 过点E作EN FM于点N BMN ENM ENF 90 四边形ABCD是矩形 点E在AB的延长线上 CBE ABC 90 四边形BENM为矩形 BM EN BEN 90 1 2 90 四边形CEFG为正方形 EF EC CEF 90 图3 2 3 90 1 3 CBE FNE 90 ENF EBC NE BE BM BE 四边形ABCD是矩形 AD BC AD 2AB AB BE BC 2BM BM MC FM垂直平分BC 点F在BC边的垂直平分线上 满分技法 探索 延伸与应用型问题常常用到以下方法与思想 特殊值 利用特殊点 特殊数量 特殊线段 特殊位置等进行归纳 概括 从特殊到一般 从而得出规律 分类讨论法 当命题的题设和结论不唯一 难以统一解答时 则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏 分门别类加以讨论求解 将不同结论综合归纳得出正确结果 类比猜想法 即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法 并加以严密的论证 满分必练 4 2018 益阳 如图1 在矩形ABCD中 E是AD的中点 以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF EG分别过点B C F 30 1 求证 BE CE 2 将 EFG绕点E按顺时针方向旋转 当旋转到EF与AD重合时停止转动 若EF EG分别与AB BC相交于点M N 如图2 求证 BEM CEN 若AB 2 求 BMN面积的最大值 当旋转停止时 点B恰好在FG上 如图3 求sin EBG的值 图1 图2 图3 解 1 证明 如图1 四边形ABCD是矩形 AB DC A D 90 又 AE DE ABE DCE BE CE 2 证明 如图2 AEB ABE 90 AEB CED 90 ABE CED CED ECB ABE ECB BEC MEN 90 BEM CEN 由 1 得BE CE BEM CEN 图1 图2 由 1 得 ABE DCE BEA CED ABE CED BEA ABE AB AE DE 2 设BM x 由 得 BEM CEN BM CN x BN 4 x BMN面积 x 4 x x 2 2 2 又 0 x 2 当x 2时 BMN面积最大 最大值为2 折法一 如图4 1 沿着过点D的直线翻折 使点A落在CD边上的点Q处 此时折痕与AB的交点即为P 折法二 如图4 2 沿着过点C的直线折叠 使点B落在CE边上的点Q处 此时 折痕与AB的交点即为P 又 PH CP A B 90 Rt APH Rt BCP HL APH BCP 又 Rt BCP中 BCP BPC 90 APH BPC 90 CPH 90