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第一部分幂函数、指数函数和对数函数(一)集合提要(1)用描述法表示集合时，关键是归纳出集合的所有元素的共同属 性，并将这个属性用一个解析式表达出来。(2)判断某个对象 x 是否为某个集合 A 的元素，就是看 x 是否具备 A 中元素的公共属性。(3)根据子集和集合相等的定义，判断两个集合之间的关系是通过间断元素与集合的关系来进行的。例如，要确认A B，只须对任意xA，证明xB。又如要确认A B，除了要证明A B外，还须找到一 个x0 B，但x0 A。(4)如集合的元素是离散的，则集合间的运算可借助维恩图的直观来 进行。(5)如集合的元素是连续的，则集合间的运算可借助数轴的直观来完 成。1集合的概念、子集例题解设a=x-y，b = y - z，g = z - x，则有a + b + g = 0。故a + bgsin g = - sin( a + b)， sin= - sin22A3A且 - 3AB3A但 - 3 AC3 A且 - 3 AB3 A但 - 3 A解 D 3 - 1 = 2 3，3 A； - 3 - 13， - 3A。例 1-1-2集合 A=(x，y)|y=-1+x-2x2，xR，x0，若点 P 的 坐标(x，y)A，则AP 在第一或第二象限 BP 在第二或第三象限 CP 在第三或第四象限 DP 在第四或第一象限由已知函数的解析式得x = - 2y - y 2 ，对换x，y得反函数为f -1 ( x) = -2x - x2 ，x(0，1m例1 - 1- 3集合A = x|x =，mZ，| m| 2，nN，n3用n列举法表示为；集合B = 2 ， 3 ，4 ， 5 ，6 用描述法表示为。3927811111243解 A = - 1，0，1， -n + 1， -，2233B = x|x =，nN且n53 n1例1-1- 4如果x =3- 5 2，y = 3 + 2，集合M = m|m = a + b 2，aQ，bQ，那么 x、y 与集合 M 的关系为 x M，y M。解 ， 因为x =13 - 5 235= -41412 ，所以xM。但 Q，故y M。例 1-1-5集合 A=x|ax2+2x+1=0，aR中只有一个元素，则 a的值为 。解0 或 1当 ax2+2x+1=0 为一次方程时，A 只有一个元素，这时 a=0。当 ax2+2x+1=0 为二次方程时，由题设有=22-4a1=0，这时 a=1。注不要遗漏 a=0 的情况。例 1-1-6集合有一边长为 4、一内角为 50的等腰三角形的 元素个数是 。解4根据下面的作图可知：例 1-1-7已知集合1，x，x2-x有 3 个元素，求所有实数 x 形 成的集合。解由题设有1x1x2 - x xx2 - 2解之得x0，1，2 ， 1 52所以，所求x的集合为x|xR，且x0 ，1，2 ， 1 2例 1-1-8设 M=|=x2-y2，x，yZ，求证：(1)一切奇数属于 M；(2)偶数 4k-2(kZ)不属于 M；(3)属于 M 的两个整数，其积仍属于 M。解(1)设为任意的奇数，即=2k-1(kZ)。因 2k-1=k2-(k-1)2(k，k-1Z)，故M。 由的任意性知，一切奇数属于 M。(2)假设 4k-2M，则存在 x，yZ，使4k - 2 = x 2 - y 2 (x + y)(x - y) = 2(2k - 1)5 。(i)x-y(i)式说明 x+y 和 x-y 必有一个是偶数，另一个是奇数。但是 x+y 和具有相同的奇偶性，这是一对矛盾。故(i)式不成立。所以，4k - 2 M。(3)设，M 则=x21-y21，=x22-y22，(x1，x2，y1，y2Z)进而=(x21-y21)(x22-y22)=x21x22+y21y22-x21y22-x22y21=(x1x2-y1y2)2-(x1y2-x2y1)2 而x1x2-y1y2Z，x1y2-x2y1Z 所以，M。例 1-1-9设 A=正方形，B=矩形，C=平行四边形，D=梯 形。下列包含关系中不正确的是AA BBB CCC DDA C解C例 1-1-10数集 X=(2n+1)2(nZ)与数集 Y=(4k1)2(k Z)之间的关系是AX YBX YCX = YD以上皆非解C这是因为，当 n=2m(mZ)时，(2n+1)2=(4m+1)2；当 n=2m+1(mZ)时，(2n+1)2=4(m+1)-12。故对任意 xX，有 xY，所以X Y。又(4k+1)2=(22k+1)2，(4k-1)2=2(2k-1)+12，故对任意 yY，有yX。所以Y X。综上可知，X=Y。例1 - 1- 11若集合X满足0，1 X - 2， - 1，0，1，2，则 X 的个数是 A2 个B4 个C6 个D7 个解D可列出所有满足题设的 X 如下：0，1，0，1，-2，0，1，-1，0，1，2，0，1，-2，-1，0，1，-2，2，0，1，-1，2。例 1-1-12已知集合 A=(x，y)|x+2y=7，x，yN。用列举法可 将 A 表示为 ；集合 A 的子集有 个。解(1，3)，(3，2)，(5，1)；8。例 1-1-13已知 M=x|x=a2+1，aN，P=x|x=b2-4b+5，bN，则 M 与 P 的关系是 。解 M P设任意 xN，则 x=a2+1，aN。由于 a2+1=(a+2)2-4(a+2)+5，所以xP，所以M P。又当b = 2时，b 2 - 4b + 4 = 1P，但当aN时，a 2 + 11，1 M，所以M P。例1 - 1- 14已知集合A = x，xy，xy - 1，B = 0，| x| ，y，A = B，求实数x，y的值。解 要使xy - 1有意义，必须xy - 10，所以x0，y0，即A中的元素 x，xy 都不可能与 B 中的元素 0 对应，于是只能有xy - 1 = 0 xy = 1于是 A=x，1，0。但 A=B，所以x，1，0=0，|x|，y。而 x1，故 y1。故只有|x|=1，即 x=-1(x1)。所以 y=-1。 这时 A=B=-1，1，0。注若 x=1，则由 xy=1 有 y=1，这时集合 A，B 中就各有两个相同的元素，与集合元素的互异性矛盾。例 1-1-15已知集合 A=y|y=x2+2x+4，xR，B=y|y=ax2-2x + 4a，xR，A B。求实数a的取值范围。解由 y=x2+2x+4=(x+1)2+33 得 A=3，+)。当a = 0时，B = R，符合A B；1当a0时，B = (-，4a -1，这时A B不成立；a1当a0时，B = 4a -a1 3，解得0a1。a， + )，由+， + ) 4a -， + )得4a -a综上所述，a 的取值集合为a|0a1。注不要把 y=ax2-2x+4a 简单地看成二次函数。事实上，当 a=0 时， 它是一次函数 y=-2x。例 1-1-16设函数 f(x)=x2+ax+b(a，bR)，集合 A=x|x=f(x)，xR，B=x|x=ff(x)，xR。(1) 证明：A B(2)当 A=-1，3时，求 B。解(1)设任意的 x0A，则 x0=f(x0)。而 ff(x0)=fx0=x0，故x0B，从而A B。(2)x=f(x)，即 x2+(a-1)x+b=0。因 A=-1，3，所以(-1) 2 + (a - 1)(-1) + b = 032 + (a - 1)3 + b = 0解得 a=-1，b=-3。故 f(x)=x2-x-3。 由 x=ff(x)，得(x2-x-3)2-(x2-x-3)-x-3=0解得x = -3，3， 3。数) 的最小正周期是 T 。k例 1-1-17设 S 是数集合1，2，3，1989的一个子集合，且 S 中任意两个数的差不等于 4 或 7。问 S 最多可以包含多少个数？解1，4，6，7，9 这五个数中任何两个的差都不是 4 或 7。各加 11得 12，15，17，18，20，显然也是这样的数，而且各与前 5 个数中任一 个的差也不是 4 或 7，这样类推，每次连续十一个数中可取五个，一起组 成集合 S(注意 1989=11180+9，最后只有九个数 1981，1989，但仍 可取五个数 1981，1984，1986，1987，1989)。那么 S 包含的数的个数是5181=905。现证 S 不可能包含更多的数。若不然，则上述 181 组数中至少有一 组可以从取六个数，使得两两的差不是 4 或 7。不妨考虑 1，2，11 这 组数，把它划分成五个小组：(4，7，11)，(3，10)，(2，6)，(5，9)，(1，8) 其中至少要求有一个小组要取出两个数。显然后面四对数的每一对都不 能同时取出，只能在第一小组中取 4，7。于是(3，10)中只能取 10，(2，6)中只能取 2，(5，9)中只能取 5，(1，8)中两个数都不能取，也就是不可能取得第六个数。从而得证。习题1-1-1设集合 M=直角三角形，N=小于 6 的整数，P=比-1大 5 的数，Q=大于 0 且小于 1 的有理数，其中无限集是AM，N，PBM，N，Q CM，P，QDN，P，Q1-1-2集合 A=x2，3+x+2，5y2-x，B=周长等于 20 厘米的三 角形，C=x|x-32，xR，D=(x，y)|y=x2-x-1中描述法表示的集合有A1 个B2 个C3 个D4 个1-1-3集合 A=(x，y)|xy0，x，yR表示坐标平面上A第二象限的点组成的集合 B第四象限的点组成的集合 C第二以及第四象限的点组成的集合 D第二、四象限以及 x 轴、y 轴上的点组成的集合1-1-4用描述法可将集合1，-3，5，-7，9，-11，表示为 。1-1-5绝对值不大于 6 的偶数集用列举法可以表示为 。1-1-6设有命题 P：“若 xA，则 8-xA”。在由正整数组成的集 合中：(1)满足命题 P 的一元集 A 有 个，是 ；(2)满足命题 P 的二元集 A 有 个，是 ； (3)满足命题 P 的集合 A 共有 个。y - 11 - 1- 7设a =，且ax|1x3，求y的取值范围。y1 - 1 - 8设S = x| x = m + n 2 ，m，nZ，(1)若 aZ，则 a 是否是集合 S 的元素？(2)对 S 中任意两个元素 x1，x2，x1+x2，x1x2 是否属于集合 S？(3) 对于给定的整数n，试求满足0m + n 2 1的S中元素的个数。1 - 1 - 9已知集合M = x| x3 3，xR及a = 2 7 ，则下列各式中正确的是Aa MBaMCa MDa M1 - 1 - 10设集合A = (x，y)|y = x，B = (x，y)| y = 1，则集合xA，B 间的关系是AA BBA BCA = BD以上都不对1-1-11设集合 M=(x，y)|x+y0，xy0，N=(x，y)|x0，且 y0，那么 M，N 之间的关系是AM NBM NCM = ND以上都不对1- 1-12已知x =13 - 3，y =13 - 2，集合A = x|x2 -10，则x，y 与集合 A 的关系是 x A，y A。1-1-13数集 X=x|x=12m+8n，m，nZ与数集 Y=x|x=20p+16q，p，qZ之间的关系是 。1-1-14集合 M=1，2，(1，2)有 个子集，它们是 。1-1-15已知集合 M=a，a+d，a+2d，N=a，aq，aq2，其中 a0，若 M=N，求 q 的值。1-1-16已知集合 A=(x，y)|2x+y-2=0B=(x，y)|2x2-ay2-(2a-1)xy+4ay-2=0若A B，求实数a的值。1-1-17集合 A 由不同的自然数构成，其元素个数大于 7，且各个 元素的最小公倍数为 210，每两个元素的最大公约数大于 1，若 A 中所有 元素之积能被 1920 整除，并且不是完全平方数，求 A 的各个元素。2交集、并集、补集例题例 1-1-18设集合 A=(x，y)|3x+2y=7，B=(x，y)|2x+3y=8，则 AB= A(1，2)Bx=1y=2C1，2D(1，2)3x + 2y = 7解 D 解方程组2x + 3y = 8得(x，y) = (1，2)。所以AB = (1，2)。例 1-1-19设集合 X=0，1，2，4，5，7，Y=1，3，6，8，9， Z=3，7，8，那么集合(XY)Z=A0，1，2，6，8 B3，7，8C1，3，7，8D1，3，6，7，8解C例 1-1-20若方程 x2-px+6=0 的解集是 M，方程 x2+6x-q=0 的解集是 N，且 MN=2，那么 p+q= A21B8C6D7解A因为 MN=2，所以 22-p2+6=0，22+62-q=0，即 p=5，q=16。所以 p+q=21。例 1-1-21满足 AB=a1，a2的集合 A，B 的组数为A5B7C9D10解Ca1a2a1，a2a1=a1a1a2=a1，a2a2=a2a1，a2=a1，a2=a1，a2=a1a2=a2a1=a1，a2满足要求的 A、B 有 9 组。例 1-1-22S、T 是两个非空集合，且 ST，TS，若 X=T，那么 SX= 。解S由右边的维恩图即知。(x，y)|(a2-1)x+(a-1)y=15，则 a 的值为 。解 1， - 1， 5 ， - 4 2当 x2 时，将 y=(a+1)(x-2)+3 代入(a2-1)x+(a-1)y=15，得2(a2-1)x=(2a-1)(a-1)+15欢迎您试用 Solid Converter PDF Professional。本软件的试用版只会转换源文件内容的 10% ，最多可转换10页。 这次文件转换，Solid Converter PDF Professional 转换了 983 页中的10 页。 请到 http:/www.solidpdf.com/buy.htm 为 Solid Converter PDF Professional注册，以取消这项限制。