2011辽宁试卷分析与解读.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）试卷分析李刚 王成栋 王孝宇数 学（供理科考生使用）第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）为正实数，为虚数单位，则（A）2 （B） （C） （D）1（2）已知，为集合的非空真子集，且，不相等，若，则（A） （B） （C） （D）（3）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（A） （B）1 （C） （D）开始，是，输入输出结束否（4）ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为，则（A） （B） （C） （D）（5）从，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则（A） （B） （C） （D）（6）执行右面的程序框图，如果输入的是4，则输出的是（A）（B）（C）（D）（7）设，则（A） （B） （C） （D）（8）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（A）（B）平面（C）与平面所成的角等于与平面所成的角（D）与所成的角等于与所成的角（9）设函数，则满足的的取值范围是（A） （B） （C） （D）（10）若，均为单位向量，且，则的最大值为（A） （B） （C） （D）（11）函数的定义域为，对任意，则的解集为（A） （B） （C）（D）（12）已知球的直径，是该球球面上的两点，则棱锥的体积为（A） （B） （C）（D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知点在双曲线上，的焦距为，则它的离心率为 （14）调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：由回归直线方程可知，家庭年收入每增加万元，年饮食支出平均增加_万元俯视图（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 （16）已知函数（，），的部分图像如下图，则 三. 解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知等差数列满足，. （）求数列的通项公式； （）求数列的前n项和（18）（本小题满分12分）如图，四边形为正方形，平面， （）证明：平面平面； （）求二面角的余弦值（19）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成小块地，在总共小块地中，随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙 （）假设，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为，求的分布列和数学期望； （）试验时每大块地分成小块，即，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差,其中为样本平均数（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点，在轴上，椭圆的短轴为，且，的离心率都为. 直线，与交于两点，与交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为， （）设，求与的比值；（）当变化时，是否存在直线，使得，并说明理由（21）（本小题满分12分）已知函数 （）讨论的单调性； （）设，证明：当时，； （）若函数的图像与轴交于，两点，线段中点的横坐标为，证明：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且 （）证明：/； （）延长到，延长到，使得，证明：，四点共圆（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数）. 在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与，各有一个交点当时，这两个交点间的距离为，当时，这两个交点重合 （）分别说明，是什么曲线，并求出与的值； （）设当时，与，的交点分别为，当时，与，的交点分别为，求四边形的面积（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 （）证明： ； （）求不等式的解集2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分标准评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4只给整数分数，选择题不给中间分.一. 选择题（1）B （2）A （3）C （4）D （5）B （6）C （7）A （8）D （9）D （10）B （11）B （12）C二. 填空题（13）2 （14）0.254 （15） （16）三. 解答题（17）解： （ I ）设等差数列的公差为. 由已知条件可得解得 故数列的通项公式为 5分 （ II ）设数列，即，故，所以，当时，所以 综上，数列 12分（18）解：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系. （ I ）依题意有，.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （ II ）依题意有，设是平面的法向量，则 即因此可取设是平面的法向量，则可取所以故二面角QBPC的余弦值为 12分（19）解： （ I ）X可能的取值为0，1，2，3，4，且即X的分布列为 4分X的数学期望为 6分 （ II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 12分（20）解：（ I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 4分当时，分别用表示A，B的纵坐标，可知 6分 （ I I）时的l不符合题意. 时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即解得 因为，又，所以，解得所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN. 12分（21）解： （ I ）的定义域为， （ i ）若，则，所以在单调增加. （ ii ）若，则由得，且当时，当时，.所以单调增加，在单调减少. 4分 （ II ）设函数，则，.当时，而，所以.故当， 8分（III）由（ I ）可得，当时，函数的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为，且.不妨设则由（II）得从而，.由（I）知， 12分（22）解： （ I ）因为EC=ED，所以EDC=ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDC=EBA. 故 ECD=EBA，所以CD/AB. 5分 （ II ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故EFD=EGC，从而FED=GEC.连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE，又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180.故A，B，G，F四点共圆 10分（23）解： （I）C1是圆，C2是椭圆. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1. （II）C1，C2的普通方程分别为 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为 10分（24）解： （ I ） 当时， 所以 5分 （II）由（I）可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 综上，不等式的解集为 10分2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题答案及解读一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）【解读与点评】为正实数，为虚数单位，则（A）2 （B） （C） （D）1解法1：选B. 因为，又因为,故可得，所以，即，又为正实数，所以.解法2：选B. ，以下同解法1.解法3：选B. ，以下同解法1.点评：1、本小题考察了复数的基本概念，复数的代数表示法，复数代数形式的四则运算等知识内容，其中主要考察的是复数模的概念以及计算方法，体现了数学中的转化与化归思想。解法一的作法是常规思路，看到分式型复数，自然想到通过分子分母同时乘以分母的共轭复数，将其转化成熟悉的形式，然后再计算复数的模；解法二的作法是考虑到“分子分母同时乘以分母的共轭复数”的目的是使分母实数化，直接选择，将分母进行了实数化；解法三的作法是类比了实数里面绝对值的运算法则：，想到了可能成立，而非常好计算，从而确定的解题思路。2、下面证明 （其中，为实数，且）证明：左 右因为左右，故命题得证.（2）【解读与点评】已知，为集合的非空真子集，且，不相等，若，则（A） （B） （C） （D）解法1：选A. 由已知条件，可以知道，只有当集合在集合内时，才能满足题意。故解法2：选A. （特殊值法）不妨设集合，满足的非空集合可以是，此时。点评：1、本小题考察了集合的含义，集合之间相等的含义，集合间的关系，两个集合的并集、交集的含义，以及给定集合中一个子集的补集的含义，用图形语言（韦恩图）来描述不同的集合、表达集合的关系及运算等知识点，其中主要考察的是用韦恩图表达集合的关系及运算，体现了数学中的数形结合思想。 2、与往年辽宁试卷在集合部分的高考试题相比，今年集合这道题目是对第一章中内容的小综合，并且所给的集合是一种抽象的集合，难度上略有提高，对学生综合运用所学知识解决问题的能力是一个检验。（3）【解读与点评】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（A） （B）1 （C） （D）解法1：选C. 如图所示，由抛物线可知，其焦点，准线方程为，设线段中点为，分别由点、向准线作垂线，设垂足依次为、，其中点为与轴交点，故为所求。由抛物线定义可知，又，故，在直角梯形中，为中位线，其长度，又，所以.解法2：选C.设，则，故即为所求。根据题意，有，而，故，即.点评：1、本小题考察了抛物线的定义、几何图形、标准方程以及抛物线的简单几何性质等内容，主要考察的是抛物线的几何性质，体现了数学中的数形结合思想。2、理科考试大纲及考试说明中，对抛物线的要求都是“掌握”，而近三年的辽宁卷中，抛物线都是以选择题的形式出现的（09年未曾考察抛物线），希望2012届的辽宁理科考生多做一做抛物线的解答题目。（4）【解读与点评】ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为，则（A） （B） （C） （D）解法：选D. 根据正弦定理，由，可得，即，所以, 再根据正弦定理，可得.点评： 1、本小题考察了解三角形，正弦定理等基础知识，其中主要考察了正弦定理内容，体现了数学中的转化与化归的数学思想。2、这个题目不少学生见到题目中的问题是求边长比值，所以迫不及待地将题目中给的角都向边长转换，但是在转换过程中，将转换成了，这一步是错误的，原因是并不等于，而是等于（其中这个为三角形外接圆半径）。3、前两年的辽宁高考试卷中，利用正余弦定理来求解三角形都是解答题中的第一道题目，而2011年的高考中，却将这个部分内容提前，作为一个选择题出现。纵观全卷可以发现，原本在小题中数列问题被放在了解答题的第一个，说明三角与数列的内容是交替在选择题与解答题中进行考察。（5）【解读与点评】从，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则（A） （B） （C） （D）解法1：选B. “从1，2，3，4，5中任取2个不同的数”一共有种不同选取方式，其中满足事件的有种选取方式，所以；而满足事件要求的有种，即，再由条件概率计算公式，得解法2：选B. 考虑到题目中的数据量不大，这道题目也可以一一列举，求出概率。事件包括“与、与、与、与”共四种情形；在事件中，即在这四种情形中，事件只有“与”这一种情形，故.点评：本小题考察了分类分步计数原理，排列组合的概念，排列组合数公式，以及条件概率的概念，主要考察条件概率的概念。开始，是，输入输出结束否（6）【解读与点评】执行右面的程序框图，如果输入的是4，则输出的是（A）（B）（C）（D）解法：选C 直接对题目中所给的字母进行跟踪，很快可以得到结果：2334点评： 1、本小题主要考察算法的含义，程序框图的三种基本逻辑结构，主要考察的是逻辑结构，体现了算法的思想。 2、仔细考察一下题目中给的形成的数列，可以发现，这个数列是“斐波那契数列”。2010年，高考中程序框图是与排列组合相结合命制的试题；2011年的这个题目，可以说是程序框图与数列相结合。不难想到，程序框图单独一章命制试题的可能性越来越小，更多的是与其它章节相结合命制试题。（7）【解读与点评】设，则（A） （B） （C） （D）解法1：选A.利用正弦和角公式，可以整理成，将其平方，可以得到，而，所以.解法2：选A. 点评：1、本小题主要考察了三角变换相关内容，包括正弦和角公式、二倍角公式、同角三角函数基本关系式等知识。对学生的运算求解能力进行了考察。 2、在前两年的辽宁高考中，没有单独在三角变换方面命制过试题，并且一般在三角部分是两道题目，一个是解三角形，一个是三角函数图像性质；而今年的高考中在三角部分出现了三道题目，增加的一个就是这道题，三角变换。（8）【解读与点评】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（A）（B）平面（C）与平面所成的角等于与平面所成的角（D）与所成的角等于与所成的角解法：选D. 选项A 正确 因为平面，而平面，所以；再由四边形为正方形，所以；而，所以平面，又平面，故；选项B正确 因为，而平面，平面，所以平面.选项C 正确 设，因为平面，与平面所成的角就是，与平面所成的角就是，容易证明，所以.选项D 错误 与所成的角等于，容易知道这个角是一个锐角；而与所成的角等于，这个角是一个直角。故这两个角是不等的。点评：1、本小题考察了空间中点、直线、平面的位置关系，借助的是一个四棱锥，主要考察了直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行，直线与直线所成角，直线与平面所成角等相关知识。本题也考察了空间想象能力及推理论证能力。 2、如果学生能将这个四棱锥进行还原，还原到底面为正方形的长方体，那么本题的思维量能降低。（9）【解读与点评】设函数，则满足的的取值范围是（A） （B） （C） （D）解法1：选D. 当时，解之，所以，；当时，解之，所以，. 综上可知.解法2：选D.（特殊值法） 考虑到当时，满足题意，所以选项错误；当时，也足题意，所以选项、错误；利用排除法可以知道，正确选项一定是.点评： 本小题考察了函数相关知识，包括函数的定义域、值域、分段函数、指数函数、对数函数等相关内容；主要考察的是分段函数、指数计算、对数计算等知识点；对学生的推理论证能力及运算求解能力进行了考察.（10）【解读与点评】若，均为单位向量，且，则的最大值为（A） （B） （C） （D）解法1：选B.由已知条件，向量，都是单位向量可以求出，又，及，可以知道，由所求，所以有，故.解法2：选B.由已知条件可知，、都是单位向量，并且，画图可知，显然，当点C运动到点A或B的位置时，最大为1.解法3：选B.考虑到，均为单位向量，且，不妨设，则由，可求出，而，故.点评：1、 本小题考察了平面向量的基本概念，平面向量的线性运算及平面向量数量积等内容；主要考察了平面向量数量积等相关知识；体现了数形结合的数学思想。 2、本小题的解法很多，不同档次的学生会有不同的解法，能有效区分学生对所学内容是否灵活掌握。（11）【解读与点评】函数的定义域为，对任意，则的解集为（A） （B） （C）（D）解法：选B.由已知可得，设函数，则因此，在上是增函数，又因为所以，原不等式可化为：，再结合在上是增函数，所以点评：1、本小题考察了函数的定义域，导数的概念，基本初等函数的导数公式，函数的单调性与导数的关系等内容；主要考察了函数与导数的关系；体现了数形结合的数学思想。2、本小题中构造函数对学生来说难度较大。（12）【解读与点评】已知球的直径，是该球球面上的两点，则棱锥的体积为（A） （B） （C）（D）解法：选C. 由题中已知，可以知道，过A向作垂线，垂足为，连接，则，且，点评：1、本小题考察了立体几何中球的相关知识，考察了空间想象能力，体现了数形结合思想。2、本题中空间想象能力对学生要求较高。二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）【解读与点评】已知点在双曲线上，的焦距为，则它的离心率为 答案：解法：根据点在双曲线上，可知,又，联立方程，可以解出，所以，.点评： 1、本小题考察了圆锥曲线与方程的相关内容，其中包括双曲线的定义，双曲线的几何图形和标准方程，以及双曲线的几何性质等内容；主要考察的是双曲线的几何性质；体现了数形结合的数学思想。2、圆锥曲线在双曲线部分，每年的考察非常稳定，都是在选择题或者是填空题中考察双曲线的几何性质。（14）【解读与点评】调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：由回归直线方程可知，家庭年收入每增加万元，年饮食支出平均增加_万元答案：解法：以代，得与相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元.点评：本小题考察了统计中变量的相关性等内容，其中包括线性回归方程等内容；主要考察了线性回归方程；体现了数学的应用价值。俯视图（15）【解读与点评】一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 答案：解法：设正三棱柱底面边长为，根据体积为，可知，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为.点评： 本小题考察了立体几何中简单空间图形的三视图，以及棱柱等相关知识；其中三视图为主要考察点；体现了空间想象能力与运算求解能力。（16）【解读与点评】已知函数（，），的部分图像如下图，则 答案：解法：由图像可知，所以，即.又，即， 故. 又，故. 综上可知，. 所以.点评： 本小题考察了三角函数的图像与性质，以及三角变换等内容；主要考察的是正切函数的性质；体现了数形结合思想与运算求解能力。三. 解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。（17）【解读与点评】（本小题满分12分）已知等差数列满足，. （）求数列的通项公式； （）求数列的前n项和解：（ I ）设等差数列的公差为d. 由已知条件可得解得 故数列的通项公式为 （ II ）设数列，即，故，所以，当时，所以 综上，数列 点评： 本小题考察了数列的概念，等差等比数列的概念，通项公式与前项和公式；主要考察的是“错位相减法”求数列的前项和. （18）【解读与点评】（本小题满分12分）如图，四边形为正方形，平面， （）证明：平面平面； （）求二面角的余弦值解：如图，以为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系. （ I ）依题意有，.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. （ II ）依题意有，设是平面的法向量，则 即因此可取设是平面的法向量，则可取所以故二面角QBPC的余弦值为 点评： 本小题考察了空间向量与立体几何等相关内容；主要考察的是利用空间向量证明立体几何中的相关问题；体现了数形结合思想与运算求解能力. （19）【解读与点评】（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成小块地，在总共小块地中，随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙 （）假设，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为，求的分布列和数学期望； （）试验时每大块地分成小块，即，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差,其中为样本平均数解：（ I ）可能的取值为0，1，2，3，4，且即的分布列为 X的数学期望为 （ II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.点评： 本小题考察了概率与统计，超几何分布，离散型随机变量的均值、方差等内容；主要考察了超几何分布的简单应用；体现了数学的应用价值，以及运算求解能力.（20）【解读与点评】（本小题满分12分）如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点，在轴上，椭圆的短轴为，且，的离心率都为. 直线，与交于两点，与交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为， （）设，求与的比值；（）当变化时，是否存在直线，使得，并说明理由解：（ I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 4分当时，分别用表示A，B的纵坐标，可知 6分 （ I I）时的l不符合题意. 时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即解得 因为，又，所以，解得所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN.点评： 本小题考察了圆锥曲线与方程，包括椭圆的定义，几何图形，标准方程以及简单几何性质等内容；主要考察了椭圆的简单几何性质；体现了数形几何的数学思想与运算求解能力，推理论证等能力。（21）【解读与点评】（本小题满分12分）已知函数 （）讨论的单调性； （）设，证明：当时，； （）若函数的图像与轴交于，两点，线段中点的横坐标为，证明：解： （ I ）的定义域为， （ i ）若，则，所以在单调增加. （ ii ）若，则由得，且当时，当时，.所以单调增加，在单调减少. （ II ）设函数，则，.当时，而，所以.故当， （III）由（ I ）可得，当时，函数的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为，且.不妨设则由（II）得从而，.由（I）知， 点评： 本小题考察了函数与导数的关系，基本初等函数的导数公式，常用导数的求导法则，函数的单调性与导数的关系等内容；主要考察通过导数研究函数的单调性，进而解决问题。（22）【解读与点评】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且 （）证明：/； （）延长到，延长到，使得，证明：，四点共圆证明： （ I ）因为EC=ED，所以EDC=ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDC=EBA. 故 ECD=EBA，所以CD/AB. （ II ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故EFD=EGC，从而FED=GEC.连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE，又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180.故A，B，G，F四点共圆点评： 本小题考察了相似三角形的定义与性质，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理等内容；主要考察的是圆内接四边形的性质定理与判定定理；考察了推理论证能力与抽象概括能力.（23）【解读与点评】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数）. 在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与，各有一个交点当时，这两个交点间的距离为，当时，这两个交点重合 （）分别说明，是什么曲线，并求出与的值； （）设当时，与，的交点分别为，当时，与，的交点分别为，求四边形的面积解： （I）C1是圆，C2是椭圆. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1. （II）C1，C2的普通方程分别为 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为点评： 本小题考察了坐标系与参数方程相关内容，包括极坐标的基本概念，极坐标与直角坐标的相互转化，参数方程等内容；考察了推理论证的能力。（24）【解读与点评】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 （）证明： ； （）求不等式的解集 解： （ I ） 当时， 所以 5分 （II）由（I）可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 综上，不等式的解集为点评：点评： 本小题考察了不等式相关内容，包括绝对值不等式的几何意义，解绝对值不等式等内容；其中主要考察的是解绝对值不等式；考察了推理论证能力。 2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A=x，B=x，则AB=（A）x（B）x （C）x（D）x（2）为虚数单位，（A）0 （B）2 （C） （D）4（3）已知向量，则（A） （B） C6 （D）12（4）已知命题P：，则为（A）nN，2n1000 （B）nN，2n1000（C）nN，2n1000 （D）nN，2n1000（5）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16（6）若函数为奇函数，则a=（A） （B） （C） （D）1（7）已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为俯视图（A） （B）1 （C） （D）（8）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是开始，是，输入输出结束否（A）4 （B） （C）2 （D）（9）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是（A）8（B）5（C）3（D）2（10）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥S-ABC的体积为（A） （B）（C） （D）（11）函数的定义域为，对任意，则的解集为（A）（，1） （B）（，+） （C）（，）（D）（，+）（12）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则（A）2+ （B）（C） （D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为_（14）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元（15）为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=_（16）已知函数有零点，则的取值范围是_三. 解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（ I ）求；（ II ）若c2=b2+a2，求B（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（ I ）证明：PQ平面DCQ；（ II ）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值（19）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（ I ）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（ II ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数（20）（本小题满分12分）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2（I）求a，b的值；（II）证明：2x-2（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e. 直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D （ I ）设，求与的比值； （ II ）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED （ I ）证明：CD/AB； （ II ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数）. 在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合 （ I ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （ II ）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数=|x-2|x-5| （I）证明：3； （II）求不等式x2x+15的解集2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题参考答案和评分标准评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4只给整数分数，选择题不给中间分.一. 选择题（1）D （2）A （3）D （4）A （5）B （6）A （7）C （8）B （9）C （10）C （11）B （12）B二. 填空题（13） （14）0.254 （15）1 （16）三. 解答题（17）解：（ I ）由正弦定理得，即故，所以 6分 （ II ）由余弦定理和，得.由（I）知故可得，又，所以. 12分（18）解：（ I ）由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD所以PQ平面DCQ. 6分 （ II ）设AB=a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积由（ I ）知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ=，DCQ的面积为，所以棱锥PDCQ的体积为故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.12分（19）解：（ I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4.令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.而事件A包含1个基本事件：（1，2）.所以 6分 （ II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20解：（ I ） 2分由已知条件得 即解得 5分（ II ），由（ I ）知设则当时，；当时，.所以在单调增加，在单调减少.而，故当时，即 12分（21）解：（ I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设，设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 4分当时，分别用表示A，B的纵坐标，可知 6分 （ I I）时的l不符合题意. 时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即解得 因为，又，所以，解得所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN. 12分22解： （ I ）因为EC=ED，所以EDC=ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDC=EBA. 故 ECD=EBA，所以CD/AB. 5分 （ II ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故EFD=EGC，从而FED=GEC.连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE，又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180.故A，B，G，F四点共圆 10分（23）解： （I）C1是圆，C2是椭圆. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1. （II）C1，C2的普通方程分别为 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为 10分（24）解： （ I ） 当时， 所以 5分 （II）由（I）可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 综上，不等式的解集为 10分2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题答案及解读一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）【解读与点评】已知集合A=x，B=x，则AB=（A）x（B）x （C）x（D）x解法：选D. 直接计算即可：点评：1、本小题考察了集合的含义，集合的表示方法，集合之间的运算等内容；主要考察的是集合的运算；体现了数形结合思想. 2、题目简单，很好减轻学生的心理压力，为顺利完成下面题目开了一个好头。（2）【解读与点评】为虚数单位，（A）0 （B）2 （C） （D）4解法：选A. 直接计算，点评： 本小题考察了复数的概念，复数代数形式的四则运算等内容；其中复数代数形式的四则运算是主要考察对象；考察了运算求解能力. （3）【解读与点评】已知向量，则（A） （B） C6 （D）12解法：选D. 直接计算，由，得，解得点评： 本小题考察了平面向量的加法、减法的运算，数乘向量的运算；其中主要考察了平面向量的坐标运算。（4）【解读与点评】已知命题P：，则为（A）nN，2n1000 （B）nN，2n1000（C）nN，2n1000 （D）nN，2n1000解法：选A. 存在性命题的否定是全称命题。即，则点评：本小题主要考察了全称量词和存在量词的意义，以及对含有一个量词的命题进行否定的内容；主要考察的是对存在性命题的否定。（5）【解读与点评】若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16解法1：选B. 由，可知()，,两式相除得，即.解法2：选B.由，得，两式相除得，点评： 本小题考察了数列的概念，等比数列的概念，等比数列的通项公式等内容；主要考察了等比数列的通项公式等内容；考察了对式的运算能力。（6）【解读与点评】若函数为奇函数，则a=（