上海交大概率统计总复习.ppt

地点闵行中院 312 9 00 11 00 18 00 20 00 期末答疑安排 6月19日 6月20日 6月21日 13 00 16 00 18 00 20 00 18 00 20 00 古格王朝遗址 白云压住高山湖 王 宏 卫 岗巴拉山海拔4852m 西 藏 的 图 腾 概率统计 复习 复习 复习2 各章比重 第一章 16 第二章 11 第三章 13 第四章 13 第五章 15 第六章 3 第七章 17 第八章 12 概率 68 统计 32 题型题量 25 是非题 6 7 选择题 5 6 填空题 5 6 计算题 5 6 证明题 0 1 各章要点 第一章 1 概率性质古典概率 2 条件概率 乘法公式 全 贝公式 3 事件独立性 第二章 1 分布律分布函数定义性质 2 七个常用分布 P 159表格 3 随机变量的函数的分布 一二章 例1 例1 1 在古典概型的随机试验中 2 若事件A B C D相互独立 则 事件 若事件A1 A2 An相互独立 将它们任意分成k组 同一事件不能同时属于两个不同的组 则对每组事件进行求和 积 差 逆等运算所得到的k个事件也相互独立 3 若事件A与B独立 B与C独立 则事件A与C也相互独立 事件相互独立不具有传递性 例2 例2 对任意事件A B下列结论正确的是 a b c d 解 选b d c显然错 可证b是对的 b 例3小王忘了朋友家电话号码的最后一位 数 故只能随意拨最后一个号 则他拨三次 由乘法公式 设事件表示 三次拨号至少一次拨通 表示 第i次拨通 则 解 例3 可拨通朋友家的概率为 0 3 例4小王忘了朋友家电话号码的最后一位 数 他只能随意拨最后一个号 他连拨三次 由乘法公式 设 表示 第i次拨通 解一 例4 求第三次才拨通的概率 解二 从题目叙述看要求的是无条件概率 产生误解的原因是未能仔细读题 未能分清条件概率与无条件概率的区别 本题若改叙为 他连拨三次 已 知前两次都未拨通 求第三次拨通的概率 此时 求的才是条件概率 例5 例510件产品中有3件次品 从中任取2件 在所取2件中有一件是次品的条件下 求 另一件也是次品的概率 解1 设事件表示 所取2件中有一件次品 事件表示 另一件也是次品 则 解2 某厂卡车运送防 非典 用品下乡 顶层装10个纸箱 其中5箱民用口罩 2箱医用口罩 3箱消毒棉花 到目的地时发现丢失1箱 不知丢失哪一箱 现从剩下9箱中任意打开2箱 结果都是民用口罩 求丢失的一箱也是民用口罩的概率 例6 例6 表示事件 丢失的一箱为k 表示事件 任取2箱都是民用口罩 解 分别表示民用口罩 医用 口罩 消毒棉花 由全概率公式 由贝叶斯公式 解二 缩减样本空间法 去掉打开的2箱民用口罩 解二比解一简单十倍 基本事件总数 有利的基本事件数 例7 1 是的密度函数则 2 若 则 事实上由 2 4得非均匀分布函数 3 若 则 例7 例8 内任一子区间上取值的条件概率 例8设随机变量的绝对值不大于1 在事件出现的条件下 与该子区间的长度成正比 1 的分布函数 2 取负值的概率 解 1 2 在 试求 的三性质都不满足 单调减 右不连续 未定义 分布函数三性质 解 当 当推导较复杂先做准备工作 由题设知 设 于是 上式中令得 又 于是当时 2 由题设得 附 k的另一求法 落入区间 1 3 的概率最大 例9设当时 令 解 例9 第三章 2 边缘分布条件分布 3 随机变量的独立性 第四章 1 期望方差定义性质 2 相关系数相关性 3 期望的应用 1 联合分布律分布函数定义性质 4 随机变量的函数的分布 三四章 例10设独立同分布 且已知 求行列式的概率分布 解 令则独立同分布 可能取值为则 例10 练4 求的概率分布 答案 具体推导 设A B为随机试验E的两个事件 0 P A 1 0 P B 1 书例 证明 若 XY 0 则随机变量X Y相互独立 证由 XY 0 而 令 书例 错误原因 而这并不表明X Y相互独立 即 本题要证明离散随机变量X Y相互 独立 必需证明如下四个等式都成立 正确证明 由题设得 X Y 的联合分布 由 同理可证 故X Y相互独立 由于事件A B相互独立 必有 也相互独立 即 二维随机变量的函数的分布 的p d f 练 练习 设随机变量 均匀分布 指数分布 且它们相互独立 试求的密度函数 答案 判断独立性的简便方法 已知联合分布 判断是否独立需要做次 加法和乘法 共需运算13次 判独立例11 解 一眼看出 命题 求表内各 练习 字母值 使 独立 练习 解 由题意应有 从而有右表 由归一性得 3 1 由 1 得 2 联立 2 3 得 或 设 或 0 480 320 20 0 0625 0 4375 0 5 经检验 正确 例12 例12设随机变量X Y相互独立 且都服 求 从 解 当时 由独立性 当时 所以 由于X Y的随机性 故不能保证恒有 或 解 由于相互独立的正态变量的线性组合 仍是正态变量 故 本题设是关键 若不然 虽能算出但很难算 例13卡车装运水泥 设每袋重量 gk X服从 例13 问装多少袋水泥 使总重量 超过2000的概率不大于0 05 解一 设装m袋水泥 总重量为mX 据题设有 所以至多装43袋水泥 要学会对答案的粗略检验 解二 设装m袋水泥 总重量为mX 据题设有 所以至多装37袋水泥 要彻底的随机 解 设装m袋水泥 表示第袋水泥重量 于是总重量为 所以至多装39袋水泥 第五章 1 切贝雪夫不等式 2 中心极限定理的应用 第六章 1 统计量总体样本及其空间 2 常用 三抽样分布 定义性质各分布分位点定义及相互关系 五六章 例14 例14 某大卖场某种商品价格波动为随机 变量 设第i天 较前一天 的价格变化为 独立同分布 为 元 斤 为现在的 价格 第n天的价格 解 应用 应用题 备一笔现金 已知这批债券共发放了500张 每张须付本息1000元 设持券人 一人一券 银行为支付某日即将到期的债券须准 到期日到银行领取本息的概率为0 4 问银 行于该日应准备多少现金才能以99 9 的 把握满足客户的兑换 解 设 1第i个持券人到期日来兑换 0第i个持券人到期日未兑换 则到期日来银行兑换的总人数为 设银行需准备1000m元 兑换总额为 由中心极限定理 所以银行需准备23 4万元 例15一本书有1000000个印刷符号 排版 时每个符号被排错的概率为千分之一 校 对时 每个排版错误被改正的概率为0 99 求在校对后错误不多于15个的概率 解 设 1第i个印刷符号被排错 0第i个印刷符号未排错 则总的被排错的印刷符号个数 且 例15 设校对后错误个数为 则近似有 由中心极限定理 于是 则 解 令 1第i个符号被排错校对后仍错 0其他 由于排版与校对是两个独立的工作 因而 设校对后错误个数为 则 由中心极限定理 例16一保险公司有10000人投保 每人每年 付12元保险费 已知一年内投保人死亡率 为0 006 若死亡公司给死者家属1000元 求 1 保险公司年利润为0的概率 2 保险公司年利润大于60000元的概率 解 例16 设为投保的10000人中一年内死亡的 人数 则 利用泊松定理 取 1 设保险公司年利润为 则 2 由中心极限定理 例17从正态总体N 2 中取容量为16的样本 S2为样本方差 则D S2 解 例17 例18设是来自正态总体X 的简单随机样本 证明 证 从而 例18 正态分布与由正态分布导出的分布间的关系 推导 相仿推导 例如 证明 设X t n 则其中Z N 0 1 于是 由t分布与F分布分位点的定义 由t分布的对称性 从而有 此即教材P 203习题六12题 2002年印 第七章 点估计的三种方法及评价标准 2 参数的区间估计 第八章 1 假设检验的有关概念 2 参数的假设检验 七八章 例19 例19设总体X的分布密度函数为 求的矩估计量 并计算 解 估计量是样本的函数 令 例20 例20设总体X的密度函数为 解 的极大似然估计量 为X的一个样本 求参数 任一样本函数 似然方程组为 本题的估计并不能通过似然方程求得 解 由题设 若必须 即 越大 越大 故 的极大似然估计可通过似然方程求得 是取自对数正态分布 例21 设 求的极大似然估计 解 例21 的密度函数 的密度函数 由极大似然估计的不变性得 其中 一般正态参数的极大似然估计是 则对数正态参数的极大似然估计是 例22 例22设总体X服从 其密度函 数为 对于容量为n的样本 求使得 的点的极大似然估计 解 由教材P 211例7知 设为总体X N 2 的一个样本 求常数k 使 解 例23 例23 令 则 故 解 故 假设检验步骤 三部曲 其中 根据实际问题所关心的内容 建立H0与H1 在H0为真时 选择合适的统计量V 由H1确 给定显著性水平 其对应的拒绝域 双侧检验 左边检验 定拒绝域形式 根据样本值计算 并作出相应的判断 右边检验 三部曲 例24设某次概率统计考试考生的成绩 X N 2 从中随机地抽取36位考生 的成绩 算得平均成绩为66 5分 标准差 为15分 问在显著性水平0 05下 是否可 以认为这次考试的平均成绩为70分 并给出检验过程 解 例24 拒绝域 落在拒绝域外 接受 即认为这次考试的平均成绩为70分 例25用包装机包装洗衣粉 在正常情况下 问该天包装机工作是否正常 例25 每袋重量为1000克 标准差不能超过15克 假设每袋净重 某天为检查机器 工作是否正常 随机抽取10袋得其净重的 均值 方差 解 H0 1000 H1 1000 取统计量 解 拒绝域 0 落在拒绝域外 接受 即认为该天包装机工作正常 本题只做了一半 还应继续做下去 2 设 取统计量 拒绝域 0 落在拒绝域内 拒绝 综合 1 2 虽然平均净重合格 但方差 偏大 故包装机工作不太正常