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哈尔滨工业大学硕士学位论文开题报告题 目： 几类随机微分方程数值解法及稳定性研究院 （系） 理学院数学系 学 科 概率论与数理统计 导 师 李龙锁 研 究 生 徐春梅 学 号 11S012038 开题报告日期 2012. 06. 08 研究生院培养处制说 明一、开题报告应包括下列主要内容：1课题来源及研究的目的和意义；2国内外在该方向的研究现状及分析；3主要研究内容；4研究方案及进度安排，预期达到的目标；5为完成课题已具备和所需的条件和经费；6预计研究过程中可能遇到的困难和问题，以及解决的措施；7主要参考文献。二、对开题报告的要求1开题报告的字数应在5000字以上；2阅读的主要参考文献应在20篇以上，其中外文资料应不少于三分之一。硕士研究生应在导师的指导下着重查阅近年内发表的中、外文期刊文章。本学科的基础和专业课教材一般不应列为参考资料。三、开题报告时间应最迟不得超过第三学期的第三周末。四、如硕士生首次开题报告未通过，需在一个月内再进行一次。若仍不通过，则停止硕士论文工作。五、此表不够填写时，可另加附页。六、开题报告进行后，此表同硕士学位论文开题报告评议结果存各系（院）研究生秘书书处，以备研究生院及所属学院进行检查。论文题目几类随机微分方程数值解法与稳定性的研究（一） 课题来源以及研究的目的和意义随机微分方程起始于Kolmogorov的分析方法与Feller的半群方法。随着随机微分方程越来越广泛地应用于系统科学、工程控制、生态学等各个方面，对方程本身及其解性态的研究就显得十分重要。目前，对于随机微分方程理论解的研究已有了一些研究成果，根据问题的物理起源和数学特点将随机微分方程分成三类，最简单的一类随机微分方程是只有初始条件是随机的；第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项；第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。在工程中，随机性往往是不利的，必须设法减小或消除其影响。而在自然科学中，随机性与非线性结合可起积极的甚至建设性作用，可加以利用。因此，研究非线性随机动力学与控制具有重要理论意义与广泛应用前景。随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在很长一段时间里，由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在初级阶段。为了构造有效的数值方法，首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。现在随机微分方程关于数值解的问题是个内容丰富的研究领域，以常微分方程为代表的确定性系统数值解已经到了深入研究的地步和进度，现在好多软件包和工具箱可以用来数值求解，并进行数值模拟来描述实际现象，他们的解提供了对发生变化时系统如何变化和发展，不同的初始点对系统的解有何影响等问题的解释虽然人们对应用随机微分方程建立数学模型越来越感兴趣，但是由于随机因素带来的复杂性，在缺乏有效数值算法和计算工具的情况下，仅有模型对解决实际问题是毫无意义的，随着计算机计算能力的飞速提高和数学家们的不懈努力，数值求解和模拟随机微分方程的精度在不断地扩大和提高。 到了1951年，It6发表了著名的论文奠定了随机微分方程的理论基础此后的半个世纪中，随机微分方程的研究得到了充分的重视，有许多作者研究了随机微分方程的稳定性问题，并渗透到很多研究领域。随机微分方程的稳定性分析有重要的理论意义和广泛的应用背 景许多微分方程，不管是确定的还是随机的，他们的解都不能或者很难显示的表达出来，这样我们只能利用一些各阶矩的信息或者是他们系数的泛函形式来了解和把握微分方程解的性质和行为，在实际应用上我们最感兴趣的是给一个小扰动，对解的影响程度或者是大范围渐近行为从存在唯一性理论可知微分方程的解对初始值是连续，至少在有限的时间区间将这种思想推广到无限的时间区间就导出稳定的概念随机微分方程的解的稳定的概念实质上是确定方程的解的稳定的推广因此研究随机微分方程的稳定性与应用有着非常重要的意义。 （二） 国内外研究现状经典的(即正向的) 随机微分方程的研究已有近半个世纪的历史, 取得了辉煌的成果. 它不仅有直接的应用背景, 并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等发生了非常自然的而且常常是意想不到的联系, 互相促进, 相映生辉. 许多著名的数学家都为之吸引, 在这一领域作出了杰出的贡献. 其结果又反过来促进了其它学科的进展. 近期一个典型的例子就是P. L. L ion s 等提出的非线性二阶偏微分方程的粘性解理论, 其直接动力就是来源于他在随机微分方程和随机控制理论方面的研究.三百年以前，莱布尼兹和牛顿发现并创立了微积分学，为了描述有关机械动力学，天文学等领域的物理现象，便由此建立了确定性的微分方程即常微分方程现在来说，常微分方程在物理上和机械工程上的应用是大家熟悉的，然而在研究实际数学模型过程中，由于外界存在不确定因素，所以总体上很复杂，研究数学模型就会有不确定性的凶素，而在经济学，金融学，保险学，人口增长理论，信号处理等领域，不确定因素是不能忽视的，由于二十世纪中期实际问题的大量出现，推动了随机积分的迅速发展在1906年，Einstein在研究相关布朗运动工作的时候给出了有关Wiener过程的一个方程式直到1923年，Wiener本人给出了有关布朗运动的一系列严格研究成果，这也是为什么布朗运动称之为Wiener过程的原因，这个研究成果有力的推动了Wiener过程的发展在1944年，Ito定义了与Wiener过程相应的随机系统的Ito积分，由此就有了描述了各种物理现象的微分方程即随机微分方程近年来，随机分析和随机微分方程理论有了迅速发展，并已广泛应用于物理学，化学，生物学，经济学和金融学等领域如：控制领域存在着外界干扰，生物学领域的不确定因素的干扰，有关信息技术的滤波问题等由此对方程本身及其解性态的研究就显得十分重要，但是现在除了一些特殊的微分方程可以解出显示解以外，在大多数情况下，随机微分方程理论解的解析表达式是没有方法可以求解出的只能通过解的各阶矩的性质来间接的研究微分方程的解的性质目前，对于随机系统稳定性的研究已有一些研究进展但是还没有达到确定性的常微分方程稳定性理论研究的地步。然而，随机系统和确定系统也有一些相似的地方，如：随机系统中也有一些稳定性概念 随着随机微分方程越来越广泛地应用于系统科学、工程控制、生态学等各个方面，对方程本身及其解性态的研究就显得十分重要与常微分情形一样，在大多数情况下，随机微分方程理论解的解析表达式是无法求出的Xuerong 证明了当解的存在唯一性满足时，对于某些特殊的线性方程，可以求出其解析解当无法给出方程解的解析表达式时，也可通过考察解过程的各阶矩性质从而把握解的性态目前，对随机系统稳定性的研究也取得了一定的成果，但是还远未达到确定性常微分方程稳定性理论那样成熟在确定性系统的研究中有各种各样的稳定性概念，可以期望在随机情况将有更多种类的稳定性概念因为稳定性问题本质上是一个收敛问题，对每一种确定性的稳定性定义至少有四种相应的随机稳定性定义它们是由依分布收敛、依概率收敛、均方收敛、几乎一定收敛这四种模型所产生的许多研究确定性微分方程稳定性的方法，诸如一次近似、李雅普诺夫直接法、积分不等式和微分不等式的方法都被移植到随机系统中来，并已取得显著的成果，并讨论了随机微分方程在实际中的应用由于在大多数情况下是无法给出随机微分方程解的表达式的，于是数值方法的构造显得尤为重要近二十多年来，已有大量的科学工作者投入到随机微分方程数值解的研究中，并取得了一定的成果 （三） 研究内容本文将对随机微分方程理论的一些基本概念、基本理论及其它们之间的联系进行研究，并讨论随机微分方程的数值解及稳定性的特性及应用。(1) 首先，概述随机微分方程的发展历史，分析了随机微分方程的发展，介绍本文研究的背景及其相关理论，其中包括布朗运动的描述，随机分析介绍，解的存在唯一性。突出从确定性微分方程到随机微分方程的改变，本质上说确定性方程只是随机微分方程在概率值退化成0或1时的特殊情况，研究随机微分方程的意义是重大的。其中随机微分方程的一般形式为 ，其中的分量为，的维向量，是维向量，是维向量，其中，是随机变量。(2)与常微分方程的情况类似，形如的随机微分方程，其中为相互独立的布朗运动，通常不能得到显式解，因此进行离散化求解成为不可缺少的手段。由于随机微分方程的解是随机过程，其离散化得到的数值解则是随机序列。进行随机Taylor展式，在这样的情况下将讨论该方程的数值解和稳定性。(3) 伊藤微分方程是一类在控制论、滤波和通讯理论中有着重要作用的随机微分方程，它的表述如下其中是维矢量随机过程，其分量是高斯白噪声过程，是矩阵函数，与独立。若为关于的非线性函数，则称其非线性伊藤随机微分方程。基于此主要想讨论非线性伊藤随机微分方程，其解为随机过程，解是很难求出的，所以讨论解过程的统计性质和规律，其中最重要的是其稳态分布情况。一阶矩，二阶矩稳定性问题。由于研究非线性微分方程矩方程复杂性，通常情况下，无法直接对非线性微分方程的矩进行分析，一般要通过其它的方法间接解决这个问题，等价线性化方法是其中的一种较好的，对于方程非线性项没有过多要求的方法，基于此方法进行扩展，验证其它的高阶稳定性如果实际问题需要可以用同样的方法进行分析和计算。将常微分方程的相关数值方法，如Euler法、改进Euler法等常用的数值算法拓展到伊藤随机微分方程，得到了相应的数值计算格式，基于MonteCarlo方法，结合微分方程数值解的方法，采用多种随机过程产生策略和随机模拟方法，对原系统进行了仿真，提出了相应的数值计算格式，最后对伊藤随机微分方程的数值解问题运用相关的理论进行分析。 (4) 结论：总结全文工作，得出主要结果，进行后续工作展望。（四） 研究方案及进度安排，预期达到的目标进度安排：2009年5月到6月期间：查找资料，初步确定论文题目，完成论文开题； 2009年7月到9月期间：阅读资料，围绕选题，找到自己对论题的创新之处.构思论文大体结构；2009年10月到12月期间：围绕选题，认真完成论文初稿，通过选取的方程进行仿真验证，并交由导师审阅；2010年1月到3月：针对导师对论文初稿提出的问题和宝贵的建议，认真对论文进行下一步的修改和润色，并再次交由导师审阅；2010年4月到6月：完成论文的初稿，打印成册，准备答辩。预期达到的目标：采用先简单后复杂，逐层深入的研究方法，对技术创新预测和模型进行研究，注重理论和实践相结合。在实践中不断丰富和完善，研究出具有科学性和实用性的成果。（五） 为完成课题已具备和所需的条件和经费自从2012年3月入学以来，在李龙锁老师的指导下，就开始着手论文的准备工作。哈工大图书馆有国际上各个著名的图书出版公司的图书资料及数字期刊的数据库Elsevier。通过哈工大校园网，就能查阅和下载国际上有关的最新的文献，及时掌握准确的信息，有关的资料大部分可以得到满足。此外，阅读了近几年关于随机微分方程数值解及稳定性的论文及其它资料等，已基本具备了研究本课题所需要的知识。能顺利完成本课题的研究, 取得预期的研究成果。本课题所需要的经费已由国家自然科学基金和哈尔滨工业大学理学专用经费提供。（六） 预计研究过程中可能遇到的困难和问题，以及解决的措施预计研究过程中的主要困难是对本课题比较有用的较新的资料有时不能及时获得，并且在课题研究中要学习许多新的知识。一方面，目前能够数值求解的随机微分方程类型还十分单一(如线性随机微分方程和方程组，以及简单的非线性随机微分方程)，因此需要扩大研究范围，构造在实际问题中遇到的特殊类型的随机微分方程。另一方面，现在的随机微分方程中对随机因素的描述主要还是1维或多维标准Wiener过程，需要研究其它形式的随机因素。此外，深入研究已有的数值算法，进一步提高算法的稳定性和精度也有十分重要的意义。这些问题都有待于进一步的学习和探讨。解决办法：查阅相关资料，遇到问题及时向导师和同学求解，及时地解决，寻找最简单合适的方程，使其达到预期的目标，按时完成课题。（七） 主要参考文献 1 黄志远随机分析学基础科学出版社，2001 2 黄志远随机分析学基础M武汉：武汉大学出版社，1998 3 龚光鲁随机微分方程引论M北京大学出版社.1995 4 胡适耕，黄乘明，吴付科.随机微分方程.科学出版社.北京，2008. 5 Kloeden P E , Platen. 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