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2010年全国高中数学联赛江苏赛区主讲：吴建明 一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 班级 姓名 1方程的实数解为 2函数R的单调减区间是 .3在中，已知，则 .4函数在区间上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中、，则的取值范围为 6设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. （第7题）7从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 8圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 9在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 10设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11直角坐标系中，设、是椭圆上的三点若，证明：线段的中点在椭圆上 12已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得 13如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、 证明： (1) 点、共圆； (2) 四边形是矩形ABCDEFHG14求所有正整数，使得与都是完全平方数 2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1方程的实数解为 提示与答案：x0无解; 当时，原方程变形为32x+3x6=0，解得3x=2，x=log322函数R的单调减区间是 .提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z 3在中，已知，则 .提示与答案：，得4函数在区间上的最大值是 ，最小值是 提示与答案：极小值4，端点函数值f(2)=0，f(0)=2，最小值4，最大值05在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中、，则的取值范围为 提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B，106设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 提示与答案：f(2k-1)=0，kZ. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，kZ. 所以至少有50个零点. （第7题）7从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以8圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 9在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 10设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 提示与答案：由，恒成立，即. 因为或，故，所以二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11直角坐标系中，设、是椭圆上的三点若，证明：线段的中点在椭圆上解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 y121，y221 由，得 M(x1x2，y1y2) 因为M是椭圆C上一点，所以 (y1y2)21， 6分 即 (y12)()2(y22)()2+2()()(y1y2)=1， 得 ()2()2+2()()(y1y2)1，故 y1y20 14分 又线段AB的中点的坐标为 (，)， 所以 2()2(y12)+(y22)+y1y21， 从而线段AB的中点(，)在椭圆2y21上 20分 12已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=1+2d，a6=1+3d，d为整数. 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 6分 当n6时，an =n4， 由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n5时，an =2n-5. 故 an = 10分(2) 由（1）知，数列为：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 当m=1时等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 当m=3时等式成立，即 1+0+1=0； 当m=2、4时等式不成立； 15分 当m5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=72m-5， 72m-523m-12， 所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或m=3 20分13如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、 证明： (1) 点、共圆； (2) 四边形是矩形ABCDEFHG证明：(1) 由HGCE，得BHF=BEC， 又同弧的圆周角 BAF=BEC， BAF=BHF， 点 A、B、F、H共圆； 8分 (2) 由(1)的结论，得 BHA=BFA， BEAD， BFAC， 又AD是圆的直径， CGAC， 14分 由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，BFG =DAB =BCG， B、G、C、F共圆. BGC=AFB=900, BGGC， 所以四边形BFCG 是矩形 20分14求所有正整数，使得与都是完全平方数解：若x=y，则x2+3x是完全平方数. x2x2+3xx2+4x+4= (x+2)2， x2+3x= (x+1)2， x=y =1. 5分 若xy，则x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2. x2+3y是完全平方数， x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 (2k+2)2=4k2+8k+44k2+13k+44k2+16k+16= (2k+4)2， y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，从而求得x=16，y=11. 15分 若xy，同xy情形可求得 x=11，y=16. 综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11) 20分
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