高等数学函数的连续性.ppt

1 3 函数的连续性 1 掌握函数连续性的判断方法 2 零点定理的应用 2 1导数的概念 3 掌握导数的概念 几何意义及其与连续性的关系 1 变量的增量 设函数y f x 在点x0的某一个邻域U x0 内有定义 称Dy f x0 Dx f x0 函数y的增量 在邻域U x0 内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx x1 x0为自变量x的增量 1 3 1 函数连续性 2 函数的连续性定义 提示 设x x0 Dx 则当Dx 0时 x x0 因此 Dy f x0 Dx f x0 左连续和右连续 解题思路 根据函数连续的充要条件 函数在区间内连续 1 3 2 函数的间断点 如果函数f x 在点x0有以下三种情况之一 则称函数在点x0为不连续 x0称为函数的不连续点或间断点 可去间断点只要改变或补充间断点的函数值定义后 间断点可以变成连续点 1 3 3 初等函数的连续性 一 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的 二 设函数f x 和g x 在点x0连续 则函数 在点x0也连续 三 设函数y f g x 由函数y f u 与函数u g x 复合而成 若函数u g x 在点x0连续 函数y f u 在点u0 g x0 连续 则复合函数y f j x 在点x0也连续 四 初等函数在其定义区间内是连续的 总结 由于函数在其连续点x0满足 初等函数在其有定义的点处求极限 求这一点的函数值 例1 因式分解 去掉零因子 有理化 去掉零因子 一般地 例7 有理化 去掉零因子 1 3 4 闭区间上连续函数的性质 定理8 最值定理 闭区间 a b 上的连续函数f x 在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次 推论6 闭区间 a b 上的连续函数f x 一定有界 定理9 介值定理 若y f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 则对于f a 与f b 之间的任意一个常数C 在开区间 a b 内至少有一点x 使得f x C a x b 定理的几何意义 连续曲线f x 与水平直线y c至少相交于一点 推论 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 0 则在开区间 a b 内至少一点x 使f x 0 应用 求一个方程在某区间内至少有一个实根 例9证明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个实根 证明设f x x3 4x2 1 则f x 在闭区间 0 1 上连续 并且f 0 1 0 f 1 2 0 根据推论 在 0 1 内至少有一点x 使得f x 0 即x3 4x2 1 0 0 x 1 这说明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个根是x 第二章一元函数微分学 一 导数的概念二 导数的运算三 微分四 导数的应用 本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念 其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度 即函数的变化率 而微分则是指当自变量有微小变化时 函数改变量的近似值 本章重点导数与微分的概念 基本初等函数的求导公式 求导法则 本章难点导数与微分的概念 复合函数的求导法则 实例1 变速直线运动的瞬时速度问题 如图 取极限得 瞬时速度 2 1导数的概念 设物体作直线运动所经过的路程为s f t 求t0时刻瞬时速度 2 1 2导数的定义 定义1 设函数f x 在x0及其某个邻域内有定义 当自变 量x在x0处取得增量 x时 相应地函数y取得增量 如果 存在 则称函数y f x 在x0处可导 或称y f x 在x0处有导数 该极限值就是f x 在点x0处的导数 记为 很明显 由导数定义可知 由定义求导数步骤 例1设 求 解一 所以 解二 例2 解 单侧导数 导数与单侧导数的关系 函数f x 在开区间 a b 内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f x 在闭区间 a b 上可导是指函数f x 在开区间 a b 内可导 且在a点有右导数 在b点有左导数 函数在区间上的可导性 例5已知 解因为 所以 从而 M T 的切线方程 法线方程 N 2 1 3导数的几何意义 例3 解 根据导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2 1 4可导与连续的关系 结论 可导的函数一定是连续的 证 比如 解 注意 反之不成立 即连续不一定可导 例4 解 小结 函数连续性的定义利用连续性求解函数极限介值定理和零点定理的应用导数的定义可导与连续的关系