常见曲线的参数方程.ppt

常见曲线的参数方程 1旋轮线2旋轮线也叫摆线3旋轮线是最速降线4心形线5星形线6圆的渐伸线7笛卡儿叶形线8双纽线9阿基米德螺线10双曲螺线 主目录 1 10 a 曲线 是一条极其迷人的曲线 在生活中应用广泛 1 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动 圆上任一点所画出的 来看动点的慢动作 2a 2 a a x a t sint y a 1 cost t的几何意义如图示 t a 当t从0 2 x从0 2 a 即曲线走了一拱 a 参数方程 这就是旋轮线的参数方程 将旋轮线的一拱一分为二 并倒置成挡板 2 旋轮线也叫摆线 单摆 两个旋轮线形状的挡板 使摆动周期与摆幅完全无关 在17世纪 旋轮线即以此性质出名 所以旋轮线又称摆线 B A 答案是 当这曲线是一条翻转的旋轮线 最速降线问题 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B 当曲线是什么形状时所需要的时间最短 3 旋轮线是最速降线 生活中见过这条曲线吗 B A B A B A 滑板的轨道就是这条曲线 a a 一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 4 心形线 圆外旋轮线 a 来看动点的慢动作 a a a 2a 来看动点的慢动作 2a P r r a 1 cos 参数方程 a a 一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 5 星形线 圆内旋轮线 a a 来看动点的慢动作 a a 来看动点的慢动作 a a 0 2 极坐标方程为 P 直角坐标方程为 一直线沿圆周滚转 无滑动 直线上一个定点的轨迹 6 圆的渐伸线 a 参数方程为 a 再看一遍 a a a 0 x M t t a at x y 试由这些关系推出曲线的方程 参数方程为 1 曲线关于y x对称 2 曲线有渐进线x y a 0 分析 3 令y tx 得参数式 故在原点 曲线自身相交 7 狄卡儿叶形线 4 x y a 0 曲线关于y x对称 曲线有渐近线x y a 0 P r 曲线在极点自己相交 与此对应的角度为 距离之积为a2的点的轨迹 直角系方程 8 双纽线 所围面积 由对称性 例1求双纽线 0 r r a 曲线可以看作这种点的轨迹 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线 9 阿基米德螺线 0 r 0 r 再看一遍 请问 动点的轨迹什么样 0 r 0 r 0 r r a 阿基米德螺线 r 这里 从0 8 r a 0 2 a 每两个螺形卷间沿射线的距离是定数 阿基米德螺线 0 r 8 当 从0 r a 阿基米德螺线 r 0 这里 从0 8 10双曲螺线 r 0 当 从0 8 双曲螺线 例2 2 S 1 cos 3 r 3cos 由3cos 1 cos 得交点的坐标 S 2 例3 1 令cos2 0 由sin 0 联立后得交点坐标 S 2 例4 1 s1 s2 s S 1 cos 求由双纽线 由对称性 例5 a 内部的面积 双纽线化成极坐标 令r 0 S 4